文科数学-2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）（含解析）

这是一份文科数学-2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）（含解析），共25页。试卷主要包含了若直线被圆所截得的弦长最短，则，给出一组样本数据，已知且且且，则等内容，欢迎下载使用。

2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）
文科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数，且，则
A． B．
C． D．
3．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
4．已知向量a＝(－1，2)，向量b满足a⊥b，|a＋b|＝3，则|b|＝
A．4 B．2
C．2 D．
5．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则
A． B． C． D．
6．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
7．若直线被圆所截得的弦长最短，则
A．4 B．2 C． D．-2
8．给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为
A． B． C． D．
9．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则
A． B．
C． D．
10．已知且且且，则
A． B． C． D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
12．已知四面体的顶点A，，，在同一个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线方程为__________.
14．已知，，均为锐角，且，则__________.
15．已知实数满足，则的最大值为__________.
16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，与轴垂直的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，，且，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，求证：.
18．（12分）
如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
19．（12分）
一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝､京东､天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数(百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的一组数据关系如下表：

3
4
5
6
7
8
9

66
69
73
81
89
90
91
（1）若与具有线性相关关系，判断与是正相关还是负相关；
（2）试求与的线性回归方程；
（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数(百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计算精确到小数点后两位)
参考公式与数据：，，..
20．（12分）
已知A、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数f(x)＝ln(2x－1)－2ax＋2a．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)≤0，求实数a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.




2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）
文科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
1．B 【解析】因为集合，，所以.故选B.
2．若复数，且，则
A． B．
C． D．
2．D 【解析】由，得，．故选D．
3．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
3．C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，．故选C．
4．已知向量a＝(－1，2)，向量b满足a⊥b，|a＋b|＝3，则|b|＝
A．4 B．2
C．2 D．
4．B【解析】因为a⊥b，又|a＋b|＝3，|a|＝，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋|b|2．所以5＋|b|2＝9，即|b|＝2．
5．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则
A． B． C． D．
5．C 【解析】依题意，对，有成立，令，则，所以，故，所以是周期为的周期函数，故.故选C.
6．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
6．D 【解析】设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，
该金字塔的侧棱长为，
所以需要灯带的总长度约为.故选 D．
7．若直线被圆所截得的弦长最短，则
A．4 B．2 C． D．-2
7．C 【解析】直线过定点，因为直线被圆所截得的弦长最短，所以点为弦的中点，故圆心与点的连线与直线垂直，则，解得.故选C.
8．给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为
A． B． C． D．
8．C 【解析】由题意得，样本平均值为，解得，
即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，，共6种情况，其中和为5的有，两种情况，∴所求概率为，故选C.
9．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则
A． B．
C． D．
9．A 【解析】在中，由正弦定理及，
得，∴，
又，∴.由正弦定理及，得，
又由余弦定理得，所以，得．故选A.
10．已知且且且，则
A． B． C． D．
10．D 【解析】因为，所以，同理，
令，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，即，而，
故，同理，，，
因为，故，
所以.故选D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
11．C 【解析】，将其图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，所以在间上不单调，故C错误；
当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．
故选C.
12．已知四面体的顶点A，，，在同一个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
12．C 【解析】如图所示，作的外接圆，过作直线平面，又平面，，连接，并延长交球于，连接，与的交点为球心，（为外接球的半径），则，在中，由余弦定理得，，又由正弦定理得
(为外接圆的半径)，，
，则四面体的外接球的表面积为.故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线方程为__________.
13． 【解析】由题意，函数，可得，则
，所以曲线在处的切线方程为，即.
14．已知，，均为锐角，且，则__________.
14． 【解析】因为，，均为锐角，所以，因为，所以，即，所以，得，因为为锐角，所以，所以.
15．已知实数满足，则的最大值为__________.
15． 【解析】画出表示的可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，

目标函数，其中可以看成是可行域内的点和点确定的直线l的斜率，由图可得，当直线过点A时，直线l的斜率最大，由解得，即，此时直线l的斜率为，故的最大值为.
16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，与轴垂直的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，，且，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
16． 【解析】由题意得，则．设，则，连接，在中，
．由双曲线的定义得，所以双曲线的离心率
．因为，所以，所以，即双曲线的离心率的取值范围为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，求证：.
【解析】（1）由，且，得，则.
故.（2分）
∵为等比数列，，设公比为，则，
∴，∴，∴，
，
所以，.（5分）
（2）由（1）得，（6分）
∴①，
②，
①②得（9分）
，
∴，
∴.（12分）
18．（12分）
如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【解析】（1）设.
四边形是菱形，为棱的中点，，.
在中，，
由余弦定理得，解得.（2分）
，，即.
，，且，平面.
平面，.（4分）
，，且，平面.
平面，平面平面.（6分）
（2）由和（1）知，平面，
是点到平面的距离.
平面，，则是以为斜边的直角三角形，
，，点为棱的中点，，
的面积，的面积.（9分）
设点到平面的距离为，则.
，解得.
点到平面的距离为.（12分）
19．（12分）
一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝､京东､天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势.天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数(百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的一组数据关系如下表：

3
4
5
6
7
8
9

66
69
73
81
89
90
91
（1）若与具有线性相关关系，判断与是正相关还是负相关；
（2）试求与的线性回归方程；
（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数(百件)与获得的纯利润(单位：百元)之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计算精确到小数点后两位)
参考公式与数据：，，..
【解析】（1）由题目中的数据表格可以看出，随着的增大而增大，
∴判断出与是正相关.（2分）
（2）由题设知，，
，
，（5分）
∴，
则，
∴线性回归直线方程为.（8分）
（3）由（1）知，当时，(百元)，
∴11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元.（10分）
由（1）知，前一周的平均利润为(百元)，
故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元.（12分）
20．（12分）
已知A、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题设得，．
设，则，．
所以，（3分）
于是当时，取得最小值，所以，解得．
所以椭圆的方程为．（5分）
（2）假设存在点满足题设，设，．
所以直线的方程为，直线的方程为．
将代入椭圆的方程，得，
可得，所以．
将代入椭圆的方程，得，
可得．（8分）
若四边形为梯形，则，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，整理可得，
即，解得．
故当时，四边形为梯形．（12分）
21．（12分）
已知函数f(x)＝ln(2x－1)－2ax＋2a．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)≤0，求实数a．
21．【解析】（1）易知函数f(x)的定义域为(，+∞)，f¢(x)＝－2a．
当a≤0时，f¢(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上单调递增．（2分）
当a＞0时，由f¢(x)＝0，解得x＝＋．
由f¢(x)＞0得x＜＋；由f¢(x)＜0，解得x＞＋．
所以f(x)在(，＋)上单调递增，在(＋，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(，＋)上单调递增，在(＋，＋∞)上单调递减．（6分）
（2）由（1）知，当a≤0时，f(x)在(，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，不满足已知条件. （7分）
当a＞0时，f(x)在(，＋)上单调递增，在(＋，＋∞)上单调递减，
则f(x)max＝f(＋)＝－lna＋a－1．（8分）
设g(a)＝－lna＋a－1（a＞0），g¢(a)＝－＋1＝．
由g¢(a)＝0，得a＝1．
由g¢(a)＞0，得a＞1，由g¢(x)＜0，得0＜a＜1．
所以g(a)在(0，1) 上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增，（10分）
所以g(a)min＝g(1)＝0，即f(x)max≥0．
又f(x)≤0，所以f(x)max＝0，即a＝1．（12分）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
【解析】（1）由得.
由得曲线的极坐标方程为.（3分）
直线的极坐标方程为.（5分）
（2）将直线代入曲线的方程，得.
由，解得.（7分）
设，，
由根与系数的关系得，.
，，则，
则，满足.
，或，
则直线的斜率.（10分）
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，则等价于，
即或或（2分）
解得，
故不等式的解集为.（5分）
（2）由，
得的最大值为.（7分）
所以对于任意实数，不等式恒成立等价于恒成立，
即，解得或.
故的取值范围为.（10分）