人教版新课标A选修2-12.3双曲线课时作业

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§　2.4抛物线

2.4.1　抛物线及其标准方程

课时目标　1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．

2．抛物线的标准方程

(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．

(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．

(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．

(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．

(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．

一、选择题

1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)

A.     B.     C．|a|     D．－

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为(　　)

A．y2＝8x                   B．y2＝4x

C．y2＝2x                   D．y2＝±8x

3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是(　　)

A．a＋                    B．a－

C．a＋p                   D．a－p

4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有(　　)

A．0条                   B．1条

C．2条                  D．3条

5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1                  B．x＝－1

C．x＝2                 D．x＝－2

6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)

A.                       B.

C.                      D.

二、填空题

7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．

8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．

9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．

三、解答题

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．

11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．

能力提升

12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)

A.              B．1               C．2               D．4

13．已知抛物线y2＝2px (p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．

1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．

2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．

§2.4　抛物线

2.4.1　抛物线及其标准方程

知识梳理

1．相等　焦点　准线

2．(1)标准　(2)(，0)　x＝－　向右

(3)(－，0)　x＝　向左　(4)(0，)　y＝－　向上　(5)(0，－)　y＝　向下

作业设计

1．B　[因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.]

2．D　[由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]

3．B　[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]

4．C　[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]

5．B　[∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]

6．A　[如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，

得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，

则x1＋x2＝.

因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.

不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，

可得k2＝，

所以x1＝2.

＝＝＝＝＝.]

7．y＝3

解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.

8．y＝4x2

9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析　由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，

即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，

也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.

∵x1≠x2，且x1≠－1，

∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，

由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.

10．解　设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，

则焦点F，由题意，得

解得或

故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.

抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.

11．解　设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)．①

直线方程变形为y＝2x＋1，②

设抛物线截直线所得弦为AB.

②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，

则|AB|＝ ＝.

解得a＝12或a＝－4.

∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.

12．C　[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．

方法一　由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.

∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，

∴3＋＝4，∴p＝2.

方法二　作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，

所以－＝－1，p＝2.]

13．解　

(1)当点A在抛物线内部时，如图，42<2p·，即p>时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.

当A，M，A′共线时，

(|MF|＋|MA|)min＝5，故＋＝5，∴p＝3满足p>，

∴抛物线方程为y2＝6x.

(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p·，即0<p≤时，连结AF交抛物线于M，

此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|＝5.

即 ＝5，∴p＝1或p＝13(舍)．

∴抛物线方程为y2＝2x.

综上抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.