新高考数学复习专题59 由递推关系求数列的通项（解析版）

专题59  由递推关系求数列的通项

一、题型选讲

题型一 、 由连续两项之间的关系确定数列的通项

利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：

1、对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；

2、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；

3、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；

4、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

例1、已知数列中，，求数列的通项公式。

【解析】解法一：

        又是首项为2，公比为2的等比数列

        ，即

解法二：

        两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

例2、在数列{}中，已知=， 求

【解析】：  由已知递推式得：

即：   

……………..

         以上各式相加：

                  =

                 ==

                 当时 =1— 

          所以=

例3、已知 求

【解析】：由已知递推式得

               即：=

                  =

             ………………………

以上各式相乘:   

             当时 ==3

所以：

题型二、由连续三项确定数列的通项

原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。

例4、（2021年八省适应性考试）已知各项都为正数的数列满足．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若，，求的通项公式．

【解析】（1）解法一：由题设得，            

且．                                     

因此数列是首项为，公比为3的等比数列．

     （2） 解法一：由（1）知，                       

              于是．                                      

              又，故．                                    

              因此数列的通项公式为．                          

      解法二：由（1）知，                          

              所以．

              令，，从而．             

              又，所以．                         

              从而，即．

              因此数列的通项公式为．                  

      说明另一种设法：

          令，则，从而．又，

所以．从而，即．

因此数列的通项公式为．

      解法三：由（1）知，                     

              所以．                            

              令，则．

              从而

              又，所以．

              即．

              因此数列的通项公式为．

      说明也可以在“”两边同时乘以“”，得到

          ，然后累加．

       解法四：因为，所以．

               因为，，所以．

               从而，即．

               所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列．

               因此数列的通项公式为．

        解法五：因为，所以．

                因为，，所以．

                从而．

由（1）知．

                因此，即数列的通项公式为．

 解法六：由（1）知．

                从而．

                两式作差得，．

                当是奇数，且时，

                      ，

                即；

                当是偶数，且时，

                      ，

                所以．

                从而，．

                又，，满足．

因此数列的通项公式为．

      解法七：由（1）知．

              当是奇数，

                               ，

              即；

              当是偶数，

                               ，

              即．

因此数列的通项公式为．

      解法八：由（1）知．

当是偶数，

；

当是奇数，且时，

，

              又，．

              所以．

              因此数列的通项公式为．

      解法九：因为数列满足，

              其特征方程为，解得，．

              因此．

              因为，，所以解得

因此数列的通项公式为．

     解法十：因为，，，所以．

             归纳猜想：．

             下面用数学归纳法证明．

①当时，成立；

②假设当时，，则当时，

               成立．

因此数列的通项公式为．

      说明利用，可以用第一数学归纳法证明．

二、达标训练

1、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则数列的前项和为

C．若，则是等比数列

D．若，则

【答案】ACD

【解析】因为数列的前项和为，且满足，

当时，可得，

即，所以，

可得，即，

又因为，所以，

则，可得，

故A正确，B不正确.

当时，由已知得，

即，

所以，所以，所以，

所以，所以，故C正确，D正确.

故选：ACD.

2、（2021·湖北高三期末）已知数列的首项且满足，其中，则下列说法中正确的是（    ）

A．当时，有恒成立

B．当时，有恒成立

C．当时，有恒成立

D．当时，有恒成立

【答案】AC

【解析】因为，故，

当即时，，，，故为周期数列且，故A正确.

当即时，，同理，，，，，故，故B错误.

当即时，根据等比数列的通项公式可有，

，， ，故D错误.

对于C，当时，数列的前108项依次为：

，

，

，

，

，

，

故，，，，，

所以对任意总成立.

（备注：因为本题为多选题，因此根据A正确，BD错误可判断出C必定正确，可无需罗列出前108项）

故选：AC.

3、已知数列满足，求数列的通项公式。

【解析】：设  

比较系数得或，不妨取，

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

数列{}中，已知=3， 求

解法一：由得 成等比数列

     即=

解法二：等式两边同除得令则有

通过叠加可求得 故

另解：由 ① 得 ②

  ②-①：

为等比数列，首项为，公比为3.

     故     ③

 由①③知

4、在数列{}中，已知=1，，求.

   【解析】解法一：设数列

               即：  

比较系数：

令得：

      解法二：两边同除  

令则

 即：

             ………..

而，.