2021年陕西省西安市中考数学四模试卷

这是一份2021年陕西省西安市中考数学四模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）12月3日23点10分，嫦娥五号上升器月面点火，约6分钟后，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道，实现我国首次地外天体起飞．起飞前，国旗展示系统成功在月面打开，这是中国首次在月球展示“织物版”五星红旗．380000公里外，那一抹“中国红”振奋着每一个中国人的心．请你用科学记数法表示380000（ ）
A．38×104B．3.8×105C．3.8×106D．0.38×106
4．（3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足11小时的节气是（ ）
A．惊蛰B．小满C．秋分D．大寒
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4B．x2•x3＝x6C．（x2）3＝x6D．（xy）3＝xy3
6．（3分）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15B．8C．﹣15D．﹣8
8．（3分）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
A．5B．3C．5D．2
9．（3分）如图，⊙O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tanD＝（ ）
A．B．C．2D．
10．（3分）若要平移二次的数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）已知＝，则的值为 ．
12．（3分）如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△DEF．如果AC与DE的交点G恰好为AC的中点，DF＝4，那么AG＝ ．
13．（3分）如图，将斜边长为2的等腰直角三角板（△ABP）放在平面直角坐标系中，令直角顶点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，边PA与x轴垂直．若坐标原点O恰好为△ABP的内心，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，请按照题目要求书写解题过程）
15．（5分）解关于x的不等式组：．
16．（5分）计算：（1﹣）÷．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，请用尺规作图的方法，在AC上确定一点D，使△BCD为以点D为直角顶点的直角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹）．
18．（5分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AN＝AB，AN∥CM．
求证：MN＝AC．
19．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
20．（7分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
21．（7分）双十一期间，某店铺在当当网上销售某种图书，每套售价80元，共销售了3000套；利润y（元）关于套数x（套）之间的函数如图所示，当销售超过1000套时，该店需向当当网额外支付5000元的平台使用费（不列入书的成本费用）．
当销售套数不超过1000套时，利润＝销售收入﹣成本费用；
当销售套数超过1000套时，利润＝销售收入﹣成本费用﹣平台使用费．
（1）当销售不超过1000套时，求利润y（元）关于销售套数x（套）的函数解析式；
（2）若利润为28000元，售出了多少套书，需支付的成本费用是多少？
22．（7分）在“新冠肺炎”肆虐时，无数抗疫英雄涌现，七年级（2）班老师为让同学们更深人地了解抗疫英雄钟南山、李兰娟、李文亮、张文宏（依次记为A、B、C、D）的事迹，设计了如下活动：取四张完全相同的卡片．分别写上A、B、C、D）四个标号，然后背面朝上放置在水平桌面上，搅匀后每个同学从中随机抽取一张卡片，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相对应抗疫英雄的资料，并做成小报．
（1）求小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率．
23．（8分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE•AB的值．
24．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求点A和点B的坐标及抛物线对称轴；
（2）若DC⊥BC，点P为第一象限内抛物线上一点，当△BCP的面积为5时，试求点P的坐标．
25．（12分）问题研究
（1）若等边△ABC边长为4，则△ABC的面积为 ；
（2）如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝135°，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且∠EAF＝∠C，求四边形AECF面积的最大值．
2021年陕西省西安市中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：A、﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、＝3，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2不是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2是对顶角；
故选：D．
3．（3分）12月3日23点10分，嫦娥五号上升器月面点火，约6分钟后，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道，实现我国首次地外天体起飞．起飞前，国旗展示系统成功在月面打开，这是中国首次在月球展示“织物版”五星红旗．380000公里外，那一抹“中国红”振奋着每一个中国人的心．请你用科学记数法表示380000（ ）
A．38×104B．3.8×105C．3.8×106D．0.38×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：380000＝3.8×105．
故选：B．
4．（3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足11小时的节气是（ ）
A．惊蛰B．小满C．秋分D．大寒
【分析】根据图象，可以写出白昼时长不足11小时的节气，然后即可解答本题．
【解答】解：由图可得，
白昼时长不足11小时的节气是立春、立秋、冬至、大寒，
故选：D．
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4B．x2•x3＝x6C．（x2）3＝x6D．（xy）3＝xy3
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A．结果是3x2，故本选项不符合题意；
B．结果是x5，故本选项不符合题意；
C．结果是x6，故本选项符合题意；
D．结果是x3y3，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则AC边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先计算出△ABC的面积和AC，再设AC边上的高为x，利用三角形面积公式可得答案．
【解答】解：△ABC的面积：2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2＝，
AC＝＝，
设AC边上的高为x，由题意得：
•x＝，
x＝，
故选：C．
7．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15B．8C．﹣15D．﹣8
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，结合x1+x2＝﹣5即可求出y1+y2的值．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，
∴y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，
又∵x1+x2＝﹣5，
∴y1+y2＝﹣3（x1+x2）＝﹣3×（﹣5）＝15．
故选：A．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
A．5B．3C．5D．2
【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到AB、CF与BF的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．
【解答】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝3，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝＝，
∴Rt△ACF中，AC＝＝＝，
故选：B．
9．（3分）如图，⊙O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tanD＝（ ）
A．B．C．2D．
【分析】设CD交AB于H．根据垂径定理得CH＝DH＝OH，设CH＝DH＝a，求出BH即可解决问题．
【解答】解：设CD交AB于H．
∵OB＝OC，
∴∠2＝∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，CH＝HD，
∵∠1＝2∠2，
∴4∠3＝90°，
∴∠3＝22.5°，
∴∠1＝45°，
∴CH＝OH，
设DH＝CH＝a，则a，BH＝a+a，
∴tanD＝＝＝1+，
故选：D．
10．（3分）若要平移二次的数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】首先求得抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，根据题意得到原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点为（m，﹣m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，如图，
∴原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是需要平移的最短距离，
∵y＝﹣x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB＝，
∵OA•OB＝AB•OD，即1×1＝OD，
∴OD＝，
∴需要平移的最短距离为，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）已知＝，则的值为 ．
【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将＝代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝﹣1，
当＝，原式＝﹣1＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△DEF．如果AC与DE的交点G恰好为AC的中点，DF＝4，那么AG＝ 2 ．
【分析】由平移的性质得AC＝DF＝4，根据线段中点的定义即可得到AG．
【解答】解：由平移的性质得AC＝DF，
∵DF＝4，
∴AC＝4，
∵G为AC的中点，
∴AG＝CG＝AC＝×4＝2，
故答案为：2．
13．（3分）如图，将斜边长为2的等腰直角三角板（△ABP）放在平面直角坐标系中，令直角顶点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，边PA与x轴垂直．若坐标原点O恰好为△ABP的内心，则k的值为 3﹣2 ．
【分析】连接OB，OP，延长PO交AB于D，根据题意PB＝，BD＝1，进而即可求得PE＝﹣1，即可得到P（﹣1，﹣1），根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】解：连接OB，OP，延长PO交AB于D，
∵△PAB是等腰直角三角形，原点O恰好为△ABP的内心，
∴PD⊥AB，BD＝AD＝AB，
∵斜边AB＝2，
∴PB＝，BD＝1，
在Rt△BOD和Rt△BOE中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△BOE（HL），
∴BE＝BD＝1，
∴PE＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1），
∵直角顶点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴k＝（﹣1）（﹣1）＝3﹣2，
故答案为3﹣2．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为 9 ．
【分析】如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．证明△EMN是等边三角形，根据CD≤DM+MN+NC，可得结论．
【解答】解：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．
由翻折的性质可知，AD＝DM＝3．AE＝EB＝EM＝EN＝3，CB＝CN＝3，∠AED＝∠MEB，∠EBC＝∠NEC，
∵∠DEC＝120°，
∴∠AED+∠BEC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DEM+∠NEC＝60°，
∴∠MEN＝60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴MN＝EM＝EN＝3，
∵CD≤DM+MN+CN，
∴CD≤9，
∴CD的最大值为9，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共11小题，请按照题目要求书写解题过程）
15．（5分）解关于x的不等式组：．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集．
【解答】解：，
由不等式①，得
x＞﹣1，
由不等式②，得
x＜6，
故原不等式组的解集是﹣1＜x＜6．
16．（5分）计算：（1﹣）÷．
【分析】先把原式中括号内的分式通分，然后将除法转化为乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝BC，请用尺规作图的方法，在AC上确定一点D，使△BCD为以点D为直角顶点的直角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹）．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，△BCD即为所求作．
【解答】解：如图，△BCD即为所求作．
18．（5分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AN＝AB，AN∥CM．
求证：MN＝AC．
【分析】欲证明MN＝AC，只要证明四边形ACMN是平行四边形即可．
【解答】证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵M是AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AN＝AB，
∴CM＝AN，
∵AN∥CM，
∴四边形ACMN是平行四边形．
∴MN＝AC．
19．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 8 ，b＝ 20 ；
（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，由频数之和为50求出b的值；
（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；
（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×＝240（人），
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
20．（7分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出＝，＝，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，
可得HO∥BN，
则△AOH∽△ABN，
故＝，
∵AB长为3米，BN长为1.5米，
∴＝①，
同理可得：△BOH∽△BAM，
则＝，
∵AB长为3米，AM长为1米，
∴＝②，
由①和②可得：AO＝1.2，OH＝0.6，
答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
21．（7分）双十一期间，某店铺在当当网上销售某种图书，每套售价80元，共销售了3000套；利润y（元）关于套数x（套）之间的函数如图所示，当销售超过1000套时，该店需向当当网额外支付5000元的平台使用费（不列入书的成本费用）．
当销售套数不超过1000套时，利润＝销售收入﹣成本费用；
当销售套数超过1000套时，利润＝销售收入﹣成本费用﹣平台使用费．
（1）当销售不超过1000套时，求利润y（元）关于销售套数x（套）的函数解析式；
（2）若利润为28000元，售出了多少套书，需支付的成本费用是多少？
【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数式；
（2）根据（1）中函数的性质以及自变量的取值范围来判断出不同条件下的不同的情况．
【解答】解：（1）当0≤x≤1000时，设y＝kx﹣20000，把（1000，30000）代入，得30000＝1000x﹣20000，
解得k＝50，
∴y＝50x﹣20000；
（2）当1000≤x≤3000时，设y＝ax+b，把（3000，125000），（1000，25000）代入，得：
，
解得，
∴y＝50x﹣25000；
设成本费用为w元，
①当50x﹣20000＝28000时，解得x＝960，
w＝30×960+20000＝48800（元）；
②当50x﹣25000＝28000时，解得x＝1060，
w＝30×1060+20000＝51800（元）．
答：若利润为28000元，当售出了960套书，需支付的成本费用是48800元；当售出了1060套书，需支付的成本费用是51800元．
22．（7分）在“新冠肺炎”肆虐时，无数抗疫英雄涌现，七年级（2）班老师为让同学们更深人地了解抗疫英雄钟南山、李兰娟、李文亮、张文宏（依次记为A、B、C、D）的事迹，设计了如下活动：取四张完全相同的卡片．分别写上A、B、C、D）四个标号，然后背面朝上放置在水平桌面上，搅匀后每个同学从中随机抽取一张卡片，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相对应抗疫英雄的资料，并做成小报．
（1）求小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）利用树状图展示16种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）小欢同学抽到的卡片上是钟南山的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，其中小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的有12种结果，
则小平和小安两位同学抽到的卡片上是不同英雄的概率为＝．
23．（8分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP＝AC．
（1）若∠B＝60°．求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD＝4，求BE•AB的值．
【分析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP＝90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接AD，OA，
∵∠ADC＝∠B，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AP＝AC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACD＝30°，∠P＝∠ACD＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）解：连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC＝90°，
∵CD＝4，B为弧CD中点，
∴BD＝BC＝＝2，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DCB＝45°，
即∠BDE＝∠DAB，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴＝，
∴BE•AB＝BD•BD＝2×2＝8．
24．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求点A和点B的坐标及抛物线对称轴；
（2）若DC⊥BC，点P为第一象限内抛物线上一点，当△BCP的面积为5时，试求点P的坐标．
【分析】（1）令y＝0，解方程即可求得A和B的坐标，对称轴利用公式x＝，即可求解；
（2）由△BCP的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝5，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣4ax﹣5a＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1，
所以A（﹣1，0），B（5，0），
对称轴为直线x＝；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点PH∥y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知：点C（0，﹣2a），点D（2，﹣9a）．
∵DC⊥BC，则∠DCB＝90°，
∵∠DCM+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠DCM＝∠OBC，
∴tan∠DCM＝tan∠OBC，
则，
而MC＝﹣9a+5a＝﹣4a，MD＝2，BO＝5，CO＝﹣5a，
即，解得a＝﹣（正值已舍去），
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+；
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+，
则△BCP的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝×5×（﹣x2+2x++x﹣）＝5，
解得x＝1或4，
故点P的坐标为（1，4）或（4，）．
25．（12分）问题研究
（1）若等边△ABC边长为4，则△ABC的面积为 4 ；
（2）如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝135°，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且∠EAF＝∠C，求四边形AECF面积的最大值．
【分析】解：（1）过点C作CD⊥AB于D，等边△ABC边长为4，可得AD＝BD＝AB＝×4＝2，在Rt△ACD中，由勾股定理AC2＝AD2+CD2，求出CD＝2，利用面积公式计算即可；
（2）由CD为AB边上的高，CD＝4，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过A作AE⊥BC于D，利用面积桥得4c＝ab，由三角函数求AE＝b，CE＝b，BE＝a﹣b，在Rt△ABE中由勾股定理得c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，仅当a＝b时取等号，即△ABC为等边三角形时即可；
（3）由∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝135°，可求∠BAD＝120°，将△ABE逆时针旋转120°得△ADG，可证C、D、G三点共线，可证△EAF≌△GAF（SAS），EF＝GF，S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣S△AGF，当S△AGF最小时，S四边形AECF最大，过A作AH⊥CG于H，由AD＝4，∠ADH＝45°，AH＝4，∠FAG＝60°，可求S△AGF＝AF．AG＝AH．GF，由（2）知AG＝AF时，△AFG面积最小，由点F在CD上运动，达不到△AFG是等边三角形，当向D运动时，△AFG面积逐渐减小，可知点F到点D时，△AFG面积最小，在AH上取点M使∠HMG＝30°，可证∠AGM＝15°＝∠HAG，可求GF＝12﹣4即可．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于D，
∵等边△ABC边长为4，
∴AD＝BD＝AB＝×4＝2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2+CD2，即42＝22+CD2，
解得：CD＝2，
∴S△ABC＝AB﹣CD＝×4×2＝4，
故答案为：4；
（2）∵CD为AB边上的高，若CD＝4，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，过A作AE⊥BC于E，
∴S△ABC＝AB×CD＝AE×BC＝BC×AC×sin 60°，
∴4c＝ab，
又∵AE＝AC•sin 60°＝b，CE＝AC•cs60°＝b，
BE＝BC﹣EC＝a﹣b，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得AB2＝AE2+BE2，即c2＝，
∴c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，
仅当a＝b时取等号，即△ABC为等边三角形时，
∴c2≥，
∴c≥，
∴S△ABC最小＝AB﹣CD＝××4＝；
（3）∵∠B＝45°，∠C＝60°，∠ADC＝135°，
∴∠BAD＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣45°﹣60°﹣135°＝120°，
将△ABE逆时针旋转120°得△ADG，
∵∠ADG＝∠B＝45°，AE＝AG，
∴∠ADG+∠ADC＝45°+135°＝180°，
∴C、D、G三点共线，
∵∠EAF＝∠C＝60°，
∵∠BAE+∠FAD＝120°﹣∠EAF＝60°，
∴∠GAD+∠FAD＝∠BAE+∠FAD＝60°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S四边形ABCD﹣S△AGF，
∴当S△AGF最小时，S四边形AECF最大，
过A作AH⊥CG于H，
∵AD＝4，∠ADH＝45′，
∴AH＝DH＝AD•sin45°＝4，
∵FAG＝60°，
∴S△AGF＝AF﹣AG﹣sin60°＝AF•AG＝AH﹣GF，
由（2）知AG＝AF时，△AFG面积最小，
由点F在CD上运动，达不到△AFG是等边三角形，当向D运动时，△AFG面积逐渐减小，
∴点F到点D时，△AFG面积最小，
此时△ABE≌△AFG≌△AFE，
∴∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝∠HAF＝45°，∠BAE＝∠FAE＝∠AG＝6O°，
∵AB＝AF＝AD＝4，
在AH_上取点M使∠HGM＝30°，
∵∠HAG＝∠FAG﹣∠FAH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠AGH＝90'﹣∠GAH＝75°，
∴∠AGM＝∠AGH﹣∠MGH＝75°﹣（90°﹣30°）＝15°＝∠HAG，
设GH＝x，MG＝2x，由勾股定理MH＝x，
∴AH＝AM+MH＝2x+x＝4，
∴x＝4（2﹣），
∴GF＝4+4（2﹣）＝12﹣4，
S△AEF＝S△AGF＝×4×（12﹣4）＝24﹣8，
∵EF＝GF＝12﹣4，
∵∠EFC＝∠ADC﹣∠ADE＝135°﹣45°＝90°，∠C＝60°，
∴S△CEF＝EF•FC＝EF•EF•tan∠FEC＝×（12﹣4）2×＝32﹣48，
∴S四边形AECF＝S△AEF+S△CEF＝24﹣8+32﹣48＝24﹣24．
∴四边形AECF面积的最大值为24﹣24．
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10