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专题21 圆锥曲线综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版）
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这是一份专题21 圆锥曲线综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版），文件包含专题21圆锥曲线综合-2020年高考数学文母题题源解密原卷版docx、专题21圆锥曲线综合-2020年高考数学文母题题源解密解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共110页， 欢迎下载使用。
专题21 圆锥曲线综合
【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，文数】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积．
【详解】（1）
，，
根据离心率，
解得或（舍），
的方程为：，
即；
（2）不妨设，在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
又，，
，
根据三角形全等条件“”，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）或．
【解析】（1）设，则．
由于，所以切线DA的斜率为，故．
整理得
设，同理可得．
故直线AB的方程为．
所以直线AB过定点．
（2）由（1）得直线AB的方程为．
由，可得．
于是．
设M为线段AB的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得t=0或．
当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算．圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解．
【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握．
【知识总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程，即联立两个方程得消去y（或x）得ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）．以ax2+bx+c=0为例进行讨论．
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线l与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线l与圆锥曲线C相离．
（2）当a=0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件．
结论：
（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
2．圆锥曲线中弦的相关问题
（1）弦长的求解
①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
②当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则弦长|AB|==|x1–x2|=|y1–y2|（k≠0）；
③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
（2）弦中点问题
圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：+=1（a>b>0）
k=–
双曲线：–=1（a>0，b>0）
k=
抛物线：y2=2px（p>0）
k=
其中k=（x1≠x2），（x1，y1），（x2，y2）为弦的端点坐标．
【方法总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略：
一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．
这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．
（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．
（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解．
2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题
（1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
②面积问题常采用S三角形=×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．
③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．
（2）弦中点问题的解决方法
①用“点差法”求解弦中点问题的步骤
②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
点差法的用途：
（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；
（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；
（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．
3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题
（1）最值问题的求解方法
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
（2）求参数取值范围的常用方法
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题
（1）求解定点问题常用的方法
①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．
（2）求解定值问题常用的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．有关存在性问题的求解策略
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．
注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
1．（2020·云南省云南师大附中高三月考（文））已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.
2．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高二期中（文））已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.
3．（2020·云南省高三其他（文））已知椭圆：（）的右顶点为．左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点（在第象限），直线的斜率为，与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），若，求直线的方程．
[来源:学&科&网]4．（2020·云南省高三三模（理））已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积．
5．（2020·云南省高三三模（文））经过椭圆左焦点的直线与圆相交于两点，是线段与的公共点，且．
（1）求；
（2）与的交点为，且恰为线段的中点，求的面积．
6．（2020·云南省昆明一中高三其他（理））已知圆M：，直线l：（）过定点N，点P是圆M上的任意一点，线段的垂直平分线和相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l交C于A，B两点，D，B关于x轴对称，直线与x轴交于点E，且点D为线段的中点，求直线l的方程.
7．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知椭圆E：，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线上.
（1）记点，求过点与椭圆E相切的直线方程；
（2）以为直径的圆过点F，求面积的最小值.
8．（2020·云南省高三月考（理））如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线，过动点作于点，的平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条直线，分别交曲线于两点（异于点）．当直线的斜率之和为2时，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
9．（2020·云南省高三其他（理））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线与曲线交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.
10．（2020·云南省高三其他（文））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，若四边形的面积为，求直线的方程.
11．（2020·云南省昆明一中高三月考（理））已知点，直线：，点为上一动点，过作直线，为的中垂线，与交于点，设点的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若过的直线与Γ交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求与的比值.
12．（2020·云南省高三月考（文））已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求线段的长度.
13．（2020·云南省高三一模（文））椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的左､右顶点，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标.
14．（2020·西藏自治区高三二模（文））已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．
15．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知是椭圆C： 上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线交于点M，
是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上一点，，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线交椭圆于两点，记和的面积分别为和，且，求的方程.
17．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）设动直线：与抛物线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标．
18．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.
19．（2020·贵州省高三其他（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.
20．（2020·贵州省高三其他（文））已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的重直平分线与半径相交于点．[来源:学科网ZXXK]
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于两点（均不同于点）．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
21．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.
22．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆:于、两点，在点处切线相交于．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明：为定值．
23．（2020·贵州省高三其他（理））抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积.
24．（2020·贵州省高三其他（文））设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.
25．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
26．（2020·贵州省高三其他（理））已知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值.
27．（2020·四川省石室中学高三月考（理））已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
28．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]29．（2020·四川省高三二模（理））已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
30．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．
（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．
31．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
32．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且．
（1）求证：焦点三角形的面积为定值；
（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；
①若，求点的横坐标的范围；
②若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值．
33．（2020·四川省高三二模（文））在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于，设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线，的交点在直线上.
34．（2020·四川省高三三模（理））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
35．（2020·四川省高三三模（文））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）当直线，的斜率都存在时，记直线，的斜率分别为，.求证：；
（ii）求的取值范围.
36．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.
37．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知抛物线与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为，且满足，能否为定值？若为定值，求出的值；若不为定值，请说明理由．
38．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上一点满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆恒有两上不同的交点A、B，且（O是坐标原点），求k的范围．
39．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高二期中（理））已知椭圆：的离心率为，圆：与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．
40．（2020·四川省阆中中学高三二模（文））已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
41．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
42．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知椭圆的焦点坐标是，过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，问三角形内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
43．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆.
（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；
（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.
[来源:学.科.网]44．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，且的离心率为，抛物线，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作的切线，若，直线与交于两点，求面积的最大值．
45．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.
46．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.
47．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二期中（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
专题21 圆锥曲线综合
【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，文数】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积．
【详解】（1）
，，
根据离心率，
解得或（舍），
的方程为：，
即；
（2）不妨设，在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
又，，
，
根据三角形全等条件“”，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
，，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）或．
【解析】（1）设，则．
由于，所以切线DA的斜率为，故．
整理得
设，同理可得．
故直线AB的方程为．
所以直线AB过定点．
（2）由（1）得直线AB的方程为．
由，可得．
于是．
设M为线段AB的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得t=0或．
当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算．圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解．
【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握．
【知识总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（或x）得到一个关于x（或y）的一元二次方程，即联立两个方程得消去y（或x）得ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）．以ax2+bx+c=0为例进行讨论．
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线l与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线l与圆锥曲线C相离．
（2）当a=0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件．
结论：
（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
2．圆锥曲线中弦的相关问题
（1）弦长的求解
①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
②当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则弦长|AB|==|x1–x2|=|y1–y2|（k≠0）；
③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
（2）弦中点问题
圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：+=1（a>b>0）
k=–
双曲线：–=1（a>0，b>0）
k=
抛物线：y2=2px（p>0）
k=
其中k=（x1≠x2），（x1，y1），（x2，y2）为弦的端点坐标．
【方法总结】
1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略：
一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．
这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．
（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．
（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解．
2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题
（1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
②面积问题常采用S三角形=×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．
③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．
（2）弦中点问题的解决方法
①用“点差法”求解弦中点问题的步骤
②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
点差法的用途：
（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；
（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；
（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．
3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题
（1）最值问题的求解方法
①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．
③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．
（2）求参数取值范围的常用方法
①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．
③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题
（1）求解定点问题常用的方法
①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．
（2）求解定值问题常用的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．有关存在性问题的求解策略
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．
注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
1．（2020·云南省云南师大附中高三月考（文））已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.
2．（2020·禄劝彝族苗族自治县第一中学高二期中（文））已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.
3．（2020·云南省高三其他（文））已知椭圆：（）的右顶点为．左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点（在第象限），直线的斜率为，与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），若，求直线的方程．
[来源:学&科&网]4．（2020·云南省高三三模（理））已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积．
5．（2020·云南省高三三模（文））经过椭圆左焦点的直线与圆相交于两点，是线段与的公共点，且．
（1）求；
（2）与的交点为，且恰为线段的中点，求的面积．
6．（2020·云南省昆明一中高三其他（理））已知圆M：，直线l：（）过定点N，点P是圆M上的任意一点，线段的垂直平分线和相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l交C于A，B两点，D，B关于x轴对称，直线与x轴交于点E，且点D为线段的中点，求直线l的方程.
7．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知椭圆E：，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线上.
（1）记点，求过点与椭圆E相切的直线方程；
（2）以为直径的圆过点F，求面积的最小值.
8．（2020·云南省高三月考（理））如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线，过动点作于点，的平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条直线，分别交曲线于两点（异于点）．当直线的斜率之和为2时，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
9．（2020·云南省高三其他（理））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线与曲线交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.
10．（2020·云南省高三其他（文））已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，若四边形的面积为，求直线的方程.
11．（2020·云南省昆明一中高三月考（理））已知点，直线：，点为上一动点，过作直线，为的中垂线，与交于点，设点的轨迹为曲线Γ.
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若过的直线与Γ交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求与的比值.
12．（2020·云南省高三月考（文））已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求线段的长度.
13．（2020·云南省高三一模（文））椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的左､右顶点，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标.
14．（2020·西藏自治区高三二模（文））已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．
15．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知是椭圆C： 上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线交于点M，
是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上一点，，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线交椭圆于两点，记和的面积分别为和，且，求的方程.
17．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）设动直线：与抛物线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标．
18．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.
19．（2020·贵州省高三其他（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.
20．（2020·贵州省高三其他（文））已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的重直平分线与半径相交于点．[来源:学科网ZXXK]
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于两点（均不同于点）．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
21．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.
22．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆:于、两点，在点处切线相交于．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明：为定值．
23．（2020·贵州省高三其他（理））抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积.
24．（2020·贵州省高三其他（文））设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.
25．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
26．（2020·贵州省高三其他（理））已知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值.
27．（2020·四川省石室中学高三月考（理））已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
28．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]29．（2020·四川省高三二模（理））已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
30．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．
（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．
31．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
32．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且．
（1）求证：焦点三角形的面积为定值；
（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；
①若，求点的横坐标的范围；
②若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值．
33．（2020·四川省高三二模（文））在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于，设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）设过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线，的交点在直线上.
34．（2020·四川省高三三模（理））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
35．（2020·四川省高三三模（文））已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）当直线，的斜率都存在时，记直线，的斜率分别为，.求证：；
（ii）求的取值范围.
36．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.
37．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知抛物线与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为，且满足，能否为定值？若为定值，求出的值；若不为定值，请说明理由．
38．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上一点满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆恒有两上不同的交点A、B，且（O是坐标原点），求k的范围．
39．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高二期中（理））已知椭圆：的离心率为，圆：与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．
40．（2020·四川省阆中中学高三二模（文））已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.
41．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
42．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））已知椭圆的焦点坐标是，过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，问三角形内切圆面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
43．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知椭圆.
（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；
（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.
[来源:学.科.网]44．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，且的离心率为，抛物线，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作的切线，若，直线与交于两点，求面积的最大值．
45．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.
46．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.
47．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二期中（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
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