试卷 中考必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．

模型1：直线与两定点

模型实例

例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是             ．

解答：如图所示，∵点B与点D关于AC对称，

∴当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE的长．

∵正方形ABCD的面积为12，∴其边长为

∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值为．

例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则 的最大值是多少？

解答：

如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是的值最大时的点，＝A′B．

∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．

∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．

∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，

∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．

∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值为4．

练习

1．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是              ．

解：解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到，使O=OC，连接D，交AB于E，连接B，
此时DE+CE=DE+E=D的值最小．
连接B，由对称性可知∠BE=∠CBE=45°，∴∠CB=90°，∴B⊥BC，

∠BC=∠BC=45°，∴BC=B=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，
根据勾股定理可得：D=，故EC+ED的最小值是．

2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

 解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．

∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．

当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．

∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．

设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝，b＝−．

∴y=x-．

将x=3代入函数的解析式，∴y的值为

3．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．

解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，
因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3

模型实例

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点，且.在上有一点，上

 一点．若立△周长最小，则最小周长是多少？

解答

如图，作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、

于点、，连接、、、.

，．

△的周长的最小值为的长.

由对称性可得∠EOQ=∠POQ，∠FOR=∠POR，

∠EOF=2∠AOB=60°．

△是正三角形．  

．

即△周长最小值为10.

模型2/角与定点

1．已知，，为内一定点，为上的点，为上的点，

当△的周长取最小值时：

(1)找到、点，保留作图痕迹；

(2)求此时等于多少度.如果∠=θ，∠APB又等于多少度？

1.解答

（1）做点分别关于的对称点，连接分别交于点．点即为所求，此时△的周长最小．

（２）∵点与点关于直线对称，点与点关于对称，

∴∠＝∠，∠=∠，∠=180°-∠=140°．

∴在△中，∠+∠=180°-140°=40°，

∴∠+∠=40°．∴∠=100°．如果∠=θ，

∴∠=180°-θ，∠+∠=θ．

又∵∠=2∠，∠=2∠

∴∠+∠=2（∠+∠）=2θ

∴∠=180°-2θ．

2．如图，在轴上找一点，在轴上找一点，使最小，并求直

  线的解析式及点、的坐标．

3．解答

作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接分别交轴、轴于点、，此时最小．

由对称性可知（-1,3），（3，-1）．

易求得直线的解析式为，即直线的解析式．

当时，，∴点坐标为（2,0）．

当时，，∴点坐标为（0,2）．

4．如图，，、占分别为射线、上两定点，且，，

  点、分别为射线、上两动点，当、运动时，线段

的最小值是多少？

4．解答

作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交于点，连接、．

则，此时最小．

由对称可知，，，，

，．

．

作⊥于点，

在Rt△中，

∴，

∴，

∴的最小值是．

模型3两定点一定长

例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．

解答：

如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.

理由：

∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.

∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，

∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"

设直线BD"的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，

得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝，b＝－5，∴直线BD"的解析式为y＝x－5．

令y＝0，得x＝，∴点F坐标为(，0)．∴点E坐标为(，0)．

练习

1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3，0)，B(0，4)，D为边OB的中点．

(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

解答：

(1)如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE，由模型可知△CDE的周长最小．

∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，

∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).

设直线CD'为y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，

得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，

∴直线CD'为y＝2x－2.

令y＝0，得x＝1，

∴点E的坐标为(1，0).

∴OE＝1，AE＝2.

利用勾股定理得CD＝，DE＝，CE＝2，

∴△CDE周长的最小值为＋3．

(2)如图，将点D向右平移1个单位得到D'(1，2)，作D'关于x轴的对称点D″(1，－2)，连接CD″交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形CDEF周长最小．

理由：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，

∴DE＋CF最小时，四边形BDEF周长最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，

设直线CD″的解析式为y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，

得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直线CD″的解析式为y＝3x－5，

令y＝0，得x＝，∴点F坐标为(，0)，∴点E坐标为(，0)．

2．村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？

解答：

设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接AB'交l1于C1，作C1C2­⊥l2于C2，

则A→C1→C2→B为最短路线，即A与B之间的距离最短。