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高考数学真题专项练习 专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用（解析版）
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这是一份高考数学真题专项练习 专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用（解析版），共31页。
专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2012
理10
导数与函数的单调性
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性，图像识别
理21
导数与函数的最值
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的的最值，分类整合思想
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
2013
卷1[来源:学_科_网Z_X_X_K]
理16
导数与函数的最值[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函数最值[来源:学科网ZXXK]
卷2
理10
文11
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性、极值、对称性
卷1
文9
导数与函数的极值
三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质
卷1
文21
导数与函数的单调性
导数与函数的极值
利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，运算求解能力及应用意识
卷2
文21
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的极值、研究函数的切线问题及取值范围问题，分类整合思想
2014
卷2
文11
导数与函数的单调性
已知函数单调性求参数范围
卷2
理8
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理21
导数与函数的单调性
本题利用到研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题及利用函数进行近似计算
2015
卷1
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的切线、直线与二次函数的位置关系
2016
卷1
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷1
文12
导数与函数的单调性
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解函数单调性问题
卷2
理16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域
卷3
理15
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域
卷3
文16
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
2017
卷2
理11
导数与函数的极值
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数研究函数的极值．
2018
卷1
理5
文6
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文3
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷2
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷3
理14
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
2019
卷1
理13
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理6
文7
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文10
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
文20
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数求最值及分类整合思想．
2020
卷1
理6
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
文15
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理10
导数的几何意义
导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
导数的几何意义
16/32
2021年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
导数与函数的单调性
7/32
导数与函数的极值
5/32
导数与函数的最值
5/32
十年试题分类*探求规律
考点26 导数的几何意义与常见函数的导数
1．（2020全国Ⅰ理6）函数的图像在点处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即，故选B．
2．（2020全国Ⅲ理10）若直线与曲线和圆相切，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．
【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A，D，将答案A的直线方程带入，得：，无解；将答案AD的直线方程带入，得：，有一解．故选D．
解法二：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即，故选D．
3．（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
【答案】D
【解析】 的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选D．
4．（2019全国Ⅱ文10）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 由y=2sinx+cosx，得，所以，所以曲线y=2sinx+cosx在点处的切线方程为，即，故选C．
5．(2018全国卷Ⅰ理5)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
6．（2014全国卷2理8）．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】D
【解析】∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即，故选D．
7．(2016年四川)设直线，分别是函数= 图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则△的面积的取值范围是
A．(0，1) B．(0，2) C．(0，+∞) D．(1，+∞)
【答案】A
【解析】不妨设，，由于，所以，
则．又切线：，，
于是，，所以，联立，
解得，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选A．
8．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数的图象上两点，，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质，则==1．对于A选项，，显然==1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，，显然
==1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，>0，
显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，≥0，显然==1无解，故该函数不具有T性质．故选A．
9．（2020全国Ⅲ文15）设函数，若，则 ．
【答案】1
【思路导引】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值．
【解析】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，整理可得：，解得：，故答案为：．
10．（2020全国Ⅰ文15）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
【答案】
【思路导引】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】设切线的切点坐标为，，
∴切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：．
11．（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以当时，，所以在点处的切线斜率，又，所以切线方程为，即．
12．（2018全国卷3理14）曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】由题知，，则，所以．
13．（2018全国卷2理13）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题知，，，．
14．（2018全国卷2文13）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即．
15．（2017全国卷1理14）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．
16．(2016年全国Ⅱ理16)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】设与和的切点分别为 和．
则切线分别为，，
化简得，，
依题意，，解得，
从而．
17．(2016年全国Ⅲ理15) 已知为偶函数，当时，，则曲线
，在点处的切线方程是_________．
【答案】
【解析】由题意可得当时，，则，，则在点处的切线方程为，即．
18．（2016年全国III文）已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1，2)处的切线方程式_____________________________．
【答案】
【解析】当时，，则．又为偶函数，所以，所以当时，，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．
19．（2015全国1文14）已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ．
【答案】1
【解析】∵，∴，即切线斜率，又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2，7），∴，解得1．
20． （2012全国文13）曲线在点（1，1）处的切线方程为________
【答案】．
【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：．
21．（2015卷2文16）已知曲线在点 处的切线与曲线 相切，则a= ．[来源：Z+xx+k．Com]
【答案】8
【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与 联立得，显然，所以由 ．
22．（2015陕西）设曲线在点（0，1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
【解析】
【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．
23．（2014广东）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．
24．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．
【答案】－3
【解析】由题意可得 ① 又，过点的切线的斜率 ②，由①②解得，所以．
25．（2014安徽）若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：．
【答案】①③④
【解析】 对于①，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，，
在点处的切线为，令，可得
，所以，故，
可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．
26．（2013江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则= ．
【答案】2
【解析】，则，故切线方程过点解得．
27．(2016年北京)设函数，曲线在点处的切线方程为，
（I）求，的值；
（II）求的单调区间．
【解析】（I），∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即 ①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为．
即对恒成立．
∴在上单调递增，无减区间．
28．(2018天津)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
【解析】(1)由已知，，有．
令，解得．
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．
(2)证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为．由，可得曲线在点处的切线斜率为．因为这两条切线平行，故有，即．
两边取以a为底的对数，得，所以．
(3)证明：曲线在点处的切线：．
曲线在点处的切线：．
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合．
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得． ③
因此，只需证明当时，关于的方程③有实数解．
设函数，
即要证明当时，函数存在零点．
，可知时，；时，单调递减，又，，
故存在唯一的，且，使得，即．
由此可得在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极大值．
因为，故，
所以
．
下面证明存在实数，使得．
由(1)可得，
当时，
有
，
所以存在实数，使得
因此，当时，存在，使得．
所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
考点27 导数与函数的单调性
1．【2018全国卷2理3】函数的图像大致为（ ）
【答案】B
【解析】，，为奇函数，舍去A，，
舍去D；，，，所以，舍去C，故选B．
2．（2018全国卷3理7）函数的图像大致为（ ）
【答案】D
【解析】当时，，可以排除A、B选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，．结合图象，可知D选项正确．
3．（2016卷1理7）．函数|在[–2，2]的图像大致为
【答案】D
【解析】由题知该函数是偶函数，当时，，所以，因为，由零点存在性定理知，存在，使得，当时，，当时，，所以在是减函数，在上是增函数，故选D．
4．（2016全国1文12）若函数在单调递增，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题知，== =对恒成立，设，即对恒成立，∴，解得，故选C．
5．（2014全国卷2，文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，由已知得在恒成立，故，因为，所以，故的取值范围是，故选D．
6．（2012全国理10）已知函数=，则=的图像大致为
【答案】B
【解析1】定义域为（－1，0）∪(0，+∞)，=
∴在(－1，0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有B符合，故选B．
【解析2】
7．（2014全国卷2理21）已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0．001）
【解析】（Ⅰ）∵，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增．
（Ⅱ）=，
==
① 当≤2时，≥0，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增，∴当＞0时，＞；
② 当＞2时，若满足，即时，＜0，此时，在（0，）是减函数，当时，＜=0，
综上所述，的最大值为2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，=，
当=2时，=＞0，解得＞＞0．6928．
当=时，=，
=＜0，∴＜＜0．6934，∴的近似值为0．693．
8．（2014山东）设函数 ，其中为常数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
【解析】（Ⅰ）由题意知时，，
此时，可得，又，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，
由于，
①当时，，
，函数在上单调递减，
②当时，，，函数在上单调递减，
③当时，，
设是函数的两个零点，
则，，
由 ，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
综上可知，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增．
考点28 导数与函数的极值
1．（2017全国卷2理11）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．
2．（2013全国卷2理10）已知函数=，下列结论错误的是
A． =0，
B．函数=的图像是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间（，）单调递减
D．若是的极值点，则=0，
【答案】C
【解析】对于选项C：取，，，即，则，所以当或时，，当时，，所以在和内为增，内为减，则时为极小值点，但在区间不单调递减，显然错误，故选C．
3．（2013全国卷1文9） 函数=在的图像大致为
【答案】C
【解析】显然是奇函数，故排除B，当时，＜0，故排除A，
∵==，由≥0解得，又∵，∴，同理，由≤0解得，或，
∴在[－，－]上是减函数，在[－，]上是增函数，在[，]上是减函数，
∴当=时，取最小值=，最小值点靠近－，故选．
4．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】，由，即，得．由，，所以，当且仅当时取等号．选D．
5．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
A B C D
【答案】D
【解析】若为函数的一个极值点，则易知，∵选项A，B的函数为，∴，∴为函数的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，∵，∴，也满足条件；选项D中，对称轴，且开口向上，∴，∴，与题图矛盾，故选D．
6．（2015重庆）设函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以即．
当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，
由解得，．
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知解得
故的取值范围为．
7．（2013全国卷1文21）已知函数=，曲线在点（0，）处切线方程为
（Ⅰ）求，的值
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值
【解析】（Ⅰ）=．
由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
==，
令=0得，=或=-2，
∴当时，＞0，当∈（-2，）时，＜0，
∴在（-∞，-2），（，+∞）单调递增，在（-2，）上单调递减．
当=-2时，函数取得极大值，极大值为．
8．（2013全国卷2文21）已知函数．
（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
【解析】（Ⅰ）==
当＜0或＞2时，＜0，当0＜＜2时，＞0，
∴在（-∞，0）单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．
∴当=0时，取极小值0，当=2时，取极大值．
（Ⅱ）设切点（，），则=
由题知＜0得，＜0或＞2，∴的方程为，
令=0，解得在轴上截距=（＜0或＞2）=
当＞2时，=≥=5，当且仅当即=时，取等号，
当＜0时，设=，∴==＞0，
∴在（－∞，0）单调递增，∴＜=0，
综上所述，在轴上截距取值范围为(－∞，0)∪(5，+∞)．
9．(2018北京)设函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极小值，求的取值范围．
【解析】(1)因为，
所以（）
=．
．
由题设知，即，解得．
此时．
所以的值为1．
(2)由(1)得．
若，则当时，；
当时，．
所以在处取得极小值．
若，则当时，，，
所以．
所以2不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是．
10．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此曲线在点处的切线方程为
，
即 ．
（Ⅱ）由题意得，
因为
，
令
则
所以在上单调递增．
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以 当时取得极大值．
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值．
极小值是．
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是．
11．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为
由可得
所以当时，，函数单调递减，
所以当时，，函数单调递增，
所以 的单调递减区间为，的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，，因此．
当时，时，函数单调递增
故在内不存在两个极值点；
当时，
0
函数在内存在两个极值点
当且仅当，解得，
综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．
考点29 导数与函数的最值
1．（2011湖南）设直线 与函数， 的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当即时，达到最小．
2．若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
【答案】16
【解析】由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞，)∪(－2， )时，＞0，
当∈(，－2)∪(，+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16．
3．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
【解析】（I）证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
（Ⅱ），
由（Ⅰ）知，单调递增，对任意的，，
，因此，存在唯一，使得，即
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
因此在处取得最小值，最小值为
．
于是，由，得单调递增．
所以，由，得，
因为单调递增，对任意的，存在唯一的，
，使得，所以的值域为．
综上，当时，有最小值，的值域为．
4．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中，
记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．
当时，．
当时，，所以．
当时，，所以．
5．（2015新课标2文21）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
若，则，所以在单调递增．
若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．
因此等价于．
令，则在单调递增，．
于是，当时，；当时，．
因此的取值范围是．
6．（2017北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则
．
当时，，
所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
7．（2012全国理21）已知函数=．
(Ⅰ)求的解析式及单调区间；
(Ⅱ)若≥，求的最大值．
【解析】(Ⅰ)由已知得=，∴=，
∴=1， 又∵=， ∴=，
∴=，
∴=，当时，＜0；当时，＞0，
∴减区间为，增区间为；
(Ⅱ)【解法1】由已知条件得 ①
（ⅰ）若，则对任意常数，当，且时，可得，因此①式不成立．
（ⅱ）若，则，
（ⅲ）若，设=，则=，
当时，＜0，当时，＞0，
∴在单调递减，在上单调递增，
∴有最小值=，
∴≥等价于 ②
∴，
设=，则=，
∴在单调递增，在单调递减，
∴在=处取最大值，
∴=，即．
当，时，②式成立，故≥，
综合得，的最大值为．
【解法2】得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
8．（2019全国Ⅲ文20）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当0
令，得x=0或．
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0，1]的最小值为，最大值为或．于是
，所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是．
当时，单调递减，所以的取值范围是．
综上：的取值范围是．
专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2012
理10
导数与函数的单调性
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性，图像识别
理21
导数与函数的最值
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的的最值，分类整合思想
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
2013
卷1[来源:学_科_网Z_X_X_K]
理16
导数与函数的最值[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函数最值[来源:学科网ZXXK]
卷2
理10
文11
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性、极值、对称性
卷1
文9
导数与函数的极值
三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质
卷1
文21
导数与函数的单调性
导数与函数的极值
利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，运算求解能力及应用意识
卷2
文21
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的极值、研究函数的切线问题及取值范围问题，分类整合思想
2014
卷2
文11
导数与函数的单调性
已知函数单调性求参数范围
卷2
理8
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理21
导数与函数的单调性
本题利用到研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题及利用函数进行近似计算
2015
卷1
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的切线、直线与二次函数的位置关系
2016
卷1
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷1
文12
导数与函数的单调性
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解函数单调性问题
卷2
理16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域
卷3
理15
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导数求最值与值域
卷3
文16
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的切线
2017
卷2
理11
导数与函数的极值
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数研究函数的极值．
2018
卷1
理5
文6
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
理13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文3
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷2
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷3
理14
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
2019
卷1
理13
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理6
文7
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文10
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
文20
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用导数求最值及分类整合思想．
2020
卷1
理6
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
文15
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理10
导数的几何意义
导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
导数的几何意义
16/32
2021年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
导数与函数的单调性
7/32
导数与函数的极值
5/32
导数与函数的最值
5/32
十年试题分类*探求规律
考点26 导数的几何意义与常见函数的导数
1．（2020全国Ⅰ理6）函数的图像在点处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即，故选B．
2．（2020全国Ⅲ理10）若直线与曲线和圆相切，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．
【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A，D，将答案A的直线方程带入，得：，无解；将答案AD的直线方程带入，得：，有一解．故选D．
解法二：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即，故选D．
3．（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
【答案】D
【解析】 的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选D．
4．（2019全国Ⅱ文10）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 由y=2sinx+cosx，得，所以，所以曲线y=2sinx+cosx在点处的切线方程为，即，故选C．
5．(2018全国卷Ⅰ理5)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
6．（2014全国卷2理8）．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】D
【解析】∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即，故选D．
7．(2016年四川)设直线，分别是函数= 图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则△的面积的取值范围是
A．(0，1) B．(0，2) C．(0，+∞) D．(1，+∞)
【答案】A
【解析】不妨设，，由于，所以，
则．又切线：，，
于是，，所以，联立，
解得，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选A．
8．（2016年山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数的图象上两点，，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质，则==1．对于A选项，，显然==1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，，显然
==1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，>0，
显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，≥0，显然==1无解，故该函数不具有T性质．故选A．
9．（2020全国Ⅲ文15）设函数，若，则 ．
【答案】1
【思路导引】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值．
【解析】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，整理可得：，解得：，故答案为：．
10．（2020全国Ⅰ文15）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
【答案】
【思路导引】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】设切线的切点坐标为，，
∴切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：．
11．（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以当时，，所以在点处的切线斜率，又，所以切线方程为，即．
12．（2018全国卷3理14）曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】由题知，，则，所以．
13．（2018全国卷2理13）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题知，，，．
14．（2018全国卷2文13）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即．
15．（2017全国卷1理14）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．
16．(2016年全国Ⅱ理16)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】设与和的切点分别为 和．
则切线分别为，，
化简得，，
依题意，，解得，
从而．
17．(2016年全国Ⅲ理15) 已知为偶函数，当时，，则曲线
，在点处的切线方程是_________．
【答案】
【解析】由题意可得当时，，则，，则在点处的切线方程为，即．
18．（2016年全国III文）已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1，2)处的切线方程式_____________________________．
【答案】
【解析】当时，，则．又为偶函数，所以，所以当时，，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．
19．（2015全国1文14）已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ．
【答案】1
【解析】∵，∴，即切线斜率，又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2，7），∴，解得1．
20． （2012全国文13）曲线在点（1，1）处的切线方程为________
【答案】．
【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：．
21．（2015卷2文16）已知曲线在点 处的切线与曲线 相切，则a= ．[来源：Z+xx+k．Com]
【答案】8
【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与 联立得，显然，所以由 ．
22．（2015陕西）设曲线在点（0，1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
【解析】
【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．
23．（2014广东）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，即．
24．（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．
【答案】－3
【解析】由题意可得 ① 又，过点的切线的斜率 ②，由①②解得，所以．
25．（2014安徽）若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：．
【答案】①③④
【解析】 对于①，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，，
在点处的切线为，令，可得
，所以，故，
可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．
26．（2013江西）若曲线（）在点处的切线经过坐标原点，则= ．
【答案】2
【解析】，则，故切线方程过点解得．
27．(2016年北京)设函数，曲线在点处的切线方程为，
（I）求，的值；
（II）求的单调区间．
【解析】（I），∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即 ①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为．
即对恒成立．
∴在上单调递增，无减区间．
28．(2018天津)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
【解析】(1)由已知，，有．
令，解得．
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为．
(2)证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为．由，可得曲线在点处的切线斜率为．因为这两条切线平行，故有，即．
两边取以a为底的对数，得，所以．
(3)证明：曲线在点处的切线：．
曲线在点处的切线：．
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合．
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得． ③
因此，只需证明当时，关于的方程③有实数解．
设函数，
即要证明当时，函数存在零点．
，可知时，；时，单调递减，又，，
故存在唯一的，且，使得，即．
由此可得在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极大值．
因为，故，
所以
．
下面证明存在实数，使得．
由(1)可得，
当时，
有
，
所以存在实数，使得
因此，当时，存在，使得．
所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
考点27 导数与函数的单调性
1．【2018全国卷2理3】函数的图像大致为（ ）
【答案】B
【解析】，，为奇函数，舍去A，，
舍去D；，，，所以，舍去C，故选B．
2．（2018全国卷3理7）函数的图像大致为（ ）
【答案】D
【解析】当时，，可以排除A、B选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，．结合图象，可知D选项正确．
3．（2016卷1理7）．函数|在[–2，2]的图像大致为
【答案】D
【解析】由题知该函数是偶函数，当时，，所以，因为，由零点存在性定理知，存在，使得，当时，，当时，，所以在是减函数，在上是增函数，故选D．
4．（2016全国1文12）若函数在单调递增，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题知，== =对恒成立，设，即对恒成立，∴，解得，故选C．
5．（2014全国卷2，文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，由已知得在恒成立，故，因为，所以，故的取值范围是，故选D．
6．（2012全国理10）已知函数=，则=的图像大致为
【答案】B
【解析1】定义域为（－1，0）∪(0，+∞)，=
∴在(－1，0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有B符合，故选B．
【解析2】
7．（2014全国卷2理21）已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0．001）
【解析】（Ⅰ）∵，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增．
（Ⅱ）=，
==
① 当≤2时，≥0，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增，∴当＞0时，＞；
② 当＞2时，若满足，即时，＜0，此时，在（0，）是减函数，当时，＜=0，
综上所述，的最大值为2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，=，
当=2时，=＞0，解得＞＞0．6928．
当=时，=，
=＜0，∴＜＜0．6934，∴的近似值为0．693．
8．（2014山东）设函数 ，其中为常数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
【解析】（Ⅰ）由题意知时，，
此时，可得，又，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，
由于，
①当时，，
，函数在上单调递减，
②当时，，，函数在上单调递减，
③当时，，
设是函数的两个零点，
则，，
由 ，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
综上可知，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增．
考点28 导数与函数的极值
1．（2017全国卷2理11）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．
2．（2013全国卷2理10）已知函数=，下列结论错误的是
A． =0，
B．函数=的图像是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间（，）单调递减
D．若是的极值点，则=0，
【答案】C
【解析】对于选项C：取，，，即，则，所以当或时，，当时，，所以在和内为增，内为减，则时为极小值点，但在区间不单调递减，显然错误，故选C．
3．（2013全国卷1文9） 函数=在的图像大致为
【答案】C
【解析】显然是奇函数，故排除B，当时，＜0，故排除A，
∵==，由≥0解得，又∵，∴，同理，由≤0解得，或，
∴在[－，－]上是减函数，在[－，]上是增函数，在[，]上是减函数，
∴当=时，取最小值=，最小值点靠近－，故选．
4．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】，由，即，得．由，，所以，当且仅当时取等号．选D．
5．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
A B C D
【答案】D
【解析】若为函数的一个极值点，则易知，∵选项A，B的函数为，∴，∴为函数的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，∵，∴，也满足条件；选项D中，对称轴，且开口向上，∴，∴，与题图矛盾，故选D．
6．（2015重庆）设函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）对求导得
因为在处取得极值，所以即．
当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，
由解得，．
当时，，即，故为减函数；
当时，，即，故为增函数；
当时，，即，故为减函数；
由在上为减函数，知解得
故的取值范围为．
7．（2013全国卷1文21）已知函数=，曲线在点（0，）处切线方程为
（Ⅰ）求，的值
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值
【解析】（Ⅰ）=．
由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
==，
令=0得，=或=-2，
∴当时，＞0，当∈（-2，）时，＜0，
∴在（-∞，-2），（，+∞）单调递增，在（-2，）上单调递减．
当=-2时，函数取得极大值，极大值为．
8．（2013全国卷2文21）已知函数．
（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
【解析】（Ⅰ）==
当＜0或＞2时，＜0，当0＜＜2时，＞0，
∴在（-∞，0）单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．
∴当=0时，取极小值0，当=2时，取极大值．
（Ⅱ）设切点（，），则=
由题知＜0得，＜0或＞2，∴的方程为，
令=0，解得在轴上截距=（＜0或＞2）=
当＞2时，=≥=5，当且仅当即=时，取等号，
当＜0时，设=，∴==＞0，
∴在（－∞，0）单调递增，∴＜=0，
综上所述，在轴上截距取值范围为(－∞，0)∪(5，+∞)．
9．(2018北京)设函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极小值，求的取值范围．
【解析】(1)因为，
所以（）
=．
．
由题设知，即，解得．
此时．
所以的值为1．
(2)由(1)得．
若，则当时，；
当时，．
所以在处取得极小值．
若，则当时，，，
所以．
所以2不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是．
10．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此曲线在点处的切线方程为
，
即 ．
（Ⅱ）由题意得，
因为
，
令
则
所以在上单调递增．
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以 当时取得极大值．
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值．
极小值是．
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是．
11．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为
由可得
所以当时，，函数单调递减，
所以当时，，函数单调递增，
所以 的单调递减区间为，的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，，因此．
当时，时，函数单调递增
故在内不存在两个极值点；
当时，
0
函数在内存在两个极值点
当且仅当，解得，
综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．
考点29 导数与函数的最值
1．（2011湖南）设直线 与函数， 的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当即时，达到最小．
2．若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
【答案】16
【解析】由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞，)∪(－2， )时，＞0，
当∈(，－2)∪(，+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16．
3．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
【解析】（I）证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
（Ⅱ），
由（Ⅰ）知，单调递增，对任意的，，
，因此，存在唯一，使得，即
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
因此在处取得最小值，最小值为
．
于是，由，得单调递增．
所以，由，得，
因为单调递增，对任意的，存在唯一的，
，使得，所以的值域为．
综上，当时，有最小值，的值域为．
4．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中，
记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．
当时，．
当时，，所以．
当时，，所以．
5．（2015新课标2文21）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
若，则，所以在单调递增．
若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．
因此等价于．
令，则在单调递增，．
于是，当时，；当时，．
因此的取值范围是．
6．（2017北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则
．
当时，，
所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
7．（2012全国理21）已知函数=．
(Ⅰ)求的解析式及单调区间；
(Ⅱ)若≥，求的最大值．
【解析】(Ⅰ)由已知得=，∴=，
∴=1， 又∵=， ∴=，
∴=，
∴=，当时，＜0；当时，＞0，
∴减区间为，增区间为；
(Ⅱ)【解法1】由已知条件得 ①
（ⅰ）若，则对任意常数，当，且时，可得，因此①式不成立．
（ⅱ）若，则，
（ⅲ）若，设=，则=，
当时，＜0，当时，＞0，
∴在单调递减，在上单调递增，
∴有最小值=，
∴≥等价于 ②
∴，
设=，则=，
∴在单调递增，在单调递减，
∴在=处取最大值，
∴=，即．
当，时，②式成立，故≥，
综合得，的最大值为．
【解法2】得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
8．（2019全国Ⅲ文20）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当0
令，得x=0或．
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0，1]的最小值为，最大值为或．于是
，所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是．
当时，单调递减，所以的取值范围是．
综上：的取值范围是．
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