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中考冲刺-数学-第37课代数应用性问题（1）
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这是一份中考冲刺-数学-第37课代数应用性问题（1），共15页。PPT课件主要包含了考点跟踪训练等内容，欢迎下载使用。
要点梳理代数应用性问题，要求解题者具有丰富的生活常识，较强的阅读能力和良好的数学建模能力，关于数与式的表示、列方程、利用函数观点进行分析、不等式和统计等方面的应用，主要有以下几种情况： (1)以教材中常见的题型或与生活较贴近的问题为背景，但数量关系较为隐蔽； (2)以市场经济或日常生活或社会较关注的问题为背景，借助不等式知识设计可行方案； (3)给出实际问题的图象或图表等数学模型，运用数学知识求解． 在解题前，首先要认真审题，加强文学语言向数学语言的转化，以及对图象图表的处理能力，建立数学模型，再准确进行计算，最后检验其合理性．一个思想 数学建模思想，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式．就是找到一种解决问题的数学方法．数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映．它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形．利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：
第37课 代数应用性问题(1)
数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等．两个模型 (1)方程(组)是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型之一，求解此类问题的关键是针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等的关系，从而建立方程(组)，但要注意验证结果是否符合实际问题． (2)不等式(组)应用题主要是应用不等式(组)的知识进行数式比较，以确定最佳方案，获取最大收益，或确定最好工作途径等．解题的关键是依据题意，弄清实际问题中的已知量和未知量之间的关系，抓住不等关系的关键词句，建立不等式模型，从而解决问题．四个解题步骤 学习数学的目的之一是运用知识和技能去解决实际问题．解决问题通常按四个步骤来进行： ①理解问题(弄清题意，分清问题中的条件和结论等)； ②制定计划(在理解的基础上，运用有关的数学知识和方法拟订出解决问题的思路和方案)； ③执行计划(把已制订的计划具体地进行实施)； ④回顾(对解题过程进行必要的检查和反思，也包括检验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进行改进或尝试用不同的方法，进行举一反三等)．
考点巩固测试 1. 据国家税务总局通知，从2007年1月1日起，个人年所得12万元(含12万元)以上的个人需办理自行纳税申报．小张和小赵都是某公司职员，两人在业余时间炒股．小张2007年转让沪市股票3次，分别获得收益8万元、1.5万元、－5万元；小赵2007年转让沪市股票5次，分别获得收益－2万元、2万元、－6万元、1万元、4万元．小张2007年所得工资8万元，小赵2007年所得工资为9万元．现请你判断：小张、小赵在2007年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报，并说明理由． (注：个人年所得＝年工资(薪金)＋年财产转让所得．股票转让属“财产转让”，股票转让所得盈亏相抵后为负数的，则财产转让所得部分按零填报) 解 小张：股票转让收入8＋1.5－5＝4.5， 总收入8＋4.5＝12.5>12， ∴小张需要申报纳税． 小赵：股票转让收入：－2＋2－6＋1＋4＝－1<0， 总收入9＋0＝9<12， ∴小赵不需要申报纳税．
感悟提高 股票收益应该是每次转让股票收益的代数和，本题表面上是市场经济问题，但实质上是有理数运算的应用．变式测试1 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行程是：(单位：km) ＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车点的距离是多少？(2)若汽车的耗油量为a公升/km，那么这天下午汽车共耗油多少？解 (1)＋15－3＋14－11＋10－12＋4－15＋16－18＝0(km)，即小李回到下午的出发地．(2)汽车行驶的路程：|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|－12|＋|＋4|＋|－15|＋|＋16|＋|－18|＝118(km)，118·a＝118a(公升)，即这天下午汽车的耗油量是118a公升．
2.(2012·宁波) 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：(说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费)已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a，b的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭收入的2%.若小王的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
解 ②－①，得5(b＋0.8)＝25，b＝4.2，把b＝4.2代入①，得17(a＋0.8)＋3×5＝66，解得a＝2.2，(2)当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116元，∵9200×2%＝184元，116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨．设小王家六月份用水量为x吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x－30)≤184，6.8(x－30)≤68，解得x≤40.感悟提高 把实际问题抽象为数学问题是不容易的，因此利用转换方法(即转化为某种类似的数量关系模型)，建立二元一次方程组、不等式组模型，可以帮助我们找到解决问题的途径．
变式测试2 某超市对顾客实行优惠购物，现规定如下： (1)若一次购物少于200元，则不予优惠； (2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予9 折优惠； (3)若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予9折优惠，超过500元的部分给予8折优惠．小张两次去超市购物，分别付款198元和554元，现在小王决定一次性购买和小张两次购买同样多的物品，他需付多少元？解 设付款554元物品的原价是x元，则500×0.9＋(x－500)×0.8＝554，解得x＝630.付款198元物品的原价是198元或198÷0.9＝220元，小王付款有两种可能：①(630＋198－500)×0.8＋500×0.9＝712.4(元)；②(630＋220－500)×0.8＋500×0.9＝730(元)．答：小王需付712.4或730元．
3. (2012·珠海) 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5/4倍，购进数量比第一次少了30支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？解 (1)设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，检验：当x＝4时，分母不为0，故x＝4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．(2)设售价为y元，根据题意列不等式为：答：每支售价至少是6元．
感悟提高 分式方程要检验是否产生增根，不但要检验是否满足原方程，还要检验是否符合实际．变式测试3 (2012·泰安) 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解 (1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．经检验，x＝20是方程的解且符合题意．则1.5x＝30.故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需20天、30天．
(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1500)元，根据题意，得12(y＋y－1500)＝102000，解得y＝5000.甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×(5000－1500)＝105000(元)；故甲公司的施工费较少．
4. (2012·山西) 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解 (1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得(60－x－40)(100＋(x/2)×20)＝2240，化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60－6＝54(元)，(54/60)×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售．
感悟提高 本题直接设未知数，用含未知数的代数式表示每千克核桃可获利(60－x－40) 元，此时每天可卖出 千克，这是解题的关键．变式测试4 (2012·湘潭) 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.解 设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，根据题意可得，x(50－2x)＝300，解得：x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去．答：可以围成AB的长为15米，BC的长为20米的矩形．
要点梳理代数应用性问题，要求解题者具有丰富的生活常识，较强的阅读能力和良好的数学建模能力，关于数与式的表示、列方程、利用函数观点进行分析、不等式和统计等方面的应用，主要有以下几种情况： (1)以教材中常见的题型或与生活较贴近的问题为背景，但数量关系较为隐蔽； (2)以市场经济或日常生活或社会较关注的问题为背景，借助不等式知识设计可行方案； (3)给出实际问题的图象或图表等数学模型，运用数学知识求解． 在解题前，首先要认真审题，加强文学语言向数学语言的转化，以及对图象图表的处理能力，建立数学模型，再准确进行计算，最后检验其合理性．一个思想 数学建模思想，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式．就是找到一种解决问题的数学方法．数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映．它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形．利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：
第37课 代数应用性问题(1)
数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等．两个模型 (1)方程(组)是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型之一，求解此类问题的关键是针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等的关系，从而建立方程(组)，但要注意验证结果是否符合实际问题． (2)不等式(组)应用题主要是应用不等式(组)的知识进行数式比较，以确定最佳方案，获取最大收益，或确定最好工作途径等．解题的关键是依据题意，弄清实际问题中的已知量和未知量之间的关系，抓住不等关系的关键词句，建立不等式模型，从而解决问题．四个解题步骤 学习数学的目的之一是运用知识和技能去解决实际问题．解决问题通常按四个步骤来进行： ①理解问题(弄清题意，分清问题中的条件和结论等)； ②制定计划(在理解的基础上，运用有关的数学知识和方法拟订出解决问题的思路和方案)； ③执行计划(把已制订的计划具体地进行实施)； ④回顾(对解题过程进行必要的检查和反思，也包括检验得到的答案是否符合问题的实际，思考对原来的解法进行改进或尝试用不同的方法，进行举一反三等)．
考点巩固测试 1. 据国家税务总局通知，从2007年1月1日起，个人年所得12万元(含12万元)以上的个人需办理自行纳税申报．小张和小赵都是某公司职员，两人在业余时间炒股．小张2007年转让沪市股票3次，分别获得收益8万元、1.5万元、－5万元；小赵2007年转让沪市股票5次，分别获得收益－2万元、2万元、－6万元、1万元、4万元．小张2007年所得工资8万元，小赵2007年所得工资为9万元．现请你判断：小张、小赵在2007年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报，并说明理由． (注：个人年所得＝年工资(薪金)＋年财产转让所得．股票转让属“财产转让”，股票转让所得盈亏相抵后为负数的，则财产转让所得部分按零填报) 解 小张：股票转让收入8＋1.5－5＝4.5， 总收入8＋4.5＝12.5>12， ∴小张需要申报纳税． 小赵：股票转让收入：－2＋2－6＋1＋4＝－1<0， 总收入9＋0＝9<12， ∴小赵不需要申报纳税．
感悟提高 股票收益应该是每次转让股票收益的代数和，本题表面上是市场经济问题，但实质上是有理数运算的应用．变式测试1 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行程是：(单位：km) ＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车点的距离是多少？(2)若汽车的耗油量为a公升/km，那么这天下午汽车共耗油多少？解 (1)＋15－3＋14－11＋10－12＋4－15＋16－18＝0(km)，即小李回到下午的出发地．(2)汽车行驶的路程：|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|－12|＋|＋4|＋|－15|＋|＋16|＋|－18|＝118(km)，118·a＝118a(公升)，即这天下午汽车的耗油量是118a公升．
2.(2012·宁波) 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：(说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费)已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a，b的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭收入的2%.若小王的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
解 ②－①，得5(b＋0.8)＝25，b＝4.2，把b＝4.2代入①，得17(a＋0.8)＋3×5＝66，解得a＝2.2，(2)当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116元，∵9200×2%＝184元，116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨．设小王家六月份用水量为x吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x－30)≤184，6.8(x－30)≤68，解得x≤40.感悟提高 把实际问题抽象为数学问题是不容易的，因此利用转换方法(即转化为某种类似的数量关系模型)，建立二元一次方程组、不等式组模型，可以帮助我们找到解决问题的途径．
变式测试2 某超市对顾客实行优惠购物，现规定如下： (1)若一次购物少于200元，则不予优惠； (2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予9 折优惠； (3)若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予9折优惠，超过500元的部分给予8折优惠．小张两次去超市购物，分别付款198元和554元，现在小王决定一次性购买和小张两次购买同样多的物品，他需付多少元？解 设付款554元物品的原价是x元，则500×0.9＋(x－500)×0.8＝554，解得x＝630.付款198元物品的原价是198元或198÷0.9＝220元，小王付款有两种可能：①(630＋198－500)×0.8＋500×0.9＝712.4(元)；②(630＋220－500)×0.8＋500×0.9＝730(元)．答：小王需付712.4或730元．
3. (2012·珠海) 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5/4倍，购进数量比第一次少了30支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？解 (1)设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，检验：当x＝4时，分母不为0，故x＝4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．(2)设售价为y元，根据题意列不等式为：答：每支售价至少是6元．
感悟提高 分式方程要检验是否产生增根，不但要检验是否满足原方程，还要检验是否符合实际．变式测试3 (2012·泰安) 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解 (1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．经检验，x＝20是方程的解且符合题意．则1.5x＝30.故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需20天、30天．
(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1500)元，根据题意，得12(y＋y－1500)＝102000，解得y＝5000.甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×(5000－1500)＝105000(元)；故甲公司的施工费较少．
4. (2012·山西) 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解 (1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得(60－x－40)(100＋(x/2)×20)＝2240，化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60－6＝54(元)，(54/60)×100%＝90%.答：该店应按原售价的九折出售．
感悟提高 本题直接设未知数，用含未知数的代数式表示每千克核桃可获利(60－x－40) 元，此时每天可卖出 千克，这是解题的关键．变式测试4 (2012·湘潭) 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.解 设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，根据题意可得，x(50－2x)＝300，解得：x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去．答：可以围成AB的长为15米，BC的长为20米的矩形．
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