上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题（word版 含答案）

这是一份上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题（word版 含答案），共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知，命题：若，则且的逆否命题是__．
2．的展开式中的常数项是_______________.
3．如图所示，弧长为，半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________.
4．设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝____________.
6．某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)
7．某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有___________种不同的选修方案.
8．如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为___________.
二、单选题
9．若，，则下面不等式中成立的一个是（ ）．
A．B．C．D．
10．下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于的方程()的曲线是圆
B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
11．在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为( )
A．B．C．D．不存在
三、解答题
12．如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，，.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
13．设，其中常数.
（1）设，，求函数()的反函数；
（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.
14．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔的高度，他在点A测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得.
（1）请你根据张明的测量数据求出塔高度；
（2）在完成（1）的任务后，张明测得，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为､).据此，他计算出了两塔顶之间的距离.
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)
②他是如何用表示出的？(写出过程和结论)
15．个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.
已知，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求证：()；
（3）设，请用数学归纳法证明：.
16．如图所示，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.
（1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；
（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.
参考答案
1．若或，则
【分析】
根据逆否命题的定义进行求解即可．
【详解】
由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若或，则
故答案为：若或，则.
【点睛】
本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．
2．60
【分析】
由题意可得，二项展开式的通项，要求展开式的常数项，只要令可求，代入可求
【详解】
解：由题意可得，二项展开式的通项为：
，
令，可得：，此时，
即的展开式中的常数项为60.
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．
3．
【分析】
旋转得半球进而可得表面积.
【详解】
根据题意可得得到一个半径为1的半球，
所以表面积为半个球的表面积和一个底面圆.
故答案为：.
4．2
【分析】
把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】
，
它为纯虚数，则且，解得．
故答案为：2．
5．
【详解】
试题分析：
考点：向量数量积
6．14
【分析】
由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得，即可求出n的最小值.
【详解】
由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，
设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，
则，整理得：，
又∵为正整数，
∴当时，；
当时，，∴n的最小值为14，
即这次募捐活动至少需要14天．
故答案为：14.
7．75
【分析】
A，B，C三门由于上课时间相同至多选一门，A，B，C三门课都不选，A，B，C中选一门，根据分类计数原理得到结果.
【详解】
由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门有，
第二类，若从其他六门中选4门有，
∴根据分类计数加法得到共有种不同的方法，
故答案为：75.
8．
【分析】
首先分析动点在半径为2的上半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，再分析动点在半径为1的下半圆上运动时，时间的范围，再根据三角函数的定义求得点的坐标，最后写出函数表达式即可.
【详解】
由三角函数的定义可得：当动点在半径为2的上半圆上运动时，，终边对应的角度为，所以点坐标为，
当动点在半径为1的下半圆上运动时，，终边对应的角度为，
所以点坐标为，
综上：动点的纵坐标关于时间的函数表达式为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题，在做题过程中点的坐标与角度之间的关系，从而帮助解题.
9．C
【分析】
根据不等式的性质和关系进行判断即可．
【详解】
，，
，则，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查不等式性质的应用，结合同向不等式相加的性质是解决本题的关键．
10．D
【分析】
A. 由圆的一般方程判断；B.由椭圆的定义判断； C.由双曲线的定义判断；D.由双曲线和椭圆的焦点判断.
【详解】
A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确；
故选：D
11．B
【分析】
用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合探求出a、b的关系再求解即得.
【详解】
、是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点，，
由三角函数定义知，
，而a>0，b>0，
，当且仅当时取“=”，
，当且仅当时取“=”，
所以a+b的最大值是.
故选：B
【点睛】
基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾.
12．（1）；（2）.
【分析】
（1）先证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面ABCE得到就是四棱锥的高，可以求出四棱锥的体积；
（2）取的中点，连结､，得到（或其补角）就是与所成角，利用余弦定理求出求异面直线与所成角的大小.
【详解】
解：（1）由已知，有所以
连结，由，，有①
由有所以，②
由①②知，又，所以
所以就是四棱锥的高，
在Rt中，
故
（2）取的中点，连结､，
则，故（或其补角）就是与所成角.
在中，，，
则
故异面直线与所成角的大小为.
【点睛】
（1）基本位置关系的证明用判定定理；
（2）求异面直线所成的角
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
13．（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设，得.利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；
（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出.
【详解】
解：（1）由已知，设，得.
又，所以，函数()单调递增.
因为,所以的值域.
故，；
（2）证明：
i)函数的定义域为.
若，，对于任意的，有
.
所以，是奇函数.
ii)方法1：由是奇函数，有，解得.
方法2：若，则，，
(否则)，不是奇函数.
方法3：若为奇函数，则对于任意的，有
，即，.
即..
【点睛】
本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算，属中等难度.关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意(2)中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用.
14．（1）米；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知利用三角形内角和定理可求得的值，由正弦定理可求的值，进而可求得的值；
（2）由（1）知，可求出的值，①测得，；②利用线面垂直的判定定理可得，可求出，在中，由余弦定理，可求.
【详解】
解：（1）在中，，
由正弦定理，有，
所以，米.
米.
（2）由（1）知米.
①测得，.
②由已知，，，.
所以，平面，得.
所以，.
在中，由余弦定理，米.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
15．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；
（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；
（3）利用数学归纳法可以证明.
【详解】
解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，
由，得
解得，.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，再由已知，得
，解得，由题意舍去.
.
由指数函数的性质，有().
（3）(i)当时，，等式成立.
(ii)假设当时等式成立，即，
当时，
，
等式成立.
根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.
【点睛】
(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．
(3)数学归纳法用来解决与自然数n有关的问题.
16．（1）建系答案见解析，；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据“定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍”，建立坐标系得到关于P点的坐标的关系式，即曲线的方程，原点距点M的距离为1.
（2）根据曲线的方程以及图像的特点，得出曲线的两个性质，范围和对称性.
（3）证明，即是证明，故需联立直线与曲线方程得到，.然后得出结果为0，即得到证明.
【详解】
解：（1）在线段上取点，使得，以点为原点，以线段所在的直线为轴建立平面直角坐标系.
设动点的坐标为，则有，，由题意，有
，
整理得：.①
（2）①范围：或，
②对称性：
曲线关于成轴对称；
曲线关于成轴对称；
曲线关于成中心对称.
范围证明：
令,得或,
曲线位于直线与两侧,所以或.
，
对称性证明：
在方程①中，把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成轴对称；
在方程①中，把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成轴对称；
在方程①中，把换成，或把换成，方程①不变，
所以，曲线关于成中心对称；
（3）将代入，解得，(舍).
所以.
(i)若直线垂直于轴：
将代入，解得，
此时，､.所以，，.
.
(ii)若直线不垂直于轴：
设､，，.
直线的方程为，将其代入，整理得，
.
所以，，.
.
.
故，.
【点睛】
（1）根据题目信息建立适当坐标系，得到关于点的横纵坐标的等量关系.
（2）利用图形观察特点，得出性质.
（3）将证明垂直的问题转化为证明向量乘积为0的问题，联立方程组，对基本的运算由一定的要求.