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试卷 2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷
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这是一份试卷 2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B． C．﹣2 D．
2．（3分）化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
6．（3分）用科学记数法表示0.00000022是（ ）
A．0.22×10﹣6 B．2.2×107 C．2.2×10﹣6 D．2.2×10﹣7
7．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
8．（3分）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝85°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
11．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
12．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）分解因式：m4n﹣4m2n＝ ．
14．（3分）若a＜1，化简＝ ．
15．（3分）如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x 时，y1＜y2．
16．（3分）等边△ABC的边长为2，等边△DEF的边长为1，把△DEF放在△ABC中，使∠D与∠A重合，点E在AB边上，如图所示，此时点E是AB中点，在△ABC内部将△DEF按下列方式旋转：绕点E顺时针旋转，使点F与点B重合，完成第1次操作，此时点D是BC中点，△DEF旋转了 °；再绕点D顺时针旋转，使点E与点C重合，完成第2次操作；……这样依次绕△DEF的某个顶点连续旋转下去，第11次操作完成时，CD＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
18．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
19．（6分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2＝交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积．
20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
21．（8分）两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
22．（9分）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA＝∠OBC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
24．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）上任意一点，是否存在△ACD∽△PBD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标；（可用含m的代数式表示）
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式及不等式恒成立，求n的取值范围．
2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B． C．﹣2 D．
【分析】根据实数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数进行比较即可．
【解答】解：∵﹣＝﹣0.75，﹣≈﹣1.414，
∴﹣2＜﹣＜﹣＜﹣0.5，
∴最大的是﹣0.5．
故选：A．
2．（3分）化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2a3＝a2•a3
＝a5．
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
4．（3分）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y＝﹣，
则x+y的值为：1﹣＝．
故选：D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
则x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，
故选：B．
6．（3分）用科学记数法表示0.00000022是（ ）
A．0.22×10﹣6 B．2.2×107 C．2.2×10﹣6 D．2.2×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.00000022是2.2×10﹣7．
故选：D．
7．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算a+b的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，
又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝﹣2，b＝3．
∴a+b＝1，故选：B．
8．（3分）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝85°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAC＝85°，
又∵∠BAC是△ABE的外角，
∴∠2＝∠BAC﹣∠E＝85°﹣30°＝55°，
故选：C．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝
则sinB＝＝，
故选：C．
10．（3分）若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围．
【解答】解：，
由①得，x＞2，
由②得，x＜m，
又因为不等式组无解，
所以根据“大大小小解不了”原则，
m≤2．故选：D．
11．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
【分析】直接利用抛物线解析式得出变化前后对称轴进而得出变化规律．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣5）（x+3），
∴当y＝0时，x＝5或﹣3，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（5，0）和（﹣3，0），
∴其对称轴为：直线x＝1，
∵抛物线y＝（x﹣3）（x+5），
∴当y＝0时，x＝﹣5或3，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（﹣5，0）和（3，0），
∴其对称轴为：直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是向左平移2个单位长度．
故选：A．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．
∵点A在y＝﹣上，
∴A（﹣，2m），
∴AJ＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK∥BC，
∴＝＝，
∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b﹣，
∵JF∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴JF＝，
∴OF＝OJ﹣JF＝2m﹣＝，
∴S△BFC＝•BC•OF＝×3b•＝6，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）分解因式：m4n﹣4m2n＝ m2n（m+2）（m﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m2n（m2﹣4）＝m2n（m+2）（m﹣2），
故答案为：m2n（m+2）（m﹣2）
14．（3分）若a＜1，化简＝ ﹣a ．
【分析】＝|a﹣1|﹣1，根据a的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|＝﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a+1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
15．（3分）如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x ＞a 时，y1＜y2．
【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；
故答案为＞a．
16．（3分）等边△ABC的边长为2，等边△DEF的边长为1，把△DEF放在△ABC中，使∠D与∠A重合，点E在AB边上，如图所示，此时点E是AB中点，在△ABC内部将△DEF按下列方式旋转：绕点E顺时针旋转，使点F与点B重合，完成第1次操作，此时点D是BC中点，△DEF旋转了 120 °；再绕点D顺时针旋转，使点E与点C重合，完成第2次操作；……这样依次绕△DEF的某个顶点连续旋转下去，第11次操作完成时，CD＝ 1 ．
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵DEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝120°，
∴第一次旋转的旋转角为120°
∵第一次旋转点D落在BC边上，第二次旋转点D没有变化，第三次旋转点D落在点A处，3次应该循环，
∴11÷3＝3余数为2，
∴第11次操作后，点D落在BC边上，此时CD＝1，
故答案为120，1．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×+8+1
＝3﹣1+8+1
＝11．
18．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≤1；
由②得，x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
在数轴上表示为：
19．（6分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2＝交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝OD•BE＝×2×3＝3．
20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），15÷50＝30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%＝10（人），50×10%＝5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
（男1男2）
﹣﹣﹣
男3男2
女1男2
女2男2
男3
（男1男3）
男2男3
﹣﹣﹣
女1男3
女2男3
女1
（男1，女1）
男2女1
男3女1
﹣﹣﹣
女2女1
女2
（男1女2）
男2女2
男3女2
女1女2
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）＝＝．
21．（8分）两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC、AB，根据含30°的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD；
（2）作BE⊥AD，根据直角三角形的性质求出BE，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
22．（9分）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
【分析】（1）可设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，根据等量关系：乙用了的天数﹣甲用了的天数＝2，列出方程即可求解；
（2）可设安排乙生产线生产y天，根据完成这批任务总运行成本不超过40万元列出不等式计算即可求解；
（3）根据题意求出原来满负荷生产3天的产能和再满负荷生产13天的产能的和，再与1440万个比较大小即可求解．
【解答】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA＝∠OBC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
【分析】（1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE＝OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求得BC，进而求得CD＝DB＝2，设⊙O的半径为r，然后根据S△ACD+S△COB+S△AOB＝S△ABC，得到AC•CD+BD•r+，解关于r的方程即可求得半径；
（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得DE＝，即可求得BF＝BE＝，AF＝AB﹣BF＝，解直角三角形即可求得tan∠BAD＝＝．
【解答】（1）证明：如图，作OF垂直AB于点F，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC
又∠OBA＝∠OBC，
∴OE＝OF，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
又D为BC的中点，
∴CD＝DB＝2，
∵S△ACD+S△DOB+S△AOB＝S△ABC
设⊙O的半径为r，即
AC•CD+BD•r+
∴6+2r+5r＝12
∴r＝
∴⊙O的半径为
（3）解：∵∠C＝90°，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴Rt△ODE∽Rt△ADC，
∴，
∴DE＝，
∴BF＝BE＝，
∴AF＝AB﹣BF＝，
∴tan∠BAD＝＝．
24．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）上任意一点，是否存在△ACD∽△PBD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）BD平分∠ABC及AD∥BC，推出AB＝AD，即可得出结论；
（2）求出B，A的坐标，OB，OA，AB的长度，用含t的代数式表示出AQ，AP，BQ，OP，连接PQ，证△AQP∽△ABO，推出∠APQ＝∠AOB＝90°，求出QP＝3t，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t的值；
（3）用含字母的代数式表示顶点D的坐标，由CD＝OC，列出关于字母a，b的代式，由△ADB为等腰直角三角形，得，列出另一个关于字母a，b的等式，联立可求出抛物线解析式，联立直线PD的解析式，求出点P的坐标，进而求出CD，AD，BD，PD长度，发现它们不成比例，则不存在点P使得△ACD∽△PBD．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）在直线y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝10﹣5t，OP＝8﹣4t，
连接PQ，
＝，＝，
∴＝，
又∵∠BAO＝∠QAP，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
∴QP＝＝3t，
∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，
∴①当OB＝OP时，6＝8﹣4t，
∴t＝；
②当OB＝BQ时，6＝10﹣5t，
∴t＝；
③当OP＝PQ时，8﹣4t＝3t，
∴t＝；
④当BQ＝PQ时，10﹣5t＝3t，
∴t＝，
综上所述，t的值为或或或；
（3）不存在．理由如下：
由题意可得：D，C（0，2），
∵CD2＝OC2，
∴，
∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由①和②，且ab＜0，
得：a＝﹣，b＝，
∴抛物线为y＝，
∵△ACD∽△PBD，
∴∠CDA＝∠BDP，∠ACD＝∠PBD，
∵∠ACD为钝角，
∴∠PBD为钝角，点P在x轴下方，
∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝∠ADP+∠CDA＝∠CDP＝90°，
过点D作CD的垂线交抛物线于点P，如图3：
∴PD：y＝，
联立y＝和y＝
解得P（），
此时，CD＝2，AD＝，BD＝，PD＝，
∵，
∴抛物线上不存在点P使得△ACD∽△PBD．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标；（可用含m的代数式表示）
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式及不等式恒成立，求n的取值范围．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0即可得到A、B、C的坐标；
（2）由A（3m，0），C（0，m）可得tan∠OAC从而求出∠OAC，再根据相似三角形对应角相等求出∠POC，进而求出∠APO和tan∠APO，再在△POE中利用三角函数求P的坐标；
（3）Q为OP的中点且在抛物线上可得到抛物线解析式及顶点坐标，求出已知不等式的最大（小）值即得n的范围．
【解答】解：（1）在y＝﹣中，令y＝0得x1＝，x2＝3m，令x＝0得y＝m，
∵A在B的右侧，m＞0，
∴A（3m，0），B（，0），C（0，m）；
（2）过P作PE⊥x轴于E，如图：
∵A（3m，0），C（0，m），
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，
∵OP2＝PC•PA，
∴，且∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∴∠APO＝∠ACO﹣∠POC＝30°，
∴tan∠APO＝，
∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，
而∠POE＝90°﹣∠POC＝60°，
∴OE＝OP•cos60°＝m，PE＝OP•sin60°＝m，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣m，m）；
（3）∵P（﹣m，m），Q为OP中点，
∴Q（﹣m，m），
∵Q在抛物线上，
∴m＝﹣（﹣m+）（﹣m﹣3m），解得m＝，
∴y＝﹣＝﹣x2+x+3，
对称轴为x＝，
∵M（x0，y0）介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点），
∴0≤x0≤，
∴当x0＝时，取最小值4，
而不等式总能成立，
∴n≤4，
不等式恒成立即是n≥﹣2x02+x0+恒成立，
而﹣2x02+x0+＝﹣2（x0﹣）2+，又0＜＜，
∴当x0＝时，﹣2x02+x0+有最大值，
n≥﹣2x02+x0+恒成立则n≥，
∴≤n≤4．
2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B． C．﹣2 D．
2．（3分）化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
6．（3分）用科学记数法表示0.00000022是（ ）
A．0.22×10﹣6 B．2.2×107 C．2.2×10﹣6 D．2.2×10﹣7
7．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
8．（3分）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝85°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
11．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
12．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）分解因式：m4n﹣4m2n＝ ．
14．（3分）若a＜1，化简＝ ．
15．（3分）如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x 时，y1＜y2．
16．（3分）等边△ABC的边长为2，等边△DEF的边长为1，把△DEF放在△ABC中，使∠D与∠A重合，点E在AB边上，如图所示，此时点E是AB中点，在△ABC内部将△DEF按下列方式旋转：绕点E顺时针旋转，使点F与点B重合，完成第1次操作，此时点D是BC中点，△DEF旋转了 °；再绕点D顺时针旋转，使点E与点C重合，完成第2次操作；……这样依次绕△DEF的某个顶点连续旋转下去，第11次操作完成时，CD＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
18．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
19．（6分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2＝交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积．
20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
21．（8分）两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
22．（9分）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA＝∠OBC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
24．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）上任意一点，是否存在△ACD∽△PBD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标；（可用含m的代数式表示）
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式及不等式恒成立，求n的取值范围．
2021年湖南师大附中博才实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．﹣0.5 B． C．﹣2 D．
【分析】根据实数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数进行比较即可．
【解答】解：∵﹣＝﹣0.75，﹣≈﹣1.414，
∴﹣2＜﹣＜﹣＜﹣0.5，
∴最大的是﹣0.5．
故选：A．
2．（3分）化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2a3＝a2•a3
＝a5．
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
4．（3分）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y＝﹣，
则x+y的值为：1﹣＝．
故选：D．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
则x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，
故选：B．
6．（3分）用科学记数法表示0.00000022是（ ）
A．0.22×10﹣6 B．2.2×107 C．2.2×10﹣6 D．2.2×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.00000022是2.2×10﹣7．
故选：D．
7．（3分）如果点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算a+b的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，
又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝﹣2，b＝3．
∴a+b＝1，故选：B．
8．（3分）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝85°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAC＝85°，
又∵∠BAC是△ABE的外角，
∴∠2＝∠BAC﹣∠E＝85°﹣30°＝55°，
故选：C．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝
则sinB＝＝，
故选：C．
10．（3分）若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围．
【解答】解：，
由①得，x＞2，
由②得，x＜m，
又因为不等式组无解，
所以根据“大大小小解不了”原则，
m≤2．故选：D．
11．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向左平移8个单位长度 D．向右平移8个单位长度
【分析】直接利用抛物线解析式得出变化前后对称轴进而得出变化规律．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣5）（x+3），
∴当y＝0时，x＝5或﹣3，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（5，0）和（﹣3，0），
∴其对称轴为：直线x＝1，
∵抛物线y＝（x﹣3）（x+5），
∴当y＝0时，x＝﹣5或3，
∴此抛物线与坐标轴一定相交于（﹣5，0）和（3，0），
∴其对称轴为：直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝（x﹣5）（x+3）经平移变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+5），则这个变换可以是向左平移2个单位长度．
故选：A．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．
∵点A在y＝﹣上，
∴A（﹣，2m），
∴AJ＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK∥BC，
∴＝＝，
∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b﹣，
∵JF∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴JF＝，
∴OF＝OJ﹣JF＝2m﹣＝，
∴S△BFC＝•BC•OF＝×3b•＝6，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13．（3分）分解因式：m4n﹣4m2n＝ m2n（m+2）（m﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m2n（m2﹣4）＝m2n（m+2）（m﹣2），
故答案为：m2n（m+2）（m﹣2）
14．（3分）若a＜1，化简＝ ﹣a ．
【分析】＝|a﹣1|﹣1，根据a的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|＝﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a+1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
15．（3分）如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x ＞a 时，y1＜y2．
【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；
故答案为＞a．
16．（3分）等边△ABC的边长为2，等边△DEF的边长为1，把△DEF放在△ABC中，使∠D与∠A重合，点E在AB边上，如图所示，此时点E是AB中点，在△ABC内部将△DEF按下列方式旋转：绕点E顺时针旋转，使点F与点B重合，完成第1次操作，此时点D是BC中点，△DEF旋转了 120 °；再绕点D顺时针旋转，使点E与点C重合，完成第2次操作；……这样依次绕△DEF的某个顶点连续旋转下去，第11次操作完成时，CD＝ 1 ．
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵DEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝120°，
∴第一次旋转的旋转角为120°
∵第一次旋转点D落在BC边上，第二次旋转点D没有变化，第三次旋转点D落在点A处，3次应该循环，
∴11÷3＝3余数为2，
∴第11次操作后，点D落在BC边上，此时CD＝1，
故答案为120，1．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：﹣2cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×+8+1
＝3﹣1+8+1
＝11．
18．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≤1；
由②得，x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
在数轴上表示为：
19．（6分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数y2＝交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）求△OBD的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，将A、B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
（2）求出点D的坐标，然后根据B、D的坐标结合三角形的面积公式即可求出△OBD的面积；
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；
（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，
∴D（2，0），OD＝2，
如图，过B作BE⊥x轴于点E，
∵B（﹣1，﹣3），
∴BE＝3，
∴S△BOD＝OD•BE＝×2×3＝3．
20．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），15÷50＝30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%＝10（人），50×10%＝5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2男1
男3男1
女1男1
女2男1
男2
（男1男2）
﹣﹣﹣
男3男2
女1男2
女2男2
男3
（男1男3）
男2男3
﹣﹣﹣
女1男3
女2男3
女1
（男1，女1）
男2女1
男3女1
﹣﹣﹣
女2女1
女2
（男1女2）
男2女2
男3女2
女1女2
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）＝＝．
21．（8分）两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AC、AB，根据含30°的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD；
（2）作BE⊥AD，根据直角三角形的性质求出BE，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
22．（9分）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
【分析】（1）可设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，根据等量关系：乙用了的天数﹣甲用了的天数＝2，列出方程即可求解；
（2）可设安排乙生产线生产y天，根据完成这批任务总运行成本不超过40万元列出不等式计算即可求解；
（3）根据题意求出原来满负荷生产3天的产能和再满负荷生产13天的产能的和，再与1440万个比较大小即可求解．
【解答】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA＝∠OBC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
【分析】（1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE＝OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求得BC，进而求得CD＝DB＝2，设⊙O的半径为r，然后根据S△ACD+S△COB+S△AOB＝S△ABC，得到AC•CD+BD•r+，解关于r的方程即可求得半径；
（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得DE＝，即可求得BF＝BE＝，AF＝AB﹣BF＝，解直角三角形即可求得tan∠BAD＝＝．
【解答】（1）证明：如图，作OF垂直AB于点F，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC
又∠OBA＝∠OBC，
∴OE＝OF，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
又D为BC的中点，
∴CD＝DB＝2，
∵S△ACD+S△DOB+S△AOB＝S△ABC
设⊙O的半径为r，即
AC•CD+BD•r+
∴6+2r+5r＝12
∴r＝
∴⊙O的半径为
（3）解：∵∠C＝90°，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴Rt△ODE∽Rt△ADC，
∴，
∴DE＝，
∴BF＝BE＝，
∴AF＝AB﹣BF＝，
∴tan∠BAD＝＝．
24．（10分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0，b＞0）上任意一点，是否存在△ACD∽△PBD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）BD平分∠ABC及AD∥BC，推出AB＝AD，即可得出结论；
（2）求出B，A的坐标，OB，OA，AB的长度，用含t的代数式表示出AQ，AP，BQ，OP，连接PQ，证△AQP∽△ABO，推出∠APQ＝∠AOB＝90°，求出QP＝3t，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t的值；
（3）用含字母的代数式表示顶点D的坐标，由CD＝OC，列出关于字母a，b的代式，由△ADB为等腰直角三角形，得，列出另一个关于字母a，b的等式，联立可求出抛物线解析式，联立直线PD的解析式，求出点P的坐标，进而求出CD，AD，BD，PD长度，发现它们不成比例，则不存在点P使得△ACD∽△PBD．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）在直线y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝10﹣5t，OP＝8﹣4t，
连接PQ，
＝，＝，
∴＝，
又∵∠BAO＝∠QAP，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
∴QP＝＝3t，
∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，
∴①当OB＝OP时，6＝8﹣4t，
∴t＝；
②当OB＝BQ时，6＝10﹣5t，
∴t＝；
③当OP＝PQ时，8﹣4t＝3t，
∴t＝；
④当BQ＝PQ时，10﹣5t＝3t，
∴t＝，
综上所述，t的值为或或或；
（3）不存在．理由如下：
由题意可得：D，C（0，2），
∵CD2＝OC2，
∴，
∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由①和②，且ab＜0，
得：a＝﹣，b＝，
∴抛物线为y＝，
∵△ACD∽△PBD，
∴∠CDA＝∠BDP，∠ACD＝∠PBD，
∵∠ACD为钝角，
∴∠PBD为钝角，点P在x轴下方，
∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝∠ADP+∠CDA＝∠CDP＝90°，
过点D作CD的垂线交抛物线于点P，如图3：
∴PD：y＝，
联立y＝和y＝
解得P（），
此时，CD＝2，AD＝，BD＝，PD＝，
∵，
∴抛物线上不存在点P使得△ACD∽△PBD．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标；（可用含m的代数式表示）
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式及不等式恒成立，求n的取值范围．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0即可得到A、B、C的坐标；
（2）由A（3m，0），C（0，m）可得tan∠OAC从而求出∠OAC，再根据相似三角形对应角相等求出∠POC，进而求出∠APO和tan∠APO，再在△POE中利用三角函数求P的坐标；
（3）Q为OP的中点且在抛物线上可得到抛物线解析式及顶点坐标，求出已知不等式的最大（小）值即得n的范围．
【解答】解：（1）在y＝﹣中，令y＝0得x1＝，x2＝3m，令x＝0得y＝m，
∵A在B的右侧，m＞0，
∴A（3m，0），B（，0），C（0，m）；
（2）过P作PE⊥x轴于E，如图：
∵A（3m，0），C（0，m），
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，
∵OP2＝PC•PA，
∴，且∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∴∠APO＝∠ACO﹣∠POC＝30°，
∴tan∠APO＝，
∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，
而∠POE＝90°﹣∠POC＝60°，
∴OE＝OP•cos60°＝m，PE＝OP•sin60°＝m，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣m，m）；
（3）∵P（﹣m，m），Q为OP中点，
∴Q（﹣m，m），
∵Q在抛物线上，
∴m＝﹣（﹣m+）（﹣m﹣3m），解得m＝，
∴y＝﹣＝﹣x2+x+3，
对称轴为x＝，
∵M（x0，y0）介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点），
∴0≤x0≤，
∴当x0＝时，取最小值4，
而不等式总能成立，
∴n≤4，
不等式恒成立即是n≥﹣2x02+x0+恒成立，
而﹣2x02+x0+＝﹣2（x0﹣）2+，又0＜＜，
∴当x0＝时，﹣2x02+x0+有最大值，
n≥﹣2x02+x0+恒成立则n≥，
∴≤n≤4．
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