2021年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷（word版 含答案）

这是一份2021年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．. D．
2．电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃料，每座发动机产生150亿吨推力，请用科学计数法表示150亿为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某校八年级三班进行中国诗词知识竞赛，共有10组题目，该班得分情况如下表：
人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
65
76
80
92
100
全班40名同学的成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．76，78 B．76，76 C．80，78 D．76，80
5．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．已知方程组的解满足x＋y＝3，则k的值为(　　)．
A．10 B．8 C．2 D．－8
7．下列命题正确的是（ ）
A．方程x2﹣x+1＝0有两个不相等实数根
B．对角线相等的四边形是矩形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．等腰三角形底边上的中线平分顶角
8．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
9．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则（　　）

A． B． C． D．
10．如图，如图正方形内一点E，满足为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④

二、填空题
11．因式分解：3x2﹣12＝_____．
12．若有意义，则a的取值范围为_____
13．从﹣1，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为（x，y），则点M在直线l：y＝﹣x上的概率为_____．
14．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE，sin∠FCE＝_____．

15．如图，反比例函数的图象与矩形的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作，交直线 于点E，F，若， ，则四边形 的面积为 ______ ．


三、解答题
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
18．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

（1）m=　 　%，这次共抽取了　 　名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有　 　名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
19．如图，内接于，AB为直径，作交 AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且．

（1）求证：直线CE是的切线；
（2）如果，，求弦AC的长．
20．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
21．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；

（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．
22．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且，求N点坐标．


参考答案
1．B
【详解】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
考点：轴对称图形和中心对称图形
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.据此判断即可.
【详解】
150亿=15000000000=1.5×1010.
故选：B.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a及n的值是解题的关键.
3．C
【分析】
利用合并同类项对进行判断；根据积的乘方对进行判断；根据多项式乘多项式可对进行判断；根据完全平方公式对进行判断．
【详解】
解：．与不能合并，所以选项的计算错误；
．，所以选项的计算错误；
．，所以选项的计算正确；
．，所以选项的计算错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，整式的运算和完全平方公式，熟练掌握相关解法是解决题目的关键．
4．A
【分析】
根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】
解：这组数据的众数为76，
共有个数据，
中位数为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查众数和中位数，熟悉相关性质是解题的关键．
5．C
【分析】
先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．
【详解】
设直线与的交点为．
∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
6．B
【详解】
试题解析：由题意可得，
2×①-②得y=k-，
②-③得x=-2，
代入③得y=5，
则k-=5，
解得k=8．
故选B.
7．D
【分析】
根据垂径定理，矩形的判定方法，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】
A．方程x2﹣x+1＝0中，△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程没有实数根，故本选项错误；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故本选项错误；
D．等腰三角形底边上的中线平分顶角，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，矩形的判定方法，一元二次方程根的判别式，垂径定理，熟记定理是解题的关键．
8．A
【分析】
先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边，即可求出菱形的周长.
【详解】
，
，
，，
当时，由菱形的对角线的一条对角线和菱形的两边，不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当时，由菱形的对角线的一条对角线和菱形的两边，能组成三角形，即存在菱形，菱形的周长为.
故选.
【点睛】
此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的的值，也是易错点.
9．D
【分析】
利用基本作图得平分，作于，如图，根据角平分线的性质得，再利用等腰直角三角形的性质得，，，设，则，，，所以，然后根据正切的定义求解．
【详解】
解：由作法得平分，
作于，如图，

为角平分线，，，
，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
设，则，，
，
，
，
在中，．
故选：．
【点睛】
本题考查了作图基本作图：作已知角的角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，正切等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
10．A
【分析】
根据等边三角形的性质求出，然后求出，再根据等腰三角形的性质求出，然后求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，判断出①正确，过点作，可得，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和，然后根据全等三角形对应边相等可得，再根据等边三角形的性质，点是的中点，从而得到，判断出②正确；再求出，过点作于，过点作于，解直角三角形分别用、表示出，可以得到，再表示出，即可判定③正确；设，表示出、，然后求出的值，判断出④错误．
【详解】
解：为正三角形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
过点作，

则，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
为正三角形，
点在的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理，点是的中点，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
过点作于，过点作于，
则，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，故③正确；
，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：．
【点睛】
本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
11．3（x+2）（x﹣2）
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式＝3(x2﹣4)
＝3(x+2)(x﹣2)．
故答案为：3(x+2)(x﹣2)．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12．且
【分析】
根据平方根和分数有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】
要使有意义，4-a，且a+2，即且.
【点睛】
本题主要考察学生对平方根和分数有意义的条件的掌握，同时能够正确地解不等式也是关键.
13．
【分析】
根据题意画出树状图得出所有点M的坐标，得出符合条件M的坐标，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：根据题意画图如下：

得到点M的坐标分别是（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1），
共有6个等可能的结果，点M在直线l：y＝﹣x上的结果有2个，
∴点M在直线l：y＝﹣x上的概率为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查事件概率：列举法求事件的概率，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键.
14．．
【分析】
过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH，进一步利用三角函数的意义求得答案即可．
【详解】
解：如图，

过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝3，
∴EF＝CE＝3，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE＝，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠问题、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识，求出对应线段长．
15．．
【分析】
延长交轴于，作于 ，证得，即可证得，设 ，用表示和 ，根据三角形面积公式求得即可结果．
【详解】
解：延长交轴于，作于

设，则， ，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，证得是解题的关键．
16．．
【分析】
根据30°的余弦值、绝对值的非负性、二次根式的乘法公式、负指数幂的性质和零指数幂的性质计算即可．
【详解】
原式．
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算，掌握30°的余弦值、绝对值的非负性、二次根式的乘法公式、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解决此题的关键．
17．，-2．
【分析】
根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后根据是不等式组的整数解，可以求得整数的值，然后将使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：



，
由得，，
是不等式组的整数解，，
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组，熟悉相关解法是解答本题的关键．
18．（1）20；50；（2）360；（3）.
【详解】
试题分析：（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；
（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%=50；
如图所示；50×20%=10（人）．

（2）1500×24%=360；
（3）列表如下：


男1

男2

男3

女

男1



男2，男1

男3，男1

女，男1

男2

男1，男2



男3，男2

女，男2

男3

男1，男3

男2，男3



女，男3

女

男1，女

男2，女

男3，女



∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P=.
考点：1.列表法与树状图法；2.扇形统计图；3.条形统计图．
19．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则 ，则可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出 的长．
【详解】
（1）证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在和中，
，，
，
，
即，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
20．（1）26,35；（2）①y＝﹣2x2+68x+1470；②15，2040.
【分析】
1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据题意列出分式方程即可求解；（2）①根据y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，②根据二次函数的对称轴与物价部门规定其销售单价不高于每对65元，即可求出最大利润.
【详解】
解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最大＝2040．
答：乙种灯笼的销售单价为15元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点睛】
此题主要考查分式方程与二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.
21．（1）见解析；（2）EF＝；（3）BP＝．
【分析】
（1）过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
(2)连接BD，根据矩形的性质得出BD的长，再根据结论（1）得出，进而可求出EF的长.
（3）过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．根据矩形的性质得到AD、CD的长，由结论（1）可得出DG的长，再由勾股定理得出AG的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF是矩形，进而得出FH的长度，最后根据相似三角形得出BJ、PJ的长度就可以得出BP的长度.
【详解】
（1）如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴,
∴.
（2）如图②中，连接BD．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
∴BD＝,
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴ ,
∴ ,
∴EF＝ .
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴= ,
∴DG＝，
∴AG＝＝1，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x2＝（3﹣x）2+1，
∴x＝，
∴DE＝EG＝，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝2，
∴EH＝，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JPF，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴，
∴，
∴FJ＝，PJ＝，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，
在Rt△BJP中，BP＝．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
22．（1）；（2）m有最大值是3，此时；（3）
【分析】
（1）利用直线经过、两点，先求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据表达式，设出点坐标 ，，用含 的代数式分别表达出线段、，转化成关于的二次函数，再求的最大值及 点坐标；
（3）根据条件，且，利用三角形的全等去确定满足条件的 、点，再根据函数解析式求它们的坐标．
【详解】
解：（1）当时，；
当时，，；
，，
点，在抛物线上，
，解得： ，
；
（2）如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，

设，，
，
，且 ，，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是3，
此时；
（3）过作交于点，过 点作，交的延长线于点，则，
，

由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
的解析式为：，
，
解得：，，
，
设，
，
，
解得：，
．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，还考查了用二次函数求最值，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键．