高中数学人教版新课标A选修4-5一 比较法课时作业

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课时提升作业 六

　比　较　法

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系中正确的是　(　　)

A.t>s    B.t≥s    C.t<s    D.t≤s

【解析】选D.s-t=(a+b2+1)-(a+2b)

=(b-1)2≥0,所以s≥t.

【补偿训练】已知a>2,b>2,则　(　　)

A.ab≥a+b　　　    B.ab≤a+b

C.ab>a+b       D.ab<a+b

【解析】选C.因为a>2,b>2,所以-1>0,-1>0,则ab-(a+b)

=a+b>0.

所以ab>a+b.

2.(2016·商丘高二检测)给出下列命题:

①当b>0时,a>b>1;②当b>0时,a<b<1;③当a>0,b>0时,>1a>b;④当ab>0时,>1a>b.其中真命题是　(　　)

A.①②③        B.①②④

C.④         D.①②③④

【解析】选A.①当b>0时,>1-1>0>0,

即a>b>1,故①正确;

②当b>0时,<1-1<0<0,

即a<b<1,故②正确;结合①知③正确;

由>1-1>0>0,知b>0时,

>1a>b,b<0时,>1a<b,即④不正确.

3.已知a>b>-1,则与的大小关系为　(　　)

A.>       B.<

C.≥      D.≤

【解析】选B.因为a>b>-1,所以a+1>0,b+1>0,a-b>0,则-=<0,

所以<.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.(2016·大同高二检测)设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,则实数a,b满足的条件为________.

【解析】P-Q=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)

=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2,

所以,若P>Q,则实数a,b满足的条件为

ab≠1或a≠-2.

答案:ab≠1或a≠-2

5.若x<y<0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)(x+y),则M,N的大小关系为________.

【解析】M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).

因为x<y<0,所以xy>0,x-y<0.

所以-2xy(x-y)>0,所以M-N>0,即M>N.

答案:M>N

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.设A=+,B=(a>0,b>0),试比较A,B的大小.

【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.

【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).

又因为B>0,所以A≥B.

7.(2016·菏泽高二检测)已知a>0,b>0,

求证:+≥+.

【证明】-(+)

=+

=+=(a-b)·

=≥0,

所以+≥+.

8.已知a,b均为实数,用比较法证明:≥(当且仅当a=b时等号成立).

【证明】-=-

==≥0,

当且仅当a=b时等号成立,

所以≥(当且仅当a=b时等号成立).

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·温州高二检测)已知a>b>0且ab=1,设c=,P=logca,N=logcb,

M=logc(ab),则　(　　)

A.P<M<N        B.M<P<N

C.N<P<M        D.P<N<M

【解析】选A.因为a>b>0且ab=1,

所以a>1,0<b<1,a+b>2,

所以0<c<1,得P<0,N>0,M=0,即P<M<N.

2.已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是

(　　)

A.m<n    B.m>n    C.m≥n   D.m≤n

【解析】选B.因为a>b>0,c>d>0,

所以ac>bd>0,>,

所以m>0,n>0.又因为m2=ac+bd-2,

n2=ac+bd-(ad+bc),又由ad+bc>2,

所以-2>-ad-bc,所以m2>n2,所以m>n.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.已知0<x<1,a=2,b=1+x,c=,则a,b,c中最大的是________.

【解析】因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,

又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,

所以a2-b2<0,所以a<b.又c-b=-(1+x)=>0,所以c>b,所以c>b>a.

答案:c

4.比较大小:log34______log67.

【解题指南】令log34=a,log67=b,利用对数运算性质,比较a-b与0的大小.

【解析】设log34=a,log67=b,则3a=4,6b=7,得7·3a=4·6b=4·2b·3b,即3a-b=,显然b>1,2b>2,则3a-b=>1⇒a-b>0⇒a>b.

答案:>

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a,b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.

【证明】因为a>0,b>0,且a≠b,所以a2b+ab2>2ab,

a3+b3>2ab.所以a2b+ab2-2ab>0,

a3+b3-2ab>0.

所以|a2b+ab2-2ab|-|a3+b3-2ab|

=a2b+ab2-2ab-a3-b3+2ab

=a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)+b2(a-b)

=(a-b)(b2-a2)=-(a-b)2(a+b)<0

所以|a2b+ab2-2ab|<|a3+b3-2ab|,

所以a2b+ab2比a3+b3接近2ab.

6.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走.如果m≠n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?

【解析】设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有:

m+n=s,+=t2.

所以t1=,t2=,

所以t1-t2=-==

-.其中s,m,n都是正数,且m≠n,所以t1-t2<0,即t1<t2,从而知甲比乙先到达指定地点.

【方法技巧】应用不等式解决实际问题的策略

(1)应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决,也即建立数学模型是解应用题的关键.

(2)在实际应用题中解决不等式问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.

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