2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第23讲圆的有关概念和性质

第23讲　圆的有关概念和性质

一、圆的有关概念

1. 圆的定义：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆，其中________称为圆心，________称为半径．以O为圆心的圆记作________，读作“圆O”．圆也可以看作平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆．简单说成到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．

2. 与圆有关的概念

(1)弧：圆上任意________的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧称为________弧，小于半圆的弧称为________弧．

(2)弦：连接圆上任意两点的________叫做弦．经过圆心的弦叫做________．

(3)圆心角：顶点在________上的角叫做圆心角．

(4)圆周角：顶点在________上，且它的两边分别与圆________的角叫做圆周角．

二、圆的轴对称性

1. 圆是________对称图形，过________的任一条直线或________所在的直线是它的对称轴．

2. 垂径定理

(1)垂径定理：垂直于________的直径平分这条弦，并且平分弦所对的________．

(2)逆定理：平分________(不是直径)的直径________于弦，并且平分弦所对的________．

三、圆的中心对称性——旋转不变性

1. 圆是以________为对称中心的________对称图形．

2. 圆心角、弧、弦关系定理

在______________中，如果两个____________、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别________．

四、圆周角定理

1. 定理：一条弧所对的________等于它所对的________的一半．

2. 推论1：在__________中，同弧或等弧所对的________相等．

3. 推论2：直径所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径．

五、三角形的外接圆

1.  确定圆的条件：不在____________上的三个点确定一个圆．

2. 经过三角形________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的________．外心是三角形三边________的交点，外心到三角形各顶点距离________；锐角三角形外心一定在三角形________，钝角三角形外心在三角形________，直角三角形外心在________中点．

六、圆内接多边形

1. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

2. 圆内接四边形的对角________，并且每一个外角都等于它的内对角.

圆心角、弧、弦的关系)

(2014·贵港，第9小题，3分)

如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(　　)

A．51°  B．56°

C．68°  D．78°

【思路点拨】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．

如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠AEO＝×(180°－78°)＝51°.

(2015·南宁，第11小题，3分)

如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

,　　　　　　　　　　　　　　　

圆周角定理

(2020·柳州，第6小题，3分)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为(　　)

A．35°  B．40°

C．55°   D．70°

【思路点拨】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .

(2020·河池，第17小题，3分)

如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝________° .

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垂径定理、勾股定理、勾股定理的逆定理等的综合运用

(2020·梧州，第8小题，3分)

如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30°，CF＝2，则OG的长是(　　)

A．1  B.

C．2  D. 2

【思路点拨】如解图，连接OF.∵CD为⊙O的直径且过弦EF的中点G，∴CD垂直平分EF.又∵∠C＝30°，CF＝2，∴GF＝，CG＝3.设半径为r，在Rt△OGF中，＋＝r2，解得r＝2，∴OG＝1 .

如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为(　　)

A．9 cm  B．3 cm

C. cm  D. cm

1. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有(　　)

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

2. 如图，在以AB为直径的半圆O中，C是它的中点，若AC＝2，则△ABC的面积是(　　)

A．1.5  B．2  C．3  D．4

3. (2020·泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为( B )

A．4  B．4  C.  D．2

,第3题图)　　　　,第4题图)

4. 如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(　　)

A.r  B.r  C．r  D．2r

5. 如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(　　)

A．AE>BE  B.＝

C．∠D＝∠AEC  D．△ADE∽△CBE

,第5题图)　　　　,第6题图)

6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠AOC的度数是( C )

A．70°　  B．110°  C．140°　  D．160°

7. (2020·青岛)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G.若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为( B )

A．99°  B．108°

C．110°  D．117°

,第7题图)　　　　,第8题图)

8. 如图，已知点E是⊙O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为________°.

9. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________°.

,第9题图)　　　　,第10题图)

10. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝________°.

11. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________°.

,第11题图)　　　　,第12题图)

12. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝________°.

13. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．

14. 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求圆心O到边BC的距离OD.

15. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°.

(1)求∠BOC的度数；

(2)求证：四边形AOBC是菱形．

第23讲　圆的有关概念和性质

【基础梳理】

一、1.定点　定长　定点　定长　⊙O　2.(1)两点之间

优　劣　(2)线段　直径　(3)圆心　(4)圆　相交

二、1.轴　圆心　圆心　

2．(1)弦　两条弧　(2)弦　垂直　两条弧

三、1.圆心　中心　2.同圆或等圆　圆心角　弧　弦　相等

四、1.圆周角　圆心角　2.同圆或等圆　圆周角　

3．直角　90°

五、1.同一直线　2.三个顶点　外心　垂直平分线　相等　内部　外部　斜边

六、互补

【重点突破】

[例1]A　[变式1]B [提示]作点N关于AB的对称点N′，证△OMN′是等边三角形．

[例2]A　[变式2]35　

[例3]A　[变式3]A

【达标检测】

1．B　2.B　3.B　4.B　5.D　6.C　7. B　8. 69　9. 22　10. 120　11. 60　12. 25

13．解：连接BD.

∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，

又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，

∴∠BDC＝∠C，

又∵∠BDC＝∠BOC，

∴∠C＝∠BOC.

∵AB⊥CD，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝60°.

14．解：(1)∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴在△ABC中，∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形．

(2)连接OB，△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，

∴O为△ABC的外心，∴OB是∠ABC角平分线．

∴∠OBD＝30°.∴OD＝OB＝4.

15．(1)解：∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，

又∵OC⊥AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°.

(2)证明：∵＝，∴AC＝BC.

∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，

∴BC＝BO＝CO，∴OA＝OB＝BC＝AC，

∴四边形AOBC是菱形．