2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出集合，再与集合求交,

【详解】

本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法．

因为，

=，

所以．

故选：D

【点睛】

本题考查解二次不等式，考查集合的交集。属于基础题.

2．复平面内表示复数的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z的坐标得答案．

【详解】

因为，

所以复数所对应的复平面内的点为，位于第三象限．

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．

3．设两个单位向量的夹角为，则（    ）

A．1 B． C． D．7

【答案】B

【解析】由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解.

【详解】

，

即.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.

4．设有不同的直线a，b和不同的平面，，给出下列四个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则．

其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．

【详解】

对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；

对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；

对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；

对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；

故选：B．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（    ）

A．这14天中有7天空气质量优良

B．这14天中空气质量指数的中位数是103

C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好

D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日

【答案】B

【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.

【详解】

这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确；

这14天中空气质量指数的中位数是，故选项B不正确；

从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C正确；

连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D正确．

故选：B

【点睛】

本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.

6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ）

A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小

【答案】D

【解析】通过分析，排除即可．

【详解】

由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；

由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；

故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；

所以ABC错，D对．

故选：D．

【点睛】

本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．

7．已知数列对于任意正整数m，n，有，若，则（    ）

A．101 B．1 C．20 D．2020

【答案】A

【解析】由，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到答案.

【详解】

由，令 得，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

从而．因为，所以，．

故选：A

【点睛】

本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题.

8．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】本题首先可根据得出，然后即可判断出函数是奇函数并排除B项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。

【详解】

因为，，

所以函数是奇函数，排除B，

因为函数的解析式为，

所以，

,

在递增

又，

所以在恒成立

所以在递增，又

所以在恒成立

所以在为增函数，排除A、C，

综上所述，故选D。

【点睛】

本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。

9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足，Q是线段上一点，且，，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据条件在，可得，则，由椭圆的定义有，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.

【详解】

因为在中，，，

所以，又，

所以，从而，进而．

所以，

椭圆C的离心率为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题.

10．函数的定义域为R，若与都是偶函数，则（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．

【答案】C

【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f（x）的周期，然后利用所求结论直接判断即可．

【详解】

f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，

可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x），

∴函数的周期T＝4，

∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），则f（x+3）为偶函数，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题．

11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（    ）

A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种

【答案】C

【解析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部.

【详解】

将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部.

分两类考虑：

第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部，

此类分配方案种数为；

第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部，

此类分配方案种数为．

故不同的分配方案共有1560种．

故选：C

【点睛】

本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题.

12．已知函数，下列结论中错误的是（    ）

A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称

C．的最大值为 D．是周期函数

【答案】C

【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．

【详解】

对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确；

对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以的图像关于直线对称，所以B正确；

对于C，f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t，

，，，，所以的最大值是，从而的最大值是，故C错误；

对于D，因为，即f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题

13．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．

【答案】

【解析】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，

则球的直径等于正方体的对角线长，即，

则该球的体积

14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________．

【答案】y＝±2x

【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1⊥PF2，由三角形的中位线定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，运用点到直线的距离公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b＝2a，进而双曲线的渐近线方程．

【详解】

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，

线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，

且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，

可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为b，

即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，

即b＝2a，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．

故答案为：y＝±2x．

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题．

15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．

【答案】

【解析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.

【详解】

设直线与曲线切于点，

与曲线切于点，

则有，

从而，，，．

所以切线方程，

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．

16．设等比数列满足，，则数列的前n项和为__________．

【答案】

【解析】先求出等比数列的通项公式为，然后分析求和.

【详解】

依题意，有解得所以数列的通项公式为．

设数列的前n项和为

则，(1)

．(2)

用(1)-(2)，得，(3)

．(4)

用(3)-(4)，得．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和.属于中档题.

三、解答题

17．已知的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，．

(1)求a；

(2)若的面积为9，求的周长．

【答案】（1）5；（2）.

【解析】(1)由，，两式相除，再用正弦定理得答案.
(2)由（1）可求出，进一步可求出边，然后用余弦定理可计算出边，得出答案.

【详解】

(1)在中，，．

由正弦定理得．

又，所以，所以．

所以．

(2)由(1)知，，所以．

因为的面积，所以．

由余弦定理得，所以．

所以的周长为．

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．

18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱中，，，．

(1)证明：三棱柱是堑堵；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】(1)根据条件由正弦定理可求，从而可证明，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.

【详解】

(1)在中，，，，

由正弦定理得 ,即 ,

因为在 中，则,

，所以，

即．又三棱柱为直三棱柱.

所以三棱柱是堑堵．

(2)以点A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．

于是，，．

设平面的一个法向量是，

则由得

所以可取．

又可取为平面的一个法向量，

所以．

所以二面角的余弦值为．

【点睛】

本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.

19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】(1)根据条件有化简得答案.
(2)有抛物线过交点的弦长公式有，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出代入，可计算出，得到直线方程.

【详解】

(1)设点是曲线C上任意一点，

那么点满足：．

化简得曲线C的方程为．

(2)由题意得，直线的方程为，

设，．

由得．

因为，故，

所以．

由题设知，解得或．

因此直线的方程为或．

【点睛】

本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

20．已知函数，．

(1)求证：在区间上无零点；

(2)求证：有且仅有2个零点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】(1)求出，再求出函数的单调区间，从而分析其图像与轴无交点即可.
(2)显然是函数的零点,再分析在上和在上无零点,在上有一个零点，从而得证.

【详解】

(1)，．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

而，，

所以当时，，

所以在区间上无零点．

(2)的定义域为．

①当时，，，

所以，从而在上无零点．

②当时，，从而是的一个零点．

③当时，由(1)知，所以，又，

所以，从而在上无零点．

④当时，，，

所以在上单调递减．

而，，从而在上有唯一零点．

⑤当时，，所以，从而在上无零点．

综上，有且仅有2个零点．

【点睛】

本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．

21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．

(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；

(2)求证：为等比数列；

(3)求玩该游戏获胜的概率．

【答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）.

【解析】(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出.棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.
(2) 由(1)知，，所以可证.
(3) 该游戏获胜的概率,即求，由（2）用累加法可求解.

【详解】

(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以．

棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．

棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．

棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为．

故．

(2)由(1)知，，所以．

又因为，

所以是首项为，公比为的等比数列． 

(3)由(2)知，．

所以

．

所以玩该游戏获胜的概率为．

【点睛】

本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n项和公式．考查累加法求和，属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；

(2)求C上的点到距离的最大值．

【答案】（1）C的普通方程为．的直角坐标方程为（2）3

【解析】（1）把曲线C的参数方程平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρcosθρsinθ+4＝0，可得直线l的直角坐标方程；

（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．

【详解】

（1）由（t为参数），因为，且，

所以C的普通方程为．

由ρcosθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0．

即直线l的直角坐标方程为得xy+4＝0；

（2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)．

则P到直线得xy+4＝0的距离为：

C上的点到的距离为．

当时，取得最大值6，故C上的点到距离的最大值为3．

【点睛】

本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．

23．已知a，b为正数，且满足．

(1)求证：；

(2)求证：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．

【详解】

已知a，b为正数，且满足a+b＝1，

（1）（1）（1）＝11，

（）（a+b）≥（）2＝8，

故；

（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，

∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab，

（a）（b）ab，

令t＝ab∈（0，]，y＝t递减，

所以，

故（a）（b）≥2．

【点睛】

考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．