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2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-10各小题所选答案的标号填写在第10小题后面的表格内．
1．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣3 C．±＝4 D．＝﹣4
3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．7，12，15 C．3，4，5 D．5，12，13
4．如图，在正方形网格中，若点A（1，1），点C（3，﹣2），则点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，1）
5．已知，点A（﹣6，y1）和点B（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
6．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．1﹣的绝对值＝ ，比较大小 ．
10．的平方根是 ，立方根是 ．
11．已知点A（m，n）和点B（3，2），若直线AB∥x轴，且AB＝4，则m+n的值 ．
12．对于边长为4的等边三角形ABC，以点B为坐标原点，底边BC方向所在的直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标是 ．
13．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是 ．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是 ．
15．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
（1）A，B之间的距离为1200m；
（2）乙行走的速度是甲的1.5倍；
（3）b＝960；
（4）a＝34．
以上结论正确的是 ．
三、作图题（本题满分6分）
17．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
四、解答题（本题满分66分，共有7道小题）
18．化简与计算．
（1）﹣20+；
（2）（﹣3）×﹣6；
（3）；
（4）（+）（﹣）．
19．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
20．如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
21．如图，某一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求此一次函数的表达式及△BOC的面积．
22．今年由于空气污染严重，全国出现大面积的雾霾天气，因而家庭用空气净化器成为了市民的一种新兴的电气，即墨市亚泰电器公司记录了一天空气净化器的销售收入与销售量的关系用L1表示，销售成本与销售量的关系用L2表示．如图．
（1）求L1及L2的函数表达式；
（2）当x＝1时，销售收入＝ 万元，销售成本＝ 万元，盈利 万元．
（3）当一天销售超过 台时，公司开始盈利．
（4）写出公司利润与销售量之间的函数关系式．
23．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；
如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，
纵放的木棒为 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条；
如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条；
如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 条，竖放木棒条数为 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 条．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3cm，BC＝5cm，动点Q从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，速度为2cm/s；动点P从点B出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度为1cm/s．P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）t为何值，四边形ABPQ是矩形？
（2）t为何值，P在线段AC的垂直平分线上？
（3）设四边形ABPQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）是否存在某一时刻t，S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3．
2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数；
＝6，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有20π，，8.181181118…按规律排列）共3个．
故选：A．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣3 C．±＝4 D．＝﹣4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【解答】解：A、＝4，故本选项错误；
B、＝﹣3，故本选项正确；
C、±＝±4，故本选项错误；
D、＝4，故本选项错误；
故选：B．
3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．7，12，15 C．3，4，5 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、12+（）2＝22，能作为直角三角形的三边长；
B、72+122≠152，不能作为直角三角形的三边长；
C、32+42＝52，能作为直角三角形的三边长；
D、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长．
故选：B．
4．如图，在正方形网格中，若点A（1，1），点C（3，﹣2），则点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，1）
【分析】直接利用A，C点坐标建立平面直角坐标系进而得出B点坐标．
【解答】解：如图所示：点B的坐标为（2，0）．
故选：C．
5．已知，点A（﹣6，y1）和点B（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
【分析】根据一次函数中，当k＜0时，y随x的增大而减小可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣x﹣1，k＝﹣0.5＜0，
∴在y＝﹣x﹣1的图象上y随x的增大而减小，
∵点（﹣6，y1）、（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，﹣6＜1，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设NB＝x，则AN＝3﹣x，由翻折的性质可知ND＝3﹣x，然后在△BND中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设NB＝x，则AN＝3﹣x．
由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝BC＝1．
在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴BN＝，
故选：B．
7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣
【分析】比﹣1大的数即是A表示的数．
【解答】解：以数轴的单位长线段为边作一个正方形，
∴正方形的对角线长度为，
过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，
∴A表示的数是为：﹣1+．
故选：C．
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，可得k＞0，﹣k＜0，然后，判断一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过象限即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．1﹣的绝对值＝ ﹣1 ，比较大小 ＞ ．
【分析】估算，﹣1的大小即可得出答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴1﹣＜0，
∴|1﹣|＝﹣1，
∵1＜＜2，
∴0＜﹣1＜1，
即：1＞﹣1，
∴＞，
故答案为：﹣1，＞．
10．的平方根是 ± ，立方根是 ．
【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵＝3，
∴的平方根是±，立方根是．
故答案为：±，．
11．已知点A（m，n）和点B（3，2），若直线AB∥x轴，且AB＝4，则m+n的值 1或9 ．
【分析】确定点A的坐标，可得结论．
【解答】解：∵B（3，2）AB＝4，AB∥x轴，
∴A（﹣1，2）或（7，2），
∴m＝﹣1，n＝2或m＝7，n＝2，
∴m+n＝1或9，
故答案为：1或9．
12．对于边长为4的等边三角形ABC，以点B为坐标原点，底边BC方向所在的直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标是 （2，2）或（2，﹣2）． ．
【分析】分类讨论：
当点C在第一象限，如图1，作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得BD＝CD＝BC＝2，∠BAD＝30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝BD＝2，于是得到A点坐标为（2，2）；
当点C在第四象限，如图2，作AD⊥BC于D，同理可得BD＝CD＝BC＝2，AD＝BD＝2，则A点坐标为（2，﹣2）．
【解答】解：当点C在第一象限，如图1，
作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴BD＝CD＝BC＝2，∠BAD＝30°，
∴AD＝BD＝2，
∴A点坐标为（2，2）；
当点C在第四象限，如图2，
作AD⊥BC于D，同理可得BD＝CD＝BC＝2，AD＝BD＝2，
∴A点坐标为（2，﹣2），
综上所述，点A的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
故答案为（2，2）或（2，﹣2）．
13．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是 y＝100﹣80x ．
【分析】汽车距张庄的路程＝总路程﹣走过的路程，根据题意写出函数关系式即可．
【解答】解：根据题意得：y＝100﹣80x．
故答案为：y＝100﹣80x．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是 x＝﹣2 ．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点横坐标就是ax+b＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
15．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【分析】蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可．
【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和3，
则所走的最短线段AB＝＝3；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是23和10，
所以走的最短线段AB＝＝4；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是15和18，
所以走的最短线段AB＝＝；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为：．
16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
（1）A，B之间的距离为1200m；
（2）乙行走的速度是甲的1.5倍；
（3）b＝960；
（4）a＝34．
以上结论正确的是 （1）（2）（4） ．
【分析】①由x＝0时y＝1200，可得出A、B之间的距离为1200m；②根据速度＝路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度＝路程÷时间﹣乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；③根据路程＝二者速度和×运动时间，即可求出b＝800；④根据甲走完全程所需时间＝两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a＝34．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1200，
∴A、B之间的距离为1200m，结论（1）正确；
（2）乙的速度为1200÷（24﹣4）＝60（m/min），
甲的速度为1200÷12﹣60＝40（m/min），
60÷40＝1.5，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论（2）正确；
（3）b＝（60+40）×（24﹣4﹣12）＝800，结论（3）错误；
（4）a＝1200÷40+4＝34，结论（4）正确．
故结论正确的有（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．
三．解答题
17．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象知A1的坐标为（﹣3，﹣5）、B1的坐标为（﹣6，﹣1）、C1的坐标为（﹣1，﹣3）；
（3）△ABC的面积4×5﹣×3×4﹣×2×2﹣×2×5＝7．
18．化简与计算．
（1）﹣20+；
（2）（﹣3）×﹣6；
（3）；
（4）（+）（﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用二次根式的除法法则运算；
（4）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+
＝；
（2）原式＝﹣3﹣3
＝3﹣9﹣3
＝﹣9；
（3）原式＝+
＝2+3
＝5；
（4）原式＝2﹣3
＝﹣1．
19．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
20．如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
【分析】根据勾股定理得出方程解答即可．
【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（50﹣x）km
∵DE＝CE
∴302+x2＝（50﹣x）2+202
解得x＝20
答：基地E应建在离A站20km的地方．
21．如图，某一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求此一次函数的表达式及△BOC的面积．
【分析】（1）根据点B在函数y＝﹣x上，点B的横坐标为﹣1，可以求得点B的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（﹣1，m）．
∴m＝1；
（2）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（0，2），B（﹣1，1）代入，得，
解方程组，得，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+2，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴S△BOC＝×2×1＝1．
22．今年由于空气污染严重，全国出现大面积的雾霾天气，因而家庭用空气净化器成为了市民的一种新兴的电气，即墨市亚泰电器公司记录了一天空气净化器的销售收入与销售量的关系用L1表示，销售成本与销售量的关系用L2表示．如图．
（1）求L1及L2的函数表达式；
（2）当x＝1时，销售收入＝ 1 万元，销售成本＝ 万元，盈利 ﹣ 万元．
（3）当一天销售超过 2 台时，公司开始盈利．
（4）写出公司利润与销售量之间的函数关系式．
【分析】（1）设L1的函数表达式y＝k1x，根据题意可知当x＝2时，y＝2，则k1＝1，即销售收入与销售量之间的函数关系式为y＝x为y＝x；设L2的函数表达式y＝kx+b，把已知坐标代入可得解析式y＝x+1；
（2）根据L1及L2的函数表达式即可求解；
（3）由图可知当x＞2时，销售收入大于销售成本；
（4）然后根据利润＝销售收入﹣销售成本列式整理即可．
【解答】解：（1）设L1的函数表达式为y＝k1x，
根据题意得，2＝2k1，
∴k1＝1，
∴y＝x；
L2的函数表达式为y＝kx+b，
∵直线过（0，1）、（2，2）两点，
∴1＝b，2＝2k+1，
∴k＝，
∴y＝x+1；
（2）当x＝1时，销售收入是y＝x＝1（万元），销售成本是y＝x+1＝（万元），
此时盈利（收入﹣成本）为：1﹣＝﹣（万元），
故答案为：1，，﹣；
（3）由图象知，当x＝2时，销售收入等于销售成本，
∴x＝x+1，
∴x＝2，
∴当一天销售超过2台时，公司开始盈利．
故答案为：2；
（4）∵L1的函数表达式为y＝x，L2的函数表达式为y＝x+1，
∴利润＝x﹣（x+1）＝x﹣1．
即利润与销售量的函数关系式式为：利润＝x﹣1．
23．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；
如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒 22 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1） 条，
纵放的木棒为 n（m+1） 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条；
如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条；
如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 [m（n+1）+n（m+1）]（s+1） 条，竖放木棒条数为 （m+1）（n+1）s 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 4 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 1320 条．
【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；
【解答】解：问题（一）：当m＝4，n＝2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，共需22条；
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条；
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条．
实际应用：这个长方体框架的横长是 m，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4＝170，解得m＝4，
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，水平方向木棒条数之和为165×6＝990条，竖直方向木棒条数为66×5＝330条需要木棒1320条．
故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320；
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3cm，BC＝5cm，动点Q从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，速度为2cm/s；动点P从点B出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度为1cm/s．P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）t为何值，四边形ABPQ是矩形？
（2）t为何值，P在线段AC的垂直平分线上？
（3）设四边形ABPQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）是否存在某一时刻t，S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3．
【分析】（1）根据AQ＝BP列方程解出即可解答；
（2）如图1，连接AP，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PC，最后根据勾股定理列方程可解答；
（3）根据梯形面积公式列式可解答；
（4）根据S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3列方程可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DQ＝2t，BP＝t，
∵∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴当AQ＝BP时，四边形ABPQ是矩形，
即t＝3﹣2t，
解得：t＝1，
答：当t＝1时，四边形ABPQ是矩形；
（2）如图1，连接AP，
∵P在线段AC的垂直平分线上，
∴AP＝PC＝5﹣t，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BP2＝AP2，即32+t2＝（5﹣t）2，
解得：t＝1.6，
答：t为1.6时，P在线段AC的垂直平分线上；
（3）∵AD∥BC，
∴S＝＝＝﹣+（0≤t＜）；
（4）存在，
∵S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3，
∴＝，
解得：t＝．
2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-10各小题所选答案的标号填写在第10小题后面的表格内．
1．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣3 C．±＝4 D．＝﹣4
3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．7，12，15 C．3，4，5 D．5，12，13
4．如图，在正方形网格中，若点A（1，1），点C（3，﹣2），则点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，1）
5．已知，点A（﹣6，y1）和点B（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
6．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．1﹣的绝对值＝ ，比较大小 ．
10．的平方根是 ，立方根是 ．
11．已知点A（m，n）和点B（3，2），若直线AB∥x轴，且AB＝4，则m+n的值 ．
12．对于边长为4的等边三角形ABC，以点B为坐标原点，底边BC方向所在的直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标是 ．
13．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是 ．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是 ．
15．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
（1）A，B之间的距离为1200m；
（2）乙行走的速度是甲的1.5倍；
（3）b＝960；
（4）a＝34．
以上结论正确的是 ．
三、作图题（本题满分6分）
17．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
四、解答题（本题满分66分，共有7道小题）
18．化简与计算．
（1）﹣20+；
（2）（﹣3）×﹣6；
（3）；
（4）（+）（﹣）．
19．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
20．如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
21．如图，某一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求此一次函数的表达式及△BOC的面积．
22．今年由于空气污染严重，全国出现大面积的雾霾天气，因而家庭用空气净化器成为了市民的一种新兴的电气，即墨市亚泰电器公司记录了一天空气净化器的销售收入与销售量的关系用L1表示，销售成本与销售量的关系用L2表示．如图．
（1）求L1及L2的函数表达式；
（2）当x＝1时，销售收入＝ 万元，销售成本＝ 万元，盈利 万元．
（3）当一天销售超过 台时，公司开始盈利．
（4）写出公司利润与销售量之间的函数关系式．
23．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；
如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，
纵放的木棒为 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条；
如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条；
如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 条，竖放木棒条数为 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 条．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3cm，BC＝5cm，动点Q从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，速度为2cm/s；动点P从点B出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度为1cm/s．P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）t为何值，四边形ABPQ是矩形？
（2）t为何值，P在线段AC的垂直平分线上？
（3）设四边形ABPQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）是否存在某一时刻t，S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3．
2020-2021学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数；
＝6，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有20π，，8.181181118…按规律排列）共3个．
故选：A．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣3 C．±＝4 D．＝﹣4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【解答】解：A、＝4，故本选项错误；
B、＝﹣3，故本选项正确；
C、±＝±4，故本选项错误；
D、＝4，故本选项错误；
故选：B．
3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，，2 B．7，12，15 C．3，4，5 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、12+（）2＝22，能作为直角三角形的三边长；
B、72+122≠152，不能作为直角三角形的三边长；
C、32+42＝52，能作为直角三角形的三边长；
D、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长．
故选：B．
4．如图，在正方形网格中，若点A（1，1），点C（3，﹣2），则点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，1）
【分析】直接利用A，C点坐标建立平面直角坐标系进而得出B点坐标．
【解答】解：如图所示：点B的坐标为（2，0）．
故选：C．
5．已知，点A（﹣6，y1）和点B（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
【分析】根据一次函数中，当k＜0时，y随x的增大而减小可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣x﹣1，k＝﹣0.5＜0，
∴在y＝﹣x﹣1的图象上y随x的增大而减小，
∵点（﹣6，y1）、（1，y2）都在直线y＝﹣x﹣1上，﹣6＜1，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设NB＝x，则AN＝3﹣x，由翻折的性质可知ND＝3﹣x，然后在△BND中利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设NB＝x，则AN＝3﹣x．
由翻折的性质可知：ND＝AN＝3﹣x．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝BC＝1．
在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴BN＝，
故选：B．
7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣
【分析】比﹣1大的数即是A表示的数．
【解答】解：以数轴的单位长线段为边作一个正方形，
∴正方形的对角线长度为，
过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，
∴A表示的数是为：﹣1+．
故选：C．
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，可得k＞0，﹣k＜0，然后，判断一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过象限即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．1﹣的绝对值＝ ﹣1 ，比较大小 ＞ ．
【分析】估算，﹣1的大小即可得出答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴1﹣＜0，
∴|1﹣|＝﹣1，
∵1＜＜2，
∴0＜﹣1＜1，
即：1＞﹣1，
∴＞，
故答案为：﹣1，＞．
10．的平方根是 ± ，立方根是 ．
【分析】依据平方根以及立方根的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵＝3，
∴的平方根是±，立方根是．
故答案为：±，．
11．已知点A（m，n）和点B（3，2），若直线AB∥x轴，且AB＝4，则m+n的值 1或9 ．
【分析】确定点A的坐标，可得结论．
【解答】解：∵B（3，2）AB＝4，AB∥x轴，
∴A（﹣1，2）或（7，2），
∴m＝﹣1，n＝2或m＝7，n＝2，
∴m+n＝1或9，
故答案为：1或9．
12．对于边长为4的等边三角形ABC，以点B为坐标原点，底边BC方向所在的直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标是 （2，2）或（2，﹣2）． ．
【分析】分类讨论：
当点C在第一象限，如图1，作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得BD＝CD＝BC＝2，∠BAD＝30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝BD＝2，于是得到A点坐标为（2，2）；
当点C在第四象限，如图2，作AD⊥BC于D，同理可得BD＝CD＝BC＝2，AD＝BD＝2，则A点坐标为（2，﹣2）．
【解答】解：当点C在第一象限，如图1，
作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴BD＝CD＝BC＝2，∠BAD＝30°，
∴AD＝BD＝2，
∴A点坐标为（2，2）；
当点C在第四象限，如图2，
作AD⊥BC于D，同理可得BD＝CD＝BC＝2，AD＝BD＝2，
∴A点坐标为（2，﹣2），
综上所述，点A的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
故答案为（2，2）或（2，﹣2）．
13．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是 y＝100﹣80x ．
【分析】汽车距张庄的路程＝总路程﹣走过的路程，根据题意写出函数关系式即可．
【解答】解：根据题意得：y＝100﹣80x．
故答案为：y＝100﹣80x．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是 x＝﹣2 ．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点横坐标就是ax+b＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
15．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【分析】蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可．
【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和3，
则所走的最短线段AB＝＝3；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是23和10，
所以走的最短线段AB＝＝4；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是15和18，
所以走的最短线段AB＝＝；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为：．
16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，有下列说法：
（1）A，B之间的距离为1200m；
（2）乙行走的速度是甲的1.5倍；
（3）b＝960；
（4）a＝34．
以上结论正确的是 （1）（2）（4） ．
【分析】①由x＝0时y＝1200，可得出A、B之间的距离为1200m；②根据速度＝路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度＝路程÷时间﹣乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；③根据路程＝二者速度和×运动时间，即可求出b＝800；④根据甲走完全程所需时间＝两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a＝34．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1200，
∴A、B之间的距离为1200m，结论（1）正确；
（2）乙的速度为1200÷（24﹣4）＝60（m/min），
甲的速度为1200÷12﹣60＝40（m/min），
60÷40＝1.5，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论（2）正确；
（3）b＝（60+40）×（24﹣4﹣12）＝800，结论（3）错误；
（4）a＝1200÷40+4＝34，结论（4）正确．
故结论正确的有（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．
三．解答题
17．如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣3，5），B（﹣6，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象知A1的坐标为（﹣3，﹣5）、B1的坐标为（﹣6，﹣1）、C1的坐标为（﹣1，﹣3）；
（3）△ABC的面积4×5﹣×3×4﹣×2×2﹣×2×5＝7．
18．化简与计算．
（1）﹣20+；
（2）（﹣3）×﹣6；
（3）；
（4）（+）（﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用二次根式的除法法则运算；
（4）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+
＝；
（2）原式＝﹣3﹣3
＝3﹣9﹣3
＝﹣9；
（3）原式＝+
＝2+3
＝5；
（4）原式＝2﹣3
＝﹣1．
19．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值，然后求出3a﹣4b的值，再根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
20．如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
【分析】根据勾股定理得出方程解答即可．
【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（50﹣x）km
∵DE＝CE
∴302+x2＝（50﹣x）2+202
解得x＝20
答：基地E应建在离A站20km的地方．
21．如图，某一次函数图象经过点A（0，2），且与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求此一次函数的表达式及△BOC的面积．
【分析】（1）根据点B在函数y＝﹣x上，点B的横坐标为﹣1，可以求得点B的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（﹣1，m）．
∴m＝1；
（2）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（0，2），B（﹣1，1）代入，得，
解方程组，得，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+2，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴S△BOC＝×2×1＝1．
22．今年由于空气污染严重，全国出现大面积的雾霾天气，因而家庭用空气净化器成为了市民的一种新兴的电气，即墨市亚泰电器公司记录了一天空气净化器的销售收入与销售量的关系用L1表示，销售成本与销售量的关系用L2表示．如图．
（1）求L1及L2的函数表达式；
（2）当x＝1时，销售收入＝ 1 万元，销售成本＝ 万元，盈利 ﹣ 万元．
（3）当一天销售超过 2 台时，公司开始盈利．
（4）写出公司利润与销售量之间的函数关系式．
【分析】（1）设L1的函数表达式y＝k1x，根据题意可知当x＝2时，y＝2，则k1＝1，即销售收入与销售量之间的函数关系式为y＝x为y＝x；设L2的函数表达式y＝kx+b，把已知坐标代入可得解析式y＝x+1；
（2）根据L1及L2的函数表达式即可求解；
（3）由图可知当x＞2时，销售收入大于销售成本；
（4）然后根据利润＝销售收入﹣销售成本列式整理即可．
【解答】解：（1）设L1的函数表达式为y＝k1x，
根据题意得，2＝2k1，
∴k1＝1，
∴y＝x；
L2的函数表达式为y＝kx+b，
∵直线过（0，1）、（2，2）两点，
∴1＝b，2＝2k+1，
∴k＝，
∴y＝x+1；
（2）当x＝1时，销售收入是y＝x＝1（万元），销售成本是y＝x+1＝（万元），
此时盈利（收入﹣成本）为：1﹣＝﹣（万元），
故答案为：1，，﹣；
（3）由图象知，当x＝2时，销售收入等于销售成本，
∴x＝x+1，
∴x＝2，
∴当一天销售超过2台时，公司开始盈利．
故答案为：2；
（4）∵L1的函数表达式为y＝x，L2的函数表达式为y＝x+1，
∴利润＝x﹣（x+1）＝x﹣1．
即利润与销售量的函数关系式式为：利润＝x﹣1．
23．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；
如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒 22 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1） 条，
纵放的木棒为 n（m+1） 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条；
如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条；
如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为 [m（n+1）+n（m+1）]（s+1） 条，竖放木棒条数为 （m+1）（n+1）s 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 4 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒 1320 条．
【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；
【解答】解：问题（一）：当m＝4，n＝2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，共需22条；
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条；
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条．
实际应用：这个长方体框架的横长是 m，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4＝170，解得m＝4，
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，水平方向木棒条数之和为165×6＝990条，竖直方向木棒条数为66×5＝330条需要木棒1320条．
故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320；
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3cm，BC＝5cm，动点Q从D点出发，沿线段DA向点A作匀速运动，速度为2cm/s；动点P从点B出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度为1cm/s．P，Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）t为何值，四边形ABPQ是矩形？
（2）t为何值，P在线段AC的垂直平分线上？
（3）设四边形ABPQ的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）是否存在某一时刻t，S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3．
【分析】（1）根据AQ＝BP列方程解出即可解答；
（2）如图1，连接AP，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PC，最后根据勾股定理列方程可解答；
（3）根据梯形面积公式列式可解答；
（4）根据S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3列方程可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DQ＝2t，BP＝t，
∵∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴当AQ＝BP时，四边形ABPQ是矩形，
即t＝3﹣2t，
解得：t＝1，
答：当t＝1时，四边形ABPQ是矩形；
（2）如图1，连接AP，
∵P在线段AC的垂直平分线上，
∴AP＝PC＝5﹣t，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BP2＝AP2，即32+t2＝（5﹣t）2，
解得：t＝1.6，
答：t为1.6时，P在线段AC的垂直平分线上；
（3）∵AD∥BC，
∴S＝＝＝﹣+（0≤t＜）；
（4）存在，
∵S四边形ABPQ：S四边形ABCD＝1：3，
∴＝，
解得：t＝．
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