2021年高考数学二轮复习大题专项练八《不等式选讲》文数(含答案)

2021年高考数学二轮复习大题专项练八《不等式选讲》文数

A组

1.已知函数f(x)=|x-3|+|x+m|(x∈R).

(1)当m=1时,求不等式f(x)≥6的解集;

(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集,求参数m的取值范围.

2.已知函数f(x)=|x|+|x-3|.

(1)求不等式f(x)<7的解集;

(2)证明:当<k<2时,直线y=k(x+4)与函数f(x)的图象可以围成一个四边形.

3.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≤5的解集;

(2)∃x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范围.

4.若a>0,b>0,且+=.

(1) 求a3+b3的最小值;

(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.

B组

1.已知a>0,b>0,且a+b=1.

(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;

(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.

2.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

3.已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.

(1)若f(x)≥+(m>0,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;

(2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.

4.已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.

(1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集;

(2)设k>-1,且当x∈-,时,都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.

A组参考答案

1.解:(1)原不等式等价于解得x≤-2,

或此时无解,

或解得x≥4.

故不等式的解集是{x|x≤-2或x≥4}.

(2)因为|x-3|+|x+m|≥|(x-3)-(x+m)|=|m+3|,

所以f(x)min=|3+m|,所以|m+3|≤5,

所以m∈[-8,2].

2.(1)解:f(x)=|x|+|x-3|,

当x≥3时,f(x)=x+x-3=2x-3,

由f(x)<7解得3≤x<5;

当0<x<3时,f(x)=x+3-x=3,

f(x)<7显然成立,可得0<x<3;

当x≤0时,f(x)=-x+3-x=3-2x,

由f(x)<7解得-2<x≤0,

综上可得,f(x)<7的解集为(-2,5).

(2)证明:由f(x)=

作出y=f(x)的图象,

显然直线y=k(x+4)恒过定点A(-4,0),

当直线经过点B(0,3)时,3=4k,

解得k=,此时构成三角形;

当直线y=k(x+4)与直线y=2x-3平行,可得k=2,

可得当<k<2时,直线y=k(x+4)与函数y=f(x)的图象可以围成一个四边形.

3.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|.

①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,

令f(x)≤5,即-2x-1≤5,解得-3≤x≤-2;

②当-2<x<1时,f(x)=3;

显然f(x)≤5成立,所以-2<x<1;

③当x≥1时,f(x)=2x+1,

令f(x)≤5,即2x+1≤5,解得1≤x≤2.

综上所述,不等式的解集为{x|-3≤x≤2}.

(2)因为f(x)=|x-a|+|x+2|≥|(x-a)-(x+2)|=|a+2|,

又∃x0∈R,有f(x0)≤|2a+1|成立,

所以只需|a+2|≤|2a+1|,

所以(a+2)2≤(2a+1)2,

化简可得a2-1≥0,解得a≤-1,或a≥1.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

4.解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.

故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.

所以a3+b3的最小值为4.

(2)不存在满足题意的a,b,理由:

由(1)知,2a+3b≥2≥4.

由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.

B组参考答案

1.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,

所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,

由ab≤m恒成立,故m≥.

(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9,

当且仅当a=2b时取等号,

故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,

当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,

当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,

当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12,

综上所述,x的取值范围为[-6,12].

2.解:(1)因为f(x)=|x+1|-|x-2|=f(x)≥1,

所以当-1≤x≤2时,2x-1≥1,解得1≤x≤2;

当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;

综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)-x2+x≥m成立,

即m≤[f(x)-x2+x]max.

设g(x)=f(x)-x2+x.

由(1)知,g(x)=

当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴方程为x=>-1,

所以g(x)≤g(-1)=-1-1-3=-5;

当-1<x<2时,g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(-1,2),

所以g(x)≤g()=-+-1=;

当x≥2时,g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,

所以g(x)≤g(2)=-4+2+3=1;

综上,g(x)max=,

所以m的取值范围为(-∞,].

3.解:(1)由题意可知,f(x)=

函数f(x)的图象如图:

由图知f(x)min=,所以+≤,即≤,即m+n≤mn≤()2,

当且仅当m=n时等号成立,因为m>0,n>0,解得m+n≥,

当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为.

(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的   直线,

则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,

由图象可知-3≤a≤.

4.解:(1)当k=-3时,f(x)=

故不等式f(x)≥4可化为或或

解得x≤0或x≥,所以所求解集为{xx≤0或x≥}.

(2)当x∈[-,)时,由k>-1有3x-1<0,3x+k≥0,

所以f(x)=1+k,

不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,

故k≤x+3对x∈[-,)恒成立,即k≤-+3,

解得k≤,而k>-1,故-1<k≤.

所以k的取值范围是(-1,].