2022高考数学一轮复习课时规范练23正弦余弦定理与解三角形（含解析）

课时规范练23　正弦、余弦定理与解三角形

基础巩固组

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(　　)

A. B.1 

C. D.2

2.(2020陕西西安中学八模,理9)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则=(　　)

A. B. 

C. D.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形 B.等腰非等边三角形

C.等边三角形 D.钝角三角形

4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=(　　)

A. B. 

C.- D.-

5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)

A.7.5 B.7 

C.6 D.5

6.(2020山东菏泽一中月考,9改编)在△ABC中,给出下列4个命题,其中不正确的命题是(　　)

A.若A<B,则sin A<sin B

B.若sin A<sin B,则A<B

C.若A>B,则

D.若A<B,则cos2A>cos2B

7.(2020湖南郴州二模,文15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=2,b=1,cos C=.则△ABC的中线AD的长为　　　　　. 

8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=　　　　　　. 

综合提升组

9.(2020河北保定一模,理6)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,若△ABC外接圆的半径为1,则b=(　　)

A. B.2 

C. D.

10.(2020湖南常德一模,文9)已知在△ABC中,B=,AB=1,角A的平分线AD=,则AC=(　　)

A. B.2 

C.+1 D.+3

11.(2020河南开封三模,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=3,tan A=2tan B,则cos A=　　　　,△ABC的面积为　　　　. 

创新应用组

12.(2020江苏,13)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m(m为常数),则CD的长度是　　　　. 

13.(2020全国1,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　. 

参考答案

课时规范练23　正弦、余弦定理

与解三角形

1.B　由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

2.D　bsin2A=asinB,则sinB·2sinAcosA=sinAsinB,因为sinAsinB≠0,故cosA=,且A∈(0,π),故A=.由c=2b,得sinC=2sinB=2sinπ-C,化简整理得到cosC=0,且C∈(0,π),故C=,B=.故选D.

3.C　因为,所以,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=.因为A∈(0,π),所以A=,所以△ABC是等边三角形.

4.C　如

图,设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cosA==-,故选C.

5.D　∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×+a×=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.

6.C　若A<B,则a<b,由正弦定理得2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB,故A正确;同理B正确;当A=120°,B=30°时,<0,>0,故C错误;若A<B,则sinA<sinB,sin2A<sin2B,即1-cos2A<1-cos2B,所以cos2A>cos2B,故D正确.故选C.

7.　

如图,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得4=a2+1-2a×1×,解得a=2或a=-(舍去),所以CD=a=1.在△ACD中,AD2=12+12-2×1×1×,解得AD=.

8.　在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=,则sinα=,所以tanα=.

9.C　由题意,得2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,故cosB=,则B=.又△ABC外接圆的半径为1,则b=2rsinB=.故选C.

10.C　在△ABD中,由正弦定理得,所以sin∠ADB=,

因为B=,所以∠ADB=,∠BAD=,∠BAC=,∠ACB=,

sin=sin=sincos-cossin,

在△ABC中,由正弦定理得,

所以AC=+1.故选C.

11.　由正弦定理得

=

=.

将tanB=tanA代入上式得cosA=,故sinA=.

所以S△ABC=bcsinA=×2×3.

12.或0　如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,3).

由=m,得=m()+),整理得=-2m+(2m-3)

=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).

又AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81,解得m=或m=0.

当m=0时,=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0;

当m=时,直线PA的方程为y=x,

直线BC的方程为=1,

联立两直线方程可得x=m,y=3-2m.即D,

∴CD=.∴CD的长度是或0.

13.-　由题意得BD=AB=,BC==2.

∵D,E,F重合于一点P,

∴AE=AD=,BF=BD=,

∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+()2-2×1×cos30°=1,∴CE=CF=1.

∴在△BCF中,由余弦定理,得

cos∠FCB==-.