专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（原卷版）

一．方法综述

平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．

二．解题策略

类型一  与向量的模有关的最值问题

【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（   ）

A． B． C．5 D．

3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（   ）

A． B．

C． D．

类型二  与向量夹角有关的范围问题

【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.

【举一反三】

1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是       ．

2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________

类型三   与向量投影有关的最值问题

【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【举一反三】

1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为(      )

A. 3    B.     C. -3    D.

2、设， ， ，且，则在上的投影的取值范围(   )

A.     B.     C.     D.

类型四  与平面向量数量积有关的最值问题

【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于　　

A． B． C． D．

【举一反三】

1、已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于　　

A． B． C． D．

3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（   ）

A. -1    B. -2    C. -3    D. -4

类型五  平面向量系数的取值范围问题

【例5】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（      ）

A.     B.     C.     D.

【举一反三】

1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　

A． B． C． D．

2.已知，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________

类型六  平面向量与三角形四心的结合

【例6】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．

【举一反三】

1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（    ）

A. 4    B.     C.    D.

2.已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（   ）

A.     B.     C.     D.

3、在中， ， ，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为__________.

三．强化训练

1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（　　）

A．1 B．                     C． D．

2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（  ）

A．2    B．8    C．6    D．3

3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（   ）

A． B． C． D．

4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为　　

A． B． C． D．0

5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点 若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是(     )

A.     B.     C.     D.

6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足， 则的最大值是（　）

A．1 B．2 C． D．

7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（   ）

A． B．

C． D．

8．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】在直角三角形中，，，，在斜边的中线上，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

9.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．

10.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．

11.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______．

12.【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为______．

13．【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】在中，已知为直角，，若长为的线段以点为中点，则的最大值为________

14．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．

16．【上海市青浦区2019届高三二模】已知为的外心，，，则的最大值为________