2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

2020届高三元月联考

文 科 数 学 试 题

本试卷共2页，共23题（含选考题）．满分150分，考试用时120分钟

★ 祝考试顺利 ★

第Ⅰ卷   选择题（60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合则

 A．        B.       C．        D.

2.已知复数满足，则的虚部是 

 A．2              B．-2              C．-2i            D．2i

3.已知，则的大小关系是

A.        B.        C.       D.

4.为考察，两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：

根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是

A．药物的预防效果优于药物的预防效果

B．药物的预防效果优于药物的预防效果

C．药物、对该疾病均有显著的预防效果

D．药物、对该疾病均没有预防效果

5.定义在上的奇函数满足，，则的值是

A．-1             B．-2                C．1               D． 2

6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是

A.“”是“”的充分条件         B.“”是“”的既不充分又不必要条件           C.“”是“”的充要条件            D.“”是“”的必要条件

7.已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是

A．7              B．8                C． 9               D． 10

8.函数的最大值为，最小值为，则的周期是

A.              B.                C.                D.

9.在中，已知向量与满足且，则

A.三边均不相同的三角形　　　 B．直角三角形      C．等腰非等边三角形       D．等边三角形

10.在△ABC中，若，则△ABC的面积S是

A.        B.           C.           D.

11. 正方体中，点满足，则异面直线所成角的余弦值为

A.             B.             C.            D.

12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；

②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；

③黑色阴影部分中一点,则的最大值为2．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①                B．②               C．①③                D．①②

第Ⅱ卷  非选择题（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量a，b满足：(a－b)(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角是__________．

14．按照程序框图（如图所示）执行，第4个输出的数是__________．

15.已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则△PF1F2的周长为           .

16.已知直线与曲线切于点，且直线与曲线交于点，若，则________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75.

（1）求的值；

（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.

18．（本小题满分12分）已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的值.

19．（本小题满分12分）如图，多面体中，，平面⊥平面，四边形为矩形，∥，点在线段上，且.

(1)    求证：⊥平面；

(2)    若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比.

20.（本小题满分12分）已知函数．

（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；

（2）讨论函数的单调性．

21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直

线与抛物线相交于，两点，且满足

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值.

选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）．

    在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）．

设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

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高三

数学（文） 答案

命题学校：夷陵中学      命题人：李国旭  审题人：吴俊峰

一、选择题：  CBDAB  BCBDA  DD

二、填空题：

13．120°     14.7     15．    16．

三、解答题：

17．解：（1）由题意知P(A)=10×（+0.030+0.010）=0.75，解得=0.035，又10×（+0.010）=0.25,所以=0.015.  

 ……4分

（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为.         ……5分

从这6人中抽取2人的所有可能情况有， ，，，，，，，，，，，，，，

共15种.             ……8分

其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有，，，，，，共6种.            ……9分

所以所求概率为.                ……10分                                               

18. 解：（1）

成等差数列，

故·······5分

（2）∵<0，∴=-1，此时

·······7分

·······11分

故 ·······12分

19. 解：（1）因为四边形ABCD为矩形，所以CD=AB.

因为AB=DE=2，所以CD=DE=2.

因为点G在线段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=

所以

又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD,DE平面CDE，

所以DE⊥平面ABCD.·······5分

(2)方法1：由（1）知

所以易知

设

因为

故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1

方法2：设三棱锥G-BCD的体积为1，连接EB,AE.

因为EG=2GC,所以CG=EC,所以.

易知

又EF=2BC,BC∥EF，所以

又，

故

故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1.·······12分

20.解：（1）∵，

∴，···········1分

由已知，解得，···········2分

此时，，

当和时，，是增函数，

当时，，是减函数，···········4分

所以函数在和处分别取得极大值和极小值．

故函数的极大值为，

极小值为．···········6分

（2）由题意得

，···········7分

①当，即时，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增．···········8分

②当，即时，

则当和时，，单调递增；

当时，，单调递减．···········9分

③当，即时，

则当和时，，单调递增；

当时，，单调递减．···········10分

④当，即时，

，所以在定义域上单调递增．···········11分

综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

②当时，在定义域上单调递增；

③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．······12分

21.解：（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为.

设直线的方程为·······1分

联立方程得

所以·······3分

因为故抛物线的方程为.·······5分

(2)设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.

不妨设m>n.

易得直线PM的方程为化简得，

又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以

所以

不难发现

同理可得

所以m，n可以看作是的两个实数根，则

所以

因为是抛物线C上的点，所以

则又，所以从而

当且仅当时取得等号，此时

故△PMN面积的最小值为8.·······12分

22.解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），

∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，

将，代入得曲线C的极坐标方程为：

ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．

（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，

，

当sin（）＝﹣1时，d有最小值，

所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．

23解：(1)当时，

可得的解集为．

(2)等价于

而，当且仅当时等号成立．故等价于.由可得.所以的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．

                                  ……10分