专题02 （圆与圆的位置关系及判定)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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1.直击高考
例题1.（2020江苏南通，模拟题）已知圆C1：x2+y 2−2x+m=0与圆C2：(x+3)2+(y+3)2=36内切，且圆C1的半径小于6，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8=0距离的最大值为______．
【答案】2
【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2−2x+m=0化为标准方程为(x−1)2+y2=1−m，其圆心为(1,0)，半径r=1−m，|C1C2|=42+32=5，
又由圆C1与圆C2内切，且圆C1的半径小于6，则有6−1−m=5，解可得m=0，
圆心C1(1,0)到5x+12y+8=0的距离d=|5+8|25+144=1，
点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8=0距离的最大值为1+1=2；
故答案为：2．
根据题意，求出圆C1的圆心与半径，求出两圆的圆心距，根据两圆内切求出m的值，求出圆心C1(1,0)到5x+12y+8=0的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，根据圆与圆的位置关系求出m是解决本题的关键，是基础题
思维升华
如何解决这类问题，关键能把几何知识转化为代数式，达到几何代数的“和谐统一”。用代数方法来研究几何问题。
基本知识
例2.（2020上海，模拟题）若圆C1：x2+y2=1和圆C2：x2+y2−6x−8y−k=0没有公共点，则实数k的取值范围是( )
A. (−9,11)B. (−25,−9)
C. (−∞,−9)∪(11,+∞)D. (−25,−9)∪(11,+∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆位置关系，考查计算能力，是中档题．
求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【解答】
解：化圆C2：x2+y2−6x−8y−k=0为(x−3)2+(y−4)2=25+k，
则k>−25，圆心坐标为(3,4)，半径为25+k，
圆C1：x2+y2=1的圆心坐标为(0,0)，半径为1．
要使圆C1：x2+y2=1和圆C2：x2+y2−6x−8y−k=0没有公共点，
则|C1C2|>25+k+1或|C1C2|<25+k−1，
即5>25+k+1或5<25+k−1，
解得−2511．
∴实数k的取值范围是(−25,−9)∪(11,+∞)．
故选：D．
例3（2020天津，模拟题）已知在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y=2x−4.设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】解：(1)由y=2x−4和y=x−1联立，得圆心C(3,2)．
∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x−3)2+(y−2)2=1，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx−y+3=0．
∴|3k−2+3|k2+1=1，∴2k(4k+3)=0，∴k=0或k=−34．
∴所求圆C的切线方程为y=3或3x+4y−12=0．
(2)∵圆C的圆心在直线l：y=2x−4上，所以设圆心C为(a,2a−4)，
则圆C的方程为(x−a)2+[y−(2a−4)]2=1．
又∵MA=2MO，∴设M为(x,y)，
则x2+(y−3)2=2x2+y2，整理得x2+(y+1)2=4，设为圆D．
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，
∴2−1≤a2+[(2a−4)−(−1)]2≤|2+1|，
由5a2−12a+8≥0，得a∈R，由5a2−12a≤0，得0≤a≤125．
综上所述，a的取值范围为[0,125].
【解析】本题考查直线与圆的位置关系和、圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，属中档题．
(1)先求得圆心C(3,2)，再根据半径为1，可得圆C的方程.考虑到切线的斜率一定存在，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；
(2)可设圆心 C(a,2a−4)，设点M(x,y)，则由|MA|=2|MO|可得x2+(y+1)2=4，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，由此有2−1≤CD≤2+1，解之可得a的取值范围．
2.变式训练
变式1.已知圆C1:(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2:(x−3)2+(y−4)2=9，M,N分别为圆C1,C2上的点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. 17B. 17−1C. 6−22D. 52−4
【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
在本题中，求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，得到|PM|+|PN|的最小值是圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和.进而可得答案．
【解答】
解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,−3)，半径为1， 圆C2的圆心坐标(3,4)，半径为3，
设点M′是点M关于x轴的对称点，则｜PM｜=｜PM′｜，
由图象可知，当P,M′,N三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
且|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和，
即AC2−3−1=(3−2)2+(−3−4)2−4=52−4，
故选 D．
变式2.若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a，b满足的关系是( )
A. a2+2a+2b−3=0B. a2+2a+2b+5=0
C. a2+b2+2a+2b+5=0D. a2−2a−2b+5=0
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，要求熟练掌握圆的相关性质．
根据两圆平分圆的周长，得到条件关系，即可得到结论．
【解答】
解：∵圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，
∴两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4的圆心，
两圆相减得相交弦的方程为−2(a+1)x−2(b+1)y+a2+1=0，
将圆心坐标(−1,−1)代入可得a2+2a+2b+5=0．
故选B．
变式3.两圆x2+y2−6x+16y−48=0与x2+y2+4x−8y−44=0的公切线条数为( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
【答案】C
【解析】
【分析】
本题给出两个圆的一般式方程，探求两圆的位置关系并找出公切线的条数，着重考查了圆的一般式方程与标准方程的互化和两圆位置关系的判断等知识点，属于基础题．
将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于13，恰好介于两圆的半径差与半径和之间，由此可得两圆位置关系是相交，从而得到它们有两条公切线．
【解答】
解：∵圆C1：x2+y2−6x+16y−48=0化成标准方程，得(x−3)2+(y+8)2=121，
∴圆C1的圆心坐标为(3,−8)，半径r1=11，
同理，可得圆C2的圆心坐标为(−2,4)，半径r2=8，
因此，两圆的圆心距|C1C2|=(3+2)2+(−8−4)2=13，
∵|r1−r2|<|C1C2|∴两圆的位置关系是相交，可得两圆有2条公切线，
故选C．
3.活学活用
串讲1.两个圆C1：x2+y2+2ax+a2−4=0(a∈R)与C2：x2+y2−2by−1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线，则a+b的最小值为( )
A. 32B. −32C. 6D. −6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．
由题意得两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得a+b的最小值．
【解答】
解：圆C1：x2+y2+2ax+a2−4=0化为标准方程(x+a)2+y2=4；
圆C2：x2+y2−2by−1+b2=0化为标准方程x2+(y−b)2=1，
∵由题意两圆外切，
∴a2+b2=3，得a2+b2=9，
∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)，
∵a+b2−2ab=a2+b2=9，
∴a+b2=9+2ab≤9+9=18，
∴−32≤a+b≤32，
∴a+b的最小值为−32，
故选B．
串讲2.设直线3x+4y−5=0与圆C1：x2+y2=9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2半径的最大值是______ ．
【答案】2
【解析】解：由圆C1：x2+y2=9，可得圆心O(0,0)，半径R=3
如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．
则两圆心之间的距离OQ=d=532+42=1．
因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=3−d=3−1=2
故答案为：2

先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．
此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．
串讲3.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2+y2−2y=0与圆C2：x2+y2+ax−23ay=0上分别存在点P，Q，使△POQ为以O为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为22，则实数a的值为 ______ ．
【答案】−2
【解析】解：圆C1：x2+y2−2y=0的极坐标方程为：ρ2−2ρsinθ=0，所以ρ=2sinθ；
圆C2：x2+y2+ax−23ay=0的极坐标方程为：ρ2+aρcsα−23ρasinα=0，即ρ=23asinα−acsα，
因为△POQ为以O为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为22，所以可得|OQ|=|OP|=2，
设Q(2,θ)，则P(2,θ+π2)，
由题意可得2=2sin(θ+π2)2=23asinθ−acsθ解得：a=−2
将圆C1和圆C2的一般方程化成极坐标方程，由△POQ为以O为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为22可得|OQ|=|OP|=2，可设Q，P的极坐标，代入两个圆的极坐标方程解得a的值．
本题考查圆与圆的位置关系，及圆的普通方程与极坐标方程之间的转化，属于中档题．
外离
外切
相交
内切
内含