人教版新课标A选修1-13.2导数的计算课堂检测

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

[A组　学业达标]

1．下列结论：

①(sin x)′＝cos x；

③(log3x)′＝；

④(ln x)′＝.

其中正确的有(　　)

A．0个　　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

解析：由基本初等函数的导数公式知．

①正确；②错误，

③错误，(log3x)′＝；

④正确．

故选C.

答案：C

2．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)

A．0  B．2x

C．6  D．9

解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.

答案：C

3．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)

A.  B．0

C.   D.

解析：∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.

答案：A

4．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)

A.∪  B．[0，π)

C.   D.∪

解析：∵(sin x)′＝cos x，

∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1，

又∵α∈[0，π)，

∴α∈∪.

答案：A

5．曲线y＝cos x在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A.－   B.＋

C.＋   D.－

解析：因为y′＝－sin x，切点为P，所以切线的斜率k＝y′|x＝＝－sin ＝－，

所以切线方程为y－＝－，

令x＝0，得y＝＋，故选C.

答案：C

6．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．

解析：y′＝ex，∴k＝e0＝1，

∴切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.

答案：y＝x＋1

7．已知f(x)＝x2，g(x)＝x，且满足f′(x)＋g′(x)＝3，则x的值为________．

解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝1，

由f′(x)＋g′(x)＝3，

得2x＋1＝3，

∴x＝1.

答案：1

8．已知f(x)＝2x，则f′＝________.

解析：∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，

∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2.

答案：eln 2

9．求下列函数的导数．

(1)y＝；(2)y＝2x；(3)y＝；(4)y＝sin.

解析：(1)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(2)y′＝(2x)′＝2xln 2.

(3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.

(4)y′＝′＝(cos x)′＝－sin x.

10．当常数k为何值时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切？请求出切点．

解析：设切点为A(x0，x)，因为y′＝2x，

所以

所以k＝0，故当k＝0时，直线y＝kx与曲线y＝x2相切，且切点坐标为(0,0)．

[B组　能力提升]

11．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝(　　)

A．sin x  B．－sin x

C．cos x  D．－cos x

解析：因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.

答案：C

12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)

A.   B.

C.  D．1

解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．

因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，

令y＝0，得xn＝，

则x1·x2·…·xn＝×××…··＝，故选B.

答案：B

13．已知函数f(x)＝f′(a)＝12，则实数a的值为________．

解析：由题意得f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2.

答案：或－2

14．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．

解析：∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，

∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2.

当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.

∴S＝×1×|－e2|＝e2.

答案：e2

15．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线？若有，求出切线方程；若没有，请说明理由．

解析：因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．

设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，

而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，

即x0＝－.

所以切点为.

所以所求切线方程为y－＝(－1)·，

即4x＋4y＋1＝0.

16．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，

切点到直线x－y－2＝0的距离

d＝＝，

所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.