2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题（解析版）

2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先解指数型不等式，得到集合进而求其补集，然后与集合取交集即可.

【详解】

解:集合，

所以

故选：C

【点睛】

本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型.

2．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．

【详解】

由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，

∴z，

∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，，．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．

【详解】

，

，

，，

则

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．

4．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数 ”的

A．充要条件    B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.

【考点】充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：

①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

5．函数的图象是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．

【详解】

因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，

所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．

所以选项A、D不正确．

当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，

因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x-）是增函数．

故选B．

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（  ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.

【详解】

因为，

所以将其图象向左平移个单位长度，

可得，

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.

7．已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，

，则：.

本题选择C选项.

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值。

【详解】

由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图），可在边长为的正方体中截取，

由图可知，，，

所以侧面，

侧面，

侧面

故侧面的面积最大值为

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题。

9．已知变量满足约束条件若目标函数的最

小值为2，则的最小值为

A． B．5+2 C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

由约束条件可得到可行域如图所示，

目标函数，即

当过点时目标函数取得最小值，即，

所以，

当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

10．设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】， 相减得 由得出

，= =

故选D

点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.

11．已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】通过两函数图象关于轴对称，可知在上有解；将问题转化为与在上有交点，找到与相切时的取值，通过图象可得到的取值范围.

【详解】

由得：

由题意可知在上有解

即：在上有解

即与在上有交点

时，，则单调递增；，，则单调递减

当时，取极大值为：

函数与的图象如下图所示：

当与相切时，即时，

切点为，则

若与在上有交点，只需

即：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围.

12．已知定义在R上的奇函数满足，且对任意的，都有．又，则关于的不等式在区间上的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，函数在是增函数，故恒成立，设，可判断函数是单调递减函数，所以当 时，，可推出，又根据函数的性质画出函数和的函数图象，根据图象解不等式.

【详解】

是奇函数，

设，

由，可知 ，

整理为：，

是增函数，

当时，，

即

设，

，

是单调递减函数，

当时，

，

即，

当时，恒成立，即，

又 ，

关于对称，

又有，

，

，

是周期为的函数，

综上可画出和的函数图象，

由图象可知不等式的解集是.

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为，确定函数是增函数，另一个是判断的单调性，这样当时，不等式转化为的解集.

二、填空题

13．已知平面向量、满足，，且，则向量与夹角的余弦值为______.

【答案】

【解析】设平面向量与的夹角为，计算出，然后利用平面向量数量积的定义和运算律可得出的值.

【详解】

设平面向量与的夹角为，由题意可得，

，解得.

因此，向量与夹角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于基础题.

14．设，则  _____．（不用化简）

【答案】

【解析】，

，

，故答案为.

15．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．

【答案】

【解析】函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．

【详解】

函数为偶函数，

，即，

可得：．

，

，

设该切点的横坐标等于，则，

令，可得，化为：，解得．

，解得．

则该切点的横坐标等于．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.

【详解】

根据正弦定理，

将转化为

即，又因为锐角，所以.

所以

因为是锐角三角形，

所以，所以，得，

所以

故的取值范围是.

【点睛】

本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.

三、解答题

17．已知函数，．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，，则   

当时，由得，，解得；

当时，恒成立；

当时，由得，，解得．

所以的解集为．

（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，

所以．

因为，所以，

且，①

当时，①式等号成立，即．

又因为，②

当时，②式等号成立，即．

所以，整理得， 解得或，

故的取值范围为．

18．已知函数.

（1）若，，，求的值；

（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.

【答案】（1）；（2）最大值为，

【解析】（1）先对进行化简，求出，再根据同角三角函数求出，再根据特点，求出，利用和角公式求值即可

（2）先表示出，再根据绝对值特点和三角函数的最值特点，求出对应的值即可

【详解】

（1），，

则，又，故，.

.

.

（2）

由题意可知

当时，取到最大值.

当取到最大值时，，又，所以.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单

19．已知各项均为正数的数列的前项和为，，.

(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；

(2)设，数列的前项和记为,证明：.

【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析

【解析】（1）当时，，两式相减变形为，

验证后，判断数列是等差数列；（2）根据（1）的结果求和，利用裂项相消法求数列的前项和，并证明不等式.

【详解】

（1）由已知：①,

得②

①－②可得.

因为，所以

检验：由已知，，所以，

那么，也满足式子.所以.

所以为等差数列，首项为，公差为.于是.

（2）由，所以.

所以.

则

.

【点睛】

本题考查已知求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略的条件，就会忘记验证，第二问，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.

20．中，，，为线段上一点，且满足.

(1)求的值；

(2)若，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知可得，利用面积公式求的值；

（2）根据（1）可知，又因为，变形可求，，设，和分别利用余弦定理求的长度.

【详解】

（1）由题：，所以,

即.

所以.

（2）由，所以，

所以，所以，.

设，在中，由.

中，.

又因为,所以，即.

化简可得，即，则或.

又因为为线段上一点，所以且，所以.

【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.

21．如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析  （2）

【解析】(1) 取的中点，连接，，可证为二面角的平面角,再根据计算可得,即二面角为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面平面;

(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.

【详解】

（1）证明：由题设可得，从而．

又是直角三角形，所以.

取的中点，连接，，则，.

又因为是正三角形，故，

所以为二面角的平面角．

在中，，又，所以，

故,即二面角为直二面角,

所以平面平面．

（2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，

故，，.

设是平面的法向量，

则，即，可取.

设是平面的法向量，则，同理可取，

则.

所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题.

22．已知函数.

（1）若，函数的极大值为，求实数的值；

（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求，最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意，

.

①当时，，

令，得；，得，

所以在单调递增单调递减.

所以的极大值为，不合题意.

②当时，，

令，得；，得或，

所以在单调递增，，单调递减.

所以的极大值为，得.

综上所述.                                           

（2）令，

当时，，

故上递增，

原问题上恒成立       

①当时，，，，

此时，不合题意.                 

②当时，令，，

则，其中，，

令，则在区间上单调递增

（ⅰ）时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，

即不等式在上恒成立.          

（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.