2022高考数学一轮复习课时规范练21两角和与差的正弦余弦与正切公式（含解析）

课时规范练21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式

基础巩固组

1.(2020全国2,理2)若α为第四象限角,则(　　)

A.cos 2α>0 B.cos 2α<0

C.sin 2α>0 D.sin 2α<0

2.已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=(　　)

A. B.

C.- D.-

3.(2020全国1,理9)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(　　)

A. B.

C. D.

4.(2020广东广州一模,理3)sin 80°cos 50°+cos 140°sin 10°=(　　)

A.- B.

C.- D.

5.若tan α=2tan,则=(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

6.下列各式值为的是(　　)

A.2sin 15°cos 15° 

B.

C.1-2sin215° 

D.

7.(2020河北邢台模拟,理9)已知函数f(x)=sin 2x+sin2x+,则(　　)

A.f(x)的最小正周期为

B.曲线y=f(x)关于,0对称

C.f(x)的最大值为2

D.曲线y=f(x)关于x=对称

8.(2020江苏,8)已知sin2,则sin 2α的值是　　　　. 

9.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在-上的单调递增区间为　　　　　　　. 

综合提升组

10.

(2020河北邢台模拟,理7)《九章算术》一书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?假设θ=∠BAC,现有下述四个结论:

①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③tan ;④tanθ+=-.其中正确的结论是(　　)

A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④

11.(2020山东潍坊临朐模拟二,6)若,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=(　　)

A. B.- C.3 D.-3

12.(2020东北三省四市模拟,理9)已知A(xA,yA)是圆心为坐标原点O,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B(xB,yB),则2yA+yB的最大值为(　　)

A.3 B.2 C. D.

13.(2020山东模考卷,14)已知cos-sin α=,则sinα+=　　　　　. 

14.函数f(x)=4cos2cos-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为　　　　. 

15.(2020江苏南通三模,9)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-,若f(α)=,则cos-2α的值为　　　　. 

创新应用组

16.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(　　)

A. B.

C. D.1

17.(2020山东菏泽模拟)已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sin α-7tan 2α的值为　　　　. 

参考答案

课时规范练21　两角和与

差的正弦、余弦与正切公式

1.D　∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.

2.A　由三角函数定义,sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=.

3.A　原式化简得3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-或cosα=2(舍去).∵α∈(0,π),∴sinα=.

4.D　由sin80°=sin(90°-10°)=cos10°,cos140°=cos(90°+50°)=-sin50°,所以sin80°cos50°+cos140°sin10°=cos10°cos50°-sin10°sin50°=cos60°=,故选D.

5.C　因为tanα=2tan,所以=3.

6.A　对于选项A,2sin15°cos15°=sin30°=;对于选项B,tan(45°+15°)=tan60°=;对于选项C,1-2sin215°=cos30°=;对于选项D,tan30°=.故选A.

7.D　f(x)=sin2x+sin2x+cos2x=sin2x+,则T=π,f(x)的最大值为,当x=时,f=sin2×=,曲线y=f(x)关于x=对称,当x=时,f=sin2×≠0,故曲线y=f(x)不关于,0对称.故选D.

8.　∵cos=1-2sin2+α=1-2×=-.又cos=-sin2α,∴sin2α=.

9.-　f(x)=sin2xsin-cos2xcos=sin2xsin+cos2xcos=cos2x-.

当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),

即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,取k=0,得-≤x≤,故函数f(x)在-上的单调递增区间为-.

10.B　设BC=x,则AC=x+1,∵AB=5,

∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.

即水深为12尺,芦苇长为13尺.

∴tanθ=,由tanθ=,解得tan(负根舍去).∵tanθ=,∴tanθ+==-.故正确的结论为①③④.故选B.

11.A　由题得,得tanα=2.由tan(α-β)==2,解得tanβ=0,又tan(β-α)=-tan(α-β)=-2,则tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=,故选A.

12.C　设射线OA与x轴正向所成的角为α,则xA=cosα,yA=sinα,xB=cosα+,yB=sinα+,所以2yA+yB=2sinα+sinα+=2sinα-sinα+cosα=sinα+cosα=sinα+≤,当α=时,取得等号.故选C.

13.-　∵cosα+-sinα=cosαcos-sinαsin-sinα=cosα-sinα=cosα-sinα=cosα+=,

∴cos.则sinα+=sinα-=-cosα-=-cosα+=-.

14.2　令f(x)=4··sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.

由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.

15.　(方法1)f(x)=cosx(sinx+cosx)-=sinxcosx+cos2x-

=sin2x+

=sin2x+cos2x

=sin2x+,

因为f(α)=,所以sin2α+=,所以cos-2α=cos-2α+=sin2α+=.

(方法2)f(x)=cosx(sinx+cosx)-=sinxcosx+cos2x-

=sin2x+

=sin2x+cos2x,

因为f(α)=,

所以sin2α+cos2α=,

所以cos-2α=coscos2α+sinsin2α=(cos2α+sin2α)

=.

16.B　由题意可知tanα==b-a,又cos2α=cos2α-sin2α=,∴5(b-a)2=1,得(b-a)2=,则|b-a|=.

17.-39　因为角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),所以x=4a,y=3a,r==-5a,

所以sinα==-,tanα=,所以tan2α=,所以25sinα-7tan2α=25×--7×=-39.