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2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷
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这是一份2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（4分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（，）关于原点的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，）
4．（4分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，对这两个几何体，甲说：只有主视图不同；乙说：只有左视图不同；丙说：只有俯视图不同；丁说：所有视图（主视图、左视图和俯视图）都相同．则甲、乙、丙、丁四人说法正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（4分）五月是水蜜桃盛产的季节，如图是小华前三次购买水蜜桃单价的统计图，第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，若这四个单价的中位数恰好也是众数，则a的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（4分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
7．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+72＝（10﹣x）2
8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（ ）
A． B． C． D．4π
10．（4分）二次函数y＝﹣4x2+8mx+3与x轴交于点A、B（其中点A在点B的左边），与y轴交于点C，AB＝2，在y轴上取点D（0，1），连接AD、BC，则AD+BC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）计算：（cos45°﹣1）0＝ ．
12．（4分）《福建省新冠病毒疫苗接种工作方案》指出：经测算，人群接种率需达到77.6%以上，才能建立免疫屏障，福建省需完成约6000万剂次（每人接种2剂次）的疫苗接种．数据60000000用科学记数法表示为 ．
13．（4分）若a﹣2b＝2，则2b﹣a+3＝ ．
14．（4分）若一次函数y＝kx+b（b＜0）与反比例函数y＝都经过点A（b，3b），则b＝ ．
15．（4分）将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE、BD，则＝ ．
16．（4分）如图，已知直线y＝k1x+b（k1≠0）与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y＝（k2≠0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接OA、OB，现有以下4个结论：①k1k2＞0；②不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜x2；③x1+x2＝；④S△AOP＝S△BOQ．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
三、解答题：本大题共有9题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
19．（8分）先化简，后求值：÷（1﹣），其中x＝2+1．
20．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝60°，BC＜AB＜AC．
（1）求作∠PBC，使得∠PBC＝30°且点P在AC上；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，∠A＝45°，求AC的长度．
21．（8分）在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
22．（10分）党的教育方针“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”把劳动教育列入教育目标之一，学校更要重视开展劳动教育．某校为了解九年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜10
5
0.10
10≤t＜20
4
m
20≤t＜30
a
0.32
30≤t＜40
5
0.10
40≤t＜50
20
0.40
解答下列问题：
（1）求频数分布表中a，m的值，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若九年级共有学生300人，试估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数；
（3）已知课外劳动时间在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
23．（10分）如图，已知以AB为直径的⊙O中，点D、C在AB的同侧，点D是的中点，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，BD＝8，求BC的长．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点D在Rt△ABC的边AC上，DC＝m，以BD为直角边在AC同侧作等腰Rt△BDE，使BD＝DE＝n，过E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）求证：△EDF≌△DBC；
（2）求AE的最小值；
（3）若S四边形AEBC＝n，求S四边形AEBC的值．
25．（14分）抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C（0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．
（1）求抛物线与直线CE的解析式；
（2）求证：PC+PD为定值；
（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．
2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（4分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：倒数为﹣2的是：﹣，
故选：C．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用分数的约分对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝，所以A选项的计算错误；
B、原式＝a+a＝a，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝2+2+3＝5+2，所以D选项的计算正确．
故选：D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（，）关于原点的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（，）关于原点的对称点A'的坐标是（﹣，﹣），
故选：A．
4．（4分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，对这两个几何体，甲说：只有主视图不同；乙说：只有左视图不同；丙说：只有俯视图不同；丁说：所有视图（主视图、左视图和俯视图）都相同．则甲、乙、丙、丁四人说法正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
解法二：第一个几何体的三视图如图所示
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故丁说说法正确．
故选：D．
5．（4分）五月是水蜜桃盛产的季节，如图是小华前三次购买水蜜桃单价的统计图，第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，若这四个单价的中位数恰好也是众数，则a的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决．
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故选：C．
6．（4分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图，
∵AD∥BC，
∴∠AGF＝∠1＝25°，
∵△FEG为等腰三角形，
∴∠EGF＝45°，
∴∠2＝∠EGF﹣∠AGF＝20°．
故选：B．
7．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+72＝（10﹣x）2
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故选：C．
8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由正方形的性质可证明△ABF∽△EDF，用相似三角形的性质求得AF的长度，然后得到AE的长．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠FDE，∠BAF＝∠DEF，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CD＝，
∴，
∴＝，
∵EF＝1，
∴AF＝2，
∴AE＝EF+AF＝3，
故选：B．
9．（4分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（ ）
A． B． C． D．4π
【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD＝1，再利用折叠性质判断AC＝DC，利用等腰三角形性质得到AF＝DF＝，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．
又OB＝5，
∴OD＝＝＝，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝＝，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，
∴四边形ODFE为正方形．
∴，
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝CE+EF＝3＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴所对的圆心角为90°，
∴＝＝．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝﹣4x2+8mx+3与x轴交于点A、B（其中点A在点B的左边），与y轴交于点C，AB＝2，在y轴上取点D（0，1），连接AD、BC，则AD+BC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据AB＝2求出m的值，分别代入y＝﹣4x2+8mx+3，求出A、B坐标，比较两种情况的AD+BC值，即可得到答案．
【解答】解：令y＝﹣4x2+8mx+3＝0，
则x1+x2＝2m，x1x2＝﹣，
则AB2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4m2+3＝22，解得m＝，
当m＝时，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+4x+3，
令y＝﹣4x2+4x+3＝0，解得x＝﹣或，
则AD+BC＝+＝2；
当m＝﹣时，
同理可得：AD+BC＝，
∵＞2，
故AD+BC的最小值为2，
故选：D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）计算：（cos45°﹣1）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：（cos45°﹣1）0＝1．
故答案为：1．
12．（4分）《福建省新冠病毒疫苗接种工作方案》指出：经测算，人群接种率需达到77.6%以上，才能建立免疫屏障，福建省需完成约6000万剂次（每人接种2剂次）的疫苗接种．数据60000000用科学记数法表示为 6×107 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：60000000＝6×107．
故答案为：6×107．
13．（4分）若a﹣2b＝2，则2b﹣a+3＝ 1 ．
【分析】将所求代数式变形为﹣（a﹣2b）+3，再将a﹣2b＝2整体代入即可得解．
【解答】解：∵a﹣2b＝2，
∴2b﹣a+3＝﹣（a﹣2b）+3＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
14．（4分）若一次函数y＝kx+b（b＜0）与反比例函数y＝都经过点A（b，3b），则b＝ ．
【分析】将A（b，3b），一次函数y＝kx+b，得k的值，把将A（b，3b），代入反比例函数y＝中，得b的值．
【解答】解：将A（b，3b）代入一次函数y＝kx+b中，
得3b＝k×b+b，
∵b＜0，
∴k＝2，
将A（b，3b），代入反比例函数y＝中，
得b＝±，
∵b＜0，
∴b＝．
故此答案为．
15．（4分）将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE、BD，则＝ ．
【分析】△EDC与△ACB为两个含30°角的直角三角形，在Rt△ACB和在Rt△ECD中，利用解直角三角函数得＝，根据相似三角形的判定得到△ECA～△DCB，根据相似比的性质得到＝＝tan60°＝，
【解答】解：∵△EDC与△ACB为两个直角三角形，且∠DEC＝∠BAC＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠DCA＝∠ECD+∠DCA，
∴∠DCB＝∠ECA，
在Rt△ACB中，
tan∠CAB＝＝tan30°，
在Rt△ECD中，
tan∠CED＝＝tan30°，
∴＝，
∴在△ECA与△DCB中，
＝，
∠DCB＝∠ECA，
∴△ECA～△DCB，
∴＝，
在Rt△ACB中，
＝tan∠ABC＝tan60°＝，
故答案为．
16．（4分）如图，已知直线y＝k1x+b（k1≠0）与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y＝（k2≠0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接OA、OB，现有以下4个结论：①k1k2＞0；②不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜x2；③x1+x2＝；④S△AOP＝S△BOQ．其中正确结论的序号是 ①③④ ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
【分析】①根据直线与系数的关系、双曲线与系数的关系进行判断；
②根据图示直接得到答案；
③联立直线与双曲线方程，建立方程组，利用函数图象上点的坐标特征和解方程组得到：k1（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，整理为（x1﹣x2）[k1（x1+x2）+b]＝0，解该方程即可进行判断；
④把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y＝k1x+b，求得，，根据三角形的面积公式即可得到S△AOP＝S△BOQ．
【解答】解：①如图所示，直线y＝kx1+b（k1≠0）经过第一、三象限，则k1＞0．
双曲线y＝（k2≠0）经过第一、三象限，则k2＞0．
所以k1k2＞0．
故结论①正确；
②如图所示：不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜0或x＞x2；
故结论②不正确；
③把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
∴，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，
∴k1（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[k1（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴k1（x1+x2）+b＝0，
∴；
故结论③正确；
④把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
解得，
∴直线解析式为，
∴点，，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，＝
∴S△POB＝S△QOA，
∴S△AOP＝S△BOQ．
故结论④正确．
故答案是：①③④．
三、解答题：本大题共有9题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由①得，x≤2；
由②得，x≥﹣2；
所以原不等式组的解集是：﹣2≤x≤2；
把解集在数轴上表示为：
．
18．（8分）如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵EC∥AF，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴∠CED＝∠AFB，
在△CED和△AFB中，
，
∴△CED≌△AFB（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：由（1）得△CED≌△AFB，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠D+∠C）＝180°﹣（30°+40°）＝110°．
19．（8分）先化简，后求值：÷（1﹣），其中x＝2+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝60°，BC＜AB＜AC．
（1）求作∠PBC，使得∠PBC＝30°且点P在AC上；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，∠A＝45°，求AC的长度．
【分析】（1）过点B作BP⊥AC于P即可．
（2）解直角三角形求出AP，PC即可．
【解答】解：（1）如图，∠PBC即为所求．
（2）如图，由（1）得∠APB＝∠BPC＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABP＝45°，∠PBC＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝BP＝AB•sin45°＝，
在Rt△BPC中，PC＝BP•tan30°＝，
∴．
21．（8分）在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣6）元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200﹣y）棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣6）元．
依题意列方程得，，
800x﹣4800＝680x，
解得x＝40，
经检验x＝40是原方程的根．
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200﹣y）棵，
根据题意，得34y+40（200﹣y）≤7600，
解得，
∵y为整数，
∴y的最小值为67．
答：至少要购买乙种树苗67棵．
22．（10分）党的教育方针“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”把劳动教育列入教育目标之一，学校更要重视开展劳动教育．某校为了解九年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜10
5
0.10
10≤t＜20
4
m
20≤t＜30
a
0.32
30≤t＜40
5
0.10
40≤t＜50
20
0.40
解答下列问题：
（1）求频数分布表中a，m的值，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若九年级共有学生300人，试估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数；
（3）已知课外劳动时间在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
【分析】（1）求出样本的容量为50，即可解决问题；
（2）由该校九年级学生总人数乘以该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数所占的频率即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设样本的容量为x，
则，
解得：x＝50，
∴a＝50×0.32＝16，，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）300×（0.32+0.10+0.40）＝246（人），
即估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数为246人；
（3）在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，则女生为3人，
画树状图如图：
由上面树状图可知共有20种可能，所选学生为1男1女的有12种可能，并且每种发生的可能性相同，
∴．
23．（10分）如图，已知以AB为直径的⊙O中，点D、C在AB的同侧，点D是的中点，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出OD∥BE，则可得出OD⊥DE，则可得出结论；
（2）连接OD，AD，DC，由勾股定理求出AD的长，由三角形ABD的面积求出DF的长，证明Rt△ADB∽Rt△CED，得出比例线段，求出CE的长，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
则∠ODB＝∠OBD，
∵点D是的中点，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，AD，DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝6，
∵DF⊥AB，
∴S△ABD＝，
∴DF＝，
∴DE＝DF＝，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠DAB，
∴Rt△ADB∽Rt△CED，
∴，
∴CE＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝，
∴BC＝BE﹣CE＝．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点D在Rt△ABC的边AC上，DC＝m，以BD为直角边在AC同侧作等腰Rt△BDE，使BD＝DE＝n，过E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）求证：△EDF≌△DBC；
（2）求AE的最小值；
（3）若S四边形AEBC＝n，求S四边形AEBC的值．
【分析】（1）首先证得∠EDF＝∠DBC，利用全等三角形的判定定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质可得EF＝DC＝m，DF＝BC＝2，可得AF，由勾股定理得AE2，易得结果；
（3）由（1）得EF＝DC＝m，可得m+n＝5，在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD2＝BC2+DC2，可得，易得结果．
【解答】（1）证明：∵∠EDF+∠BDC＝∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDF＝∠DBC，
在△EDF和△DBC中，
，
∴△EDF≌△DBC（AAS）；
（2）解：由（1）得，
∵△EDF≌△DBC，
∴EF＝DC＝m，DF＝BC＝2，
∴AF＝（DF+DC）﹣AC＝m﹣1，AF＝AC﹣（DF+DC）＝1﹣m，
由勾股定理得，AE2＝EF2+AF2＝，
当时，AE2的最小值为，
∴AE的最小值为；
（3）解：由（1）得EF＝DC＝m，S四边形AEBC＝S△EDB+S△ADE+S△BDC，
∴，
整理得，n2﹣m2+5m﹣5n＝0，（n﹣m）（n+m）﹣5（n﹣m）＝0，（n﹣m）（n+m﹣5）＝0，
∵n＞m，
∴n﹣m≠0，
∴n+m﹣5＝0，
∴m+n＝5，
在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD2＝BC2+DC2，
∴n2＝4+m2，
∴（n+m）（n﹣m）＝4，
∴，
∴，，
∴．
25．（14分）抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C（0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．
（1）求抛物线与直线CE的解析式；
（2）求证：PC+PD为定值；
（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，﹣4）的坐标代入y＝ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，﹣1），C（0，﹣3）的坐标代入y＝mx+n可得问题的答案；
（2）设点，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案；
（3）设DP与EC的交点为G，设，①当点G在点P上方时，根据三角形面积公式可得答案；②当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣4）的坐标代入y＝ax2+b，
得，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
设直线CE为y＝mx+n，将点E（4，﹣1），C（0，﹣3）的坐标代入y＝mx+n得，
，
解得，，
∴直线CE的解析式是；
（2）证明：设点，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
则PF＝t，，，，
所以为定值；
（3）解：方法一：设DP与EC的交点为G，设，
①如图，当点G在点P上方时，
，
∵S△PEC＝1，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，即，
②如图，当点G在点P下方时，
，
∵S△PEC＝1，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，即，
综上所述，满足条件的点有，．
方法二：如图，分别过点P，E作PF⊥CE，EH⊥y轴，垂足为F，H，PD交CE于点G，
在Rt△EHC中，EH＝4，HC＝2，
∴，
∵S△PEC＝1，
∴＝1，
即，
∵PF⊥CE，PG⊥EH，
∴△PFG～△CHE，
∴，
即，
解得，
∴过点P与直线CE平行，且与直线CE距离为的直线有两条：或，
依题意得：，
解得：（负根舍去），
∴，，
∴，
，
解得：（负根舍去），
∴，，
∴，
综上所述，满足条件的点有，．
2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（4分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（，）关于原点的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，）
4．（4分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，对这两个几何体，甲说：只有主视图不同；乙说：只有左视图不同；丙说：只有俯视图不同；丁说：所有视图（主视图、左视图和俯视图）都相同．则甲、乙、丙、丁四人说法正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（4分）五月是水蜜桃盛产的季节，如图是小华前三次购买水蜜桃单价的统计图，第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，若这四个单价的中位数恰好也是众数，则a的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（4分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
7．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+72＝（10﹣x）2
8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（ ）
A． B． C． D．4π
10．（4分）二次函数y＝﹣4x2+8mx+3与x轴交于点A、B（其中点A在点B的左边），与y轴交于点C，AB＝2，在y轴上取点D（0，1），连接AD、BC，则AD+BC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）计算：（cos45°﹣1）0＝ ．
12．（4分）《福建省新冠病毒疫苗接种工作方案》指出：经测算，人群接种率需达到77.6%以上，才能建立免疫屏障，福建省需完成约6000万剂次（每人接种2剂次）的疫苗接种．数据60000000用科学记数法表示为 ．
13．（4分）若a﹣2b＝2，则2b﹣a+3＝ ．
14．（4分）若一次函数y＝kx+b（b＜0）与反比例函数y＝都经过点A（b，3b），则b＝ ．
15．（4分）将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE、BD，则＝ ．
16．（4分）如图，已知直线y＝k1x+b（k1≠0）与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y＝（k2≠0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接OA、OB，现有以下4个结论：①k1k2＞0；②不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜x2；③x1+x2＝；④S△AOP＝S△BOQ．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
三、解答题：本大题共有9题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
19．（8分）先化简，后求值：÷（1﹣），其中x＝2+1．
20．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝60°，BC＜AB＜AC．
（1）求作∠PBC，使得∠PBC＝30°且点P在AC上；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，∠A＝45°，求AC的长度．
21．（8分）在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
22．（10分）党的教育方针“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”把劳动教育列入教育目标之一，学校更要重视开展劳动教育．某校为了解九年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜10
5
0.10
10≤t＜20
4
m
20≤t＜30
a
0.32
30≤t＜40
5
0.10
40≤t＜50
20
0.40
解答下列问题：
（1）求频数分布表中a，m的值，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若九年级共有学生300人，试估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数；
（3）已知课外劳动时间在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
23．（10分）如图，已知以AB为直径的⊙O中，点D、C在AB的同侧，点D是的中点，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，BD＝8，求BC的长．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点D在Rt△ABC的边AC上，DC＝m，以BD为直角边在AC同侧作等腰Rt△BDE，使BD＝DE＝n，过E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）求证：△EDF≌△DBC；
（2）求AE的最小值；
（3）若S四边形AEBC＝n，求S四边形AEBC的值．
25．（14分）抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C（0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．
（1）求抛物线与直线CE的解析式；
（2）求证：PC+PD为定值；
（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．
2021年福建省龙岩市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（4分）倒数为﹣2的是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：倒数为﹣2的是：﹣，
故选：C．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用分数的约分对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝，所以A选项的计算错误；
B、原式＝a+a＝a，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝2+2+3＝5+2，所以D选项的计算正确．
故选：D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（，）关于原点的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点A（，）关于原点的对称点A'的坐标是（﹣，﹣），
故选：A．
4．（4分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，对这两个几何体，甲说：只有主视图不同；乙说：只有左视图不同；丙说：只有俯视图不同；丁说：所有视图（主视图、左视图和俯视图）都相同．则甲、乙、丙、丁四人说法正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
解法二：第一个几何体的三视图如图所示
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故丁说说法正确．
故选：D．
5．（4分）五月是水蜜桃盛产的季节，如图是小华前三次购买水蜜桃单价的统计图，第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，若这四个单价的中位数恰好也是众数，则a的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决．
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故选：C．
6．（4分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图，
∵AD∥BC，
∴∠AGF＝∠1＝25°，
∵△FEG为等腰三角形，
∴∠EGF＝45°，
∴∠2＝∠EGF﹣∠AGF＝20°．
故选：B．
7．（4分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+72＝（10﹣x）2
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故选：C．
8．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由正方形的性质可证明△ABF∽△EDF，用相似三角形的性质求得AF的长度，然后得到AE的长．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠FDE，∠BAF＝∠DEF，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∵E为CD边中点，
∴DE＝CD＝，
∴，
∴＝，
∵EF＝1，
∴AF＝2，
∴AE＝EF+AF＝3，
故选：B．
9．（4分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（ ）
A． B． C． D．4π
【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD＝1，再利用折叠性质判断AC＝DC，利用等腰三角形性质得到AF＝DF＝，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．
又OB＝5，
∴OD＝＝＝，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝＝，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，
∴四边形ODFE为正方形．
∴，
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝CE+EF＝3＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴所对的圆心角为90°，
∴＝＝．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝﹣4x2+8mx+3与x轴交于点A、B（其中点A在点B的左边），与y轴交于点C，AB＝2，在y轴上取点D（0，1），连接AD、BC，则AD+BC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据AB＝2求出m的值，分别代入y＝﹣4x2+8mx+3，求出A、B坐标，比较两种情况的AD+BC值，即可得到答案．
【解答】解：令y＝﹣4x2+8mx+3＝0，
则x1+x2＝2m，x1x2＝﹣，
则AB2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4m2+3＝22，解得m＝，
当m＝时，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+4x+3，
令y＝﹣4x2+4x+3＝0，解得x＝﹣或，
则AD+BC＝+＝2；
当m＝﹣时，
同理可得：AD+BC＝，
∵＞2，
故AD+BC的最小值为2，
故选：D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）计算：（cos45°﹣1）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：（cos45°﹣1）0＝1．
故答案为：1．
12．（4分）《福建省新冠病毒疫苗接种工作方案》指出：经测算，人群接种率需达到77.6%以上，才能建立免疫屏障，福建省需完成约6000万剂次（每人接种2剂次）的疫苗接种．数据60000000用科学记数法表示为 6×107 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：60000000＝6×107．
故答案为：6×107．
13．（4分）若a﹣2b＝2，则2b﹣a+3＝ 1 ．
【分析】将所求代数式变形为﹣（a﹣2b）+3，再将a﹣2b＝2整体代入即可得解．
【解答】解：∵a﹣2b＝2，
∴2b﹣a+3＝﹣（a﹣2b）+3＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
14．（4分）若一次函数y＝kx+b（b＜0）与反比例函数y＝都经过点A（b，3b），则b＝ ．
【分析】将A（b，3b），一次函数y＝kx+b，得k的值，把将A（b，3b），代入反比例函数y＝中，得b的值．
【解答】解：将A（b，3b）代入一次函数y＝kx+b中，
得3b＝k×b+b，
∵b＜0，
∴k＝2，
将A（b，3b），代入反比例函数y＝中，
得b＝±，
∵b＜0，
∴b＝．
故此答案为．
15．（4分）将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE、BD，则＝ ．
【分析】△EDC与△ACB为两个含30°角的直角三角形，在Rt△ACB和在Rt△ECD中，利用解直角三角函数得＝，根据相似三角形的判定得到△ECA～△DCB，根据相似比的性质得到＝＝tan60°＝，
【解答】解：∵△EDC与△ACB为两个直角三角形，且∠DEC＝∠BAC＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠DCA＝∠ECD+∠DCA，
∴∠DCB＝∠ECA，
在Rt△ACB中，
tan∠CAB＝＝tan30°，
在Rt△ECD中，
tan∠CED＝＝tan30°，
∴＝，
∴在△ECA与△DCB中，
＝，
∠DCB＝∠ECA，
∴△ECA～△DCB，
∴＝，
在Rt△ACB中，
＝tan∠ABC＝tan60°＝，
故答案为．
16．（4分）如图，已知直线y＝k1x+b（k1≠0）与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y＝（k2≠0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接OA、OB，现有以下4个结论：①k1k2＞0；②不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜x2；③x1+x2＝；④S△AOP＝S△BOQ．其中正确结论的序号是 ①③④ ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
【分析】①根据直线与系数的关系、双曲线与系数的关系进行判断；
②根据图示直接得到答案；
③联立直线与双曲线方程，建立方程组，利用函数图象上点的坐标特征和解方程组得到：k1（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，整理为（x1﹣x2）[k1（x1+x2）+b]＝0，解该方程即可进行判断；
④把A（x1，y1），B（x2，y2）代入y＝k1x+b，求得，，根据三角形的面积公式即可得到S△AOP＝S△BOQ．
【解答】解：①如图所示，直线y＝kx1+b（k1≠0）经过第一、三象限，则k1＞0．
双曲线y＝（k2≠0）经过第一、三象限，则k2＞0．
所以k1k2＞0．
故结论①正确；
②如图所示：不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜0或x＞x2；
故结论②不正确；
③把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
∴，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，
∴k1（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[k1（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴k1（x1+x2）+b＝0，
∴；
故结论③正确；
④把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
解得，
∴直线解析式为，
∴点，，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，＝
∴S△POB＝S△QOA，
∴S△AOP＝S△BOQ．
故结论④正确．
故答案是：①③④．
三、解答题：本大题共有9题，共86分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由①得，x≤2；
由②得，x≥﹣2；
所以原不等式组的解集是：﹣2≤x≤2；
把解集在数轴上表示为：
．
18．（8分）如图，点D、E、F、B在同一直线上，DE＝BF，CE＝AF，EC∥AF．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠A＝30°，∠D＝40°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵EC∥AF，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴∠CED＝∠AFB，
在△CED和△AFB中，
，
∴△CED≌△AFB（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：由（1）得△CED≌△AFB，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠D+∠C）＝180°﹣（30°+40°）＝110°．
19．（8分）先化简，后求值：÷（1﹣），其中x＝2+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝60°，BC＜AB＜AC．
（1）求作∠PBC，使得∠PBC＝30°且点P在AC上；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，∠A＝45°，求AC的长度．
【分析】（1）过点B作BP⊥AC于P即可．
（2）解直角三角形求出AP，PC即可．
【解答】解：（1）如图，∠PBC即为所求．
（2）如图，由（1）得∠APB＝∠BPC＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABP＝45°，∠PBC＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝BP＝AB•sin45°＝，
在Rt△BPC中，PC＝BP•tan30°＝，
∴．
21．（8分）在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣6）元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200﹣y）棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x﹣6）元．
依题意列方程得，，
800x﹣4800＝680x，
解得x＝40，
经检验x＝40是原方程的根．
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗的y棵，则购买甲种树苗的（200﹣y）棵，
根据题意，得34y+40（200﹣y）≤7600，
解得，
∵y为整数，
∴y的最小值为67．
答：至少要购买乙种树苗67棵．
22．（10分）党的教育方针“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”把劳动教育列入教育目标之一，学校更要重视开展劳动教育．某校为了解九年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜10
5
0.10
10≤t＜20
4
m
20≤t＜30
a
0.32
30≤t＜40
5
0.10
40≤t＜50
20
0.40
解答下列问题：
（1）求频数分布表中a，m的值，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若九年级共有学生300人，试估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数；
（3）已知课外劳动时间在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
【分析】（1）求出样本的容量为50，即可解决问题；
（2）由该校九年级学生总人数乘以该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数所占的频率即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设样本的容量为x，
则，
解得：x＝50，
∴a＝50×0.32＝16，，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）300×（0.32+0.10+0.40）＝246（人），
即估计该校九年级学生一学期课外劳动时间不少于20h的人数为246人；
（3）在30h≤t＜40h的男生人数为2人，其余为女生，则女生为3人，
画树状图如图：
由上面树状图可知共有20种可能，所选学生为1男1女的有12种可能，并且每种发生的可能性相同，
∴．
23．（10分）如图，已知以AB为直径的⊙O中，点D、C在AB的同侧，点D是的中点，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，BD＝8，求BC的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出OD∥BE，则可得出OD⊥DE，则可得出结论；
（2）连接OD，AD，DC，由勾股定理求出AD的长，由三角形ABD的面积求出DF的长，证明Rt△ADB∽Rt△CED，得出比例线段，求出CE的长，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
则∠ODB＝∠OBD，
∵点D是的中点，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，AD，DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝6，
∵DF⊥AB，
∴S△ABD＝，
∴DF＝，
∴DE＝DF＝，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠DAB，
∴Rt△ADB∽Rt△CED，
∴，
∴CE＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝，
∴BC＝BE﹣CE＝．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点D在Rt△ABC的边AC上，DC＝m，以BD为直角边在AC同侧作等腰Rt△BDE，使BD＝DE＝n，过E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）求证：△EDF≌△DBC；
（2）求AE的最小值；
（3）若S四边形AEBC＝n，求S四边形AEBC的值．
【分析】（1）首先证得∠EDF＝∠DBC，利用全等三角形的判定定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质可得EF＝DC＝m，DF＝BC＝2，可得AF，由勾股定理得AE2，易得结果；
（3）由（1）得EF＝DC＝m，可得m+n＝5，在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD2＝BC2+DC2，可得，易得结果．
【解答】（1）证明：∵∠EDF+∠BDC＝∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDF＝∠DBC，
在△EDF和△DBC中，
，
∴△EDF≌△DBC（AAS）；
（2）解：由（1）得，
∵△EDF≌△DBC，
∴EF＝DC＝m，DF＝BC＝2，
∴AF＝（DF+DC）﹣AC＝m﹣1，AF＝AC﹣（DF+DC）＝1﹣m，
由勾股定理得，AE2＝EF2+AF2＝，
当时，AE2的最小值为，
∴AE的最小值为；
（3）解：由（1）得EF＝DC＝m，S四边形AEBC＝S△EDB+S△ADE+S△BDC，
∴，
整理得，n2﹣m2+5m﹣5n＝0，（n﹣m）（n+m）﹣5（n﹣m）＝0，（n﹣m）（n+m﹣5）＝0，
∵n＞m，
∴n﹣m≠0，
∴n+m﹣5＝0，
∴m+n＝5，
在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD2＝BC2+DC2，
∴n2＝4+m2，
∴（n+m）（n﹣m）＝4，
∴，
∴，，
∴．
25．（14分）抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C（0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．
（1）求抛物线与直线CE的解析式；
（2）求证：PC+PD为定值；
（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，﹣4）的坐标代入y＝ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，﹣1），C（0，﹣3）的坐标代入y＝mx+n可得问题的答案；
（2）设点，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案；
（3）设DP与EC的交点为G，设，①当点G在点P上方时，根据三角形面积公式可得答案；②当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣4）的坐标代入y＝ax2+b，
得，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
设直线CE为y＝mx+n，将点E（4，﹣1），C（0，﹣3）的坐标代入y＝mx+n得，
，
解得，，
∴直线CE的解析式是；
（2）证明：设点，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
则PF＝t，，，，
所以为定值；
（3）解：方法一：设DP与EC的交点为G，设，
①如图，当点G在点P上方时，
，
∵S△PEC＝1，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，即，
②如图，当点G在点P下方时，
，
∵S△PEC＝1，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，即，
综上所述，满足条件的点有，．
方法二：如图，分别过点P，E作PF⊥CE，EH⊥y轴，垂足为F，H，PD交CE于点G，
在Rt△EHC中，EH＝4，HC＝2，
∴，
∵S△PEC＝1，
∴＝1，
即，
∵PF⊥CE，PG⊥EH，
∴△PFG～△CHE，
∴，
即，
解得，
∴过点P与直线CE平行，且与直线CE距离为的直线有两条：或，
依题意得：，
解得：（负根舍去），
∴，，
∴，
，
解得：（负根舍去），
∴，，
∴，
综上所述，满足条件的点有，．
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