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2021高考数学（文）大一轮复习习题 第十章 算法初步、统计、统计案例 第十章 算法初步、统计、统计案例 word版含答案
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这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第十章 算法初步、统计、统计案例 第十章 算法初步、统计、统计案例 word版含答案，共96页。试卷主要包含了算法，程序框图，三种基本逻辑结构及相应语句，8，i＝4，S＝0，故选B，故这批米内夹谷约为169石等内容，欢迎下载使用。
第十章算法初步、统计、统计案例
第一节算法初步
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构及相应语句
名称
示意图
相应语句
顺序结构
①输入语句：INPUT “提示内容”；变量
②输出语句：
PRINT “提示内容”；表达式
③赋值语句：
变量＝表达式
条件结构
IF 条件 THEN语句体
END IF
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
循环结构
直到型循环结构
DO循环体
LOOP UNTIL 条件
当型循环结构
WHILE 条件
循环体
WEND
1．(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为________．
解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2．5．
答案：2．5
2．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．
解析：进行第一次循环时，
S＝＝20，i＝2，S＝20>1；
进行第二次循环时，
S＝＝4，i＝3，S＝4>1；
进行第三次循环时，
S＝＝0．8，i＝4，S＝0．8<1，
此时结束循环，输出的i＝4．
答案：4
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
1．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为( )
A．i＞7？ B．i＞9？ C．i＞10？ D．i＞11?
解析：选A ∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i＞7？或i≥9？．
2．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析：第一次循环：S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8；
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝．
答案：
1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－，k＝1；第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2．
2．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则⊗的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．－1
解析：选A 由程序框图可知，S＝
因为2cos＝1,2tan＝2,1<2，
所以⊗＝2(1＋1)＝4．
3．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7
B．12
C．17
D．34
解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，输出s＝17．
4．(2016·河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )
A．k>3?
B．k>4?
C．k>5?
D．k>6?
解析：选C 依次运行程序框图中的语句：k＝2，S＝2；k＝3，S＝7；k＝4，S＝18；k＝5，S＝41；k＝6，S＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k>5？”．
程序框图的3个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1．
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i．
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i．
处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．
算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．
常见的命题角度有：
(1)与概率、统计的交汇问题；
(2)与函数的交汇问题；
(3)与不等式的交汇问题；
(4)与数列求和的交汇问题．
角度一：与概率、统计的交汇问题
1．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值
解析：选C 初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4．…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C．
解决算法交汇问题的3个关键点
(1)读懂程序框图，明确交汇知识；
(2)根据给出问题与程序框图处理问题；
(3)注意框图中结构的判断．
1．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x不小于40的概率为．
2．(2016·长春市质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为，故选A．
3．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．
解析：第一次循环：y＝5，x＝5；第二次循环：y＝，x＝；第三次循环：y＝，此时|y－x|＝＝<1，故输出y＝．
答案：
设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )
A．13 B．13．5
C．14 D．14．5
解析：选A 当填13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13，故选A．
算法语句应用的4个关注点
(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．
(2)赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．
(3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．
(4)循环语句：分清“for”和“while”的格式，不能混用．
1．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：选C 该语句表示分段函数
y＝
当x＝60时，y＝25＋0．6×(60－50)＝31．
∴输出y的值为31．
2．按照如图程序运行，则输出K的值是________．
解析：第一次循环，X＝7，K＝1；
第二次循环，X＝15，K＝2；
第三次循环，X＝31，K＝3，X>16，
终止循环，则输出K的值是3．
答案：3
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈，则输出的s属于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈上单调递增，
在上单调递减．
∴s∈．
综上知s∈．
2．(2016·沈阳市教学质量监测)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2，则输出的a的值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：选B 当a＝－1，b＝－2时，a＝(－1)×(－2)＝2<6；a＝2，b＝－2时，a＝2×(－2)＝－4<6；当a＝－4，b＝－2时，a＝(－4)×(－2)＝8>6，此时输出的a＝8，故选B．
3．(2017·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选A 根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A．
4．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A．9 B．18
C．20 D．35
解析：选B 由程序框图知，
初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1．
结束循环，输出当前v的值18．故选B．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x＝x0，则输出的x＝2＋1≥103，所以8x0≥96，即x0≥12，故输出的x不小于103的概率为P＝＝＝．
2．(2017·长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是( )
A．18 B．50
C．78 D．306
解析：选C 第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18＜K≤78，所以整数K的最大值为78．
3．(2016·福建省毕业班质量检测)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
解析：选C 由程序框图可知，其功能是运算分段函数y＝因为y＝3，所以
或或
解得x＝－2或x＝8，故选C．
4．
执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出S的值为( )
A．15 B．6
C．－10 D．－21
解析：选C 当k＝1，S＝0时，k为奇数，所以S＝1，k＝2,2<4；k＝2不是奇数，所以S＝1－4＝－3，k＝3,3<4；k＝3是奇数，所以S＝－3＋9＝6，k＝4,4＝4；k＝4不是奇数，所以S＝6－16＝－10，k＝5，5>4，所以输出的S＝－10，故选C．
5．(2017·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )
A．4 B．5
C．2 D．3
解析：选A 第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，是，输出的n＝4，故选A．
6．(2017·北京东城模拟)如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．i＜50？ B．i＞50?
C．i＜25? D．i＞25?
解析：选B 因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？．
7．如图(1)是某县参加2 016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在
1．(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )
A．随机抽样 B．分层抽样
C．系统抽样 D．以上都不是
解析：选C 因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
2．(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝．
解得x＝15．
答案：15
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即．
1．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝．
答案：
2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：每组袋数：d＝＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．
a61＝11＋60×20＝1 211．
答案：1 211
1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07
C．02 D．01
解析：选D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01．
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B．
3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 根据题意，＝，
解得n＝28．
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝．
简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少．
(2)是逐个抽取．
(3)是不放回抽取．
(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
(2016·兰州市实战考试)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000．适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．若抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人，故选A．
系统抽样的3个关注点
(1)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．
(2)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．
(3)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
1．(2016·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )
A．480 B．481
C．482 D．483
解析：选C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482．
2．(2017·安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )
A．5 B．7
C．11 D．13
解析：选B 把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组，所以第1组抽到的数为39－32＝7．
1．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
解析：选B 设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169．故这批米内夹谷约为169石．
2．(2015·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
解析：设男生抽取x人，则有＝，
解得x＝25．
答案：25
进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
1．某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
解析：因为分层抽样也叫按比例抽样，所以应从小学中抽取×30＝×30＝18(所)，同理可得从中学中抽取×30＝×30＝9(所)．
答案：18 9
2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，
∴x＝300．∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，
∴y＝80．∴C产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
解析：选D A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．
2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )
A．50 B．60
C．70 D．80
解析：选C 由分层抽样方法得×n＝15，解之得n＝70．
3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
A．10 B．11
C．12 D．16
解析：选D 因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16．
4．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析：设样本容量为n，则＝，n＝16．
则样本容量为16．
答案：16
5．为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝＝＝40．
答案：40
二保高考，全练题型做到高考达标
1．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( )
9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640
5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814
2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815
5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702
9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488
A．76,63,17,00 B．16,00,02,30
C．17,00,02,25 D．17,00,02,07
解析：选D 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．
2．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9．现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是( )
A．72 B．74
C．76 D．78
解析：选C 由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76．故选C．
3．(2017·兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2
4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800双 B．1 000双
C．1 200双 D．1 500双
解析：选C 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
解析：由题意可得＝，
解得z＝400．
答案：400
7．(2017·北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0．5＋980×0．2＋1 030×0．3＝1 015．
答案：50 1 015
8．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为________．
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
答案：12
9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解：(1)∵＝0．19．∴x＝380．
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12(名)．
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n．
解：总体容量为6＋12＋18＝36．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，
分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，
技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝．
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18．
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，
系统抽样的间隔为，
因为必须是整数，所以n只能取6．
即样本容量为n＝6．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
解析：选A 样本抽取比例为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100，选A．
2．(2017·东北四市联考)为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)．
(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；
(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？
解：(1)用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是＝，
∴女志愿者被抽中的有18×＝6(人)．
(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，
则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中2人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．
设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件K，则P(K)＝＝.
第三节用样本估计总体
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
4．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
概念
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
(2)标准差、方差
①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ ．
②方差：标准差的平方s2
s2＝，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
1．(教材习题改编)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23，则这组数据的中位数是________．
解析：这组数据从小到大排列为：12,15,16,20,20,23,23,28，∴这组数据的中位数是＝20．
答案：20
2．(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．
解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0．040＋0．080)＝0．6，所以共有80×0．6＝48(人)．
答案：48
1．易把直方图与条形图混淆
两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．
2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为．
3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
1．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．
解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是＝92．
答案：93 92
2．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为
1．如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
A．85,84 B．84,85
C．86,84 D．84,86
解析：选A 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，
所以平均数为＝85，众数为84．
2．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：选C ∵甲组数据的中位数为15＝10＋x，
∴x＝5．
又乙组数据的平均数为
＝16．8，∴y＝8．∴x，y的值分别为5,8．
3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．
解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．
答案：4
茎叶图中的3个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在内的频率分别为0．08，0．21，0．25,0．06,0．04,0．02．
由1－(0．04＋0．08＋0．21＋0．25＋0．06＋0．04＋0．02)＝2a×0．5，
解得a＝0．30．
(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0．04＋0．02＝0．12．
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12＝36 000．
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＋0．25＝0．73＞0．5，
而前4组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＝0．48＜0．5，所以2≤x＜2．5．
由0．50×(x－2)＝0．5－0．48，
解得x＝2．04．
故可估计居民月均用水量的中位数为2．04吨．
1．绘制频率分布直方图时的2个注意点
(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；
(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2016年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
网购金额(单位：千元)
人数
频率
(0,1]
16
0．08
(1,2]
24
0．12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0．08
(5,6]
14
0．07
合计
200
1．00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2．
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；
(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？
解：(1)根据题意有：
解得∴p＝0．4，q＝0．25．
补全频率分布直方图如图所示：
(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为
×5＝3(人)，记为：a，b，c．
网购金额在(4,5]内的人数为×5＝2(人)，记为：A，B．
则从这5人中随机选取2人的选法为：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种．
记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种．
∴P(M)＝＝．
在考查中，样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题．
常见的命题角度有：
(1)样本的数字特征与直方图交汇；
(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；
(3)样本的数字特征与优化决策问题．
角度一：样本的数字特征与直方图交汇
1．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
解：(1)由(0．002＋0．009 5＋0．011＋0．012 5＋x＋0．005＋0．002 5)×20＝1，得x＝0．007 5，
∴直方图中x的值为0．007 5．
(2)月平均用电量的众数是＝230．
∵(0．002＋0．009 5＋0．011)×20＝0．45＜0．5，
∴月平均用电量的中位数在＝91，
所以x＝4．
所以s2＝＝．
角度三：样本的数字特征与优化决策问题
3．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B 法一：∵甲＝＝29，
乙＝＝30，
∴甲<乙，
又s＝＝，s＝＝2，
∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确．
利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．
1．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24；
③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，方差为10．8．
则满足进入夏季标志的地区有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据特征得，甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 ℃的，故不确定；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10．8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃．故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地．故选C．
2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选B 不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选D 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14．7，中位数b＝＝15，众数c＝17，则a
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B ∵＝0．1．
答案：0．1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：
分组成时，所作的频率分布直方图是( )
解析：选B 由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0．2，直方图中第一组的纵坐标是0．02，排除A，故选B．
2．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是( )
A．56 B．60
C．120 D．140
解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16＋0．08＋0．04)×2．5＝0．7，则每周自习时间不少于22．5小时的人数为0．7×200＝140．故选D．
3．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在的频率为x，y，z，又x，y，z成等差数列，所以可得
解得y＝0．2，所以年龄在＝5．
5．(2016·贵州省适应性考试)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．
解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0．08，第二组的频率是0．32，第三组的频率是0．36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋×4＝．
答案：
6．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间时，函数y＝x2－1与y＝－均为增函数，所以y＝x2－1－
在上为增函数，所以min＝8－＝．
答案：
8．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
(1)求图中a的值．
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解：(1)由频率分布直方图知(0．04＋0．03＋0．02＋2a)×10＝1，因此a＝0．005．
(2)估计这次语文成绩的平均分＝55×0．05＋65×0．4＋75×0．3＋85×0．2＋95×0．05＝73．
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0．05×100＝5,0．4×100＝40,0．3×100＝30,0．2×100＝20．
所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25．
所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
9．(2017·张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如下图表．
组号
分组的人数
回答正确
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0．5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0．9
第4组
[45,55)
9
0．36
第5组
3
y
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝＝100，
所以a＝100×0．01×10×0．5＝5，
b＝100×0．03×10×0．9＝27，
x＝＝0．9，y＝＝0．2．
(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：×6＝2；第3组：×6＝3；第4组：×6＝1．
(3)设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中恰好没有第3组人的共3种，
所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P＝＝．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于________．
解析：这组数据的平均数为
＝＝a4，
又因为这组数据的方差等于1，
所以＝(9d2＋4d2＋d2＋0＋d2＋4d2＋9d2)＝1，
即4d2＝1，解得d＝±．
答案：±
2． (2016·开封市第一次模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．(把频率当作概率)
甲
乙
9 8
7
5
8 4 2 1
8
0 0 3 5
5 3
9
0 2 c
(1)假设c＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
解：(1)若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)
＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝＝35.5，
s＝＝41.
∵甲＝乙，s
(2)若乙>甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)>85，
∴c>5，∴c＝6,7,8,9，
又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
第四节变量间的相关关系__统计案例
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－．
(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
1．(教材习题改编)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0．95x＋，则＝________．
x
0
1
3
4
y
2．2
4．3
4．8
6．7
解析：∵回归直线必过样本点的中心(，)，又＝2，＝4．5，代入回归方程，得＝2．6．
答案：2．6
2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3．841)≈0．05，P(K2≥5．024)≈0．025．
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4．844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
解析：K2的观测值k≈4．844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%．
答案：5%
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)．
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0．85x－85．71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58．79 kg
解析：选D 由于线性回归方程中x的系数为0．85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0．85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58．79 kg，而不是具体值，因此D不正确．
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( )
A．l1和l2必定平行
B．l1与l2必定重合
C．l1和l2一定有公共点(s，t)
D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
解析：选C 注意到回归直线必经过样本中心点．
1．(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0．1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：选C 因为y＝－0．1x＋1的斜率小于0，
故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0．1x＋＋，
故x与z负相关．
2．某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图．
(2)判断是否具有相关关系．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
判断相关关系的2种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．
1．(2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：i＝9．32，iyi＝40．17, ＝0．55，≈2．646．
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－ ．
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0．55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40．17－4×9．32＝2．89，
∴r≈≈0．99．
因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1．331及(1)得
＝＝≈0．103．
＝－ ≈1．331－0．103×4≈0．92．
所以y关于t的回归方程为＝0．92＋0．10t．
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0．92＋0．10×9＝1．82．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1．82亿吨．
1．回归直线方程中系数的2种求法
(1)利用公式，求出回归系数b，a．
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．
2．回归分析的2种策略
(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b．
(2016·河北省三市第二次联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
月份
9
10
11
12
1
历史(x分)
79
81
83
85
87
政治(y分)
77
79
79
82
83
(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程 ＝x＋ ．
附： ＝＝，＝－
解：(1)＝×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，
∵＝×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，
∴s＝× ＝4．8．
(2)∵(xi－)(yi－)＝30，(xi－)2＝40，
∴＝0．75，＝－＝17．75．
故所求的线性回归方程为＝0．75x＋17．75．
(2017·皖北名校联考)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
总计
32
(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．05
0．010
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
解：(1)列联表如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
24
120
使用方案B组
72
8
80
总计
168
32
200
使用方案A组有效的频率为＝0．8；
使用方案B组有效的频率为＝0．9．
(2)K2＝≈3．571＜3．841，
所以不能在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．
解决独立性检验问题的3步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式K2＝，计算K2的值．
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．
应用独立性检验方法解决问题，易出现不能准确计算K2值的错误．
下表是110名性别不同的学生对某项运动所持态度的调查表．
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附表：
P(K2≥k0)
0．050
0．010
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
若由K2＝算得
K2＝≈7．822．
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A 依题意，因为P(7．822≥6．635)＝0．010，因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·重庆适应性测试)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3．841)＝0．05，P(K2≥6．635)＝0．01，则下列说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析：选A 依题意，K2＝5，且P(K2≥3．841)＝0．05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A．
2．某公司在2016年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
收入x
12．3
14．5
15．0
17．0
19．8
20．6
支出y
5．63
5．75
5．82
5．89
6．11
6．18
根据统计资料，则( )
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
解析：选C 月收入的中位数是＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选C．
3．已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若i＝17，则i的值等于( )
A．3 B．4
C．0．4 D．40
解析：选B 依题意＝＝1．7，而直线＝－3＋2x一定经过样本点的中心(，)，所以＝－3＋2＝－3＋2×1．7＝0．4，所以i＝0．4×10＝4．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
解析：选B 因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%．
2．(2016·河南省八市重点高中质量检测)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0．67x＋54．9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
A．67 B．68
C．68．3 D．71
解析：选B 设表中模糊看不清的数据为m．因为＝＝30，又样本中心(，)在回归直线＝0．67x＋54．9上，所以＝＝0．67×30＋54．9，得m＝68，故选B．
3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C． D．1
解析：选D 因为所有样本点都在直线y＝x＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
4．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0．6x＋1．2．若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66% B．67%
C．79% D．84%
解析：选D ∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0．6x＋1．2，该城市居民人均工资为＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平＝0．6×5＋1．2＝4．2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%．
5．(2017·黄冈模拟)下列说法错误的是( )
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好
解析：选B 根据相关关系的概念知A正确；当r＞0时，r越大，相关性越强，当r＜0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B．
6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：＝0．245x＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x变为x＋1，＝0．245(x＋1)＋0．321＝0．245x＋0．321＋0．245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．
答案：0．245
7．在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9．5
m
10．5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3．2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心(，)，即6＋＝－3．2＋40，即3．2m＋n＝42．
又因为m＋n＝20，即解得故n＝10．
答案：10
8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3．918，经查临界值表知P(K2≥3．841)≈0．05．则下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%．
解析：K2≈3．918≥3．841，而P(K2≥3．814)≈0．05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
答案：①
9．(2017·沈阳市教学质量监测)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0)
0．05
0．01
0．005
0．001
k0
3．841
6．635
7．879
10．828
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60．
(2)未注射疫苗发病率为＝，注射疫苗发病率为＝．
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．
(3)K2＝＝≈16．667＞10．828．
所以至少有99．9%的把握认为疫苗有效．
10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720．
(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，
＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝0．3，
＝－＝2－0．3×8＝－0．4，
故所求线性回归方程为＝0．3x－0．4．
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0．3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0．3×7－0．4＝1．7(千元)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
(2016·成都质检)某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求y关于x的回归方程＝x＋；
(2)判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3．8＜X＜13．4)．
附：①回归方程＝x＋中，＝，＝－．
②≈3．2，≈1．8．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0．682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0．954 4．
解：(1)列表计算如下：
i
xi
yi
x
xiyi
1
2
12
4
24
2
5
10
25
50
3
8
8
64
64
4
9
8
81
72
5
11
7
121
77
∑
35
45
295
287
这里n＝5，＝i＝＝7，＝i＝＝9．
又－n2＝295－5×72＝50，
iyi－n ＝287－5×7×9＝－28，
从而＝－＝－0．56，
＝－＝9－(－0．56)×7＝12．92，
故所求回归方程为＝－0．56x＋12．92．
(2)由＝－0．56＜0知y与x之间是负相关；
将x＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额＝－0．56×6＋12．92＝9．56(千元)．
(3)由(1)知μ＝＝7，
又由σ2＝s2＝×＝10，知σ＝3．2，
从而P(3．8＜X＜13．4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)
＝P(μ－σ＜X＜μ)＋P(μ＜X＜μ＋2σ)
＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)
＝0．818 5．
命题点一 算法
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0．
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4．
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4．故选B．
2．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18．
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B．
3．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4，则输出M＝，选D．
4．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0．01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0．5，m＝0．25，n＝1，S>0．01；
运行第二次：S＝0．5－0．25＝0．25，m＝0．125，n＝2，S>0．01；
运行第三次：S＝0．25－0．125＝0．125，m＝0．062 5，n＝3，S>0．01；
运行第四次：S＝0．125－0．062 5＝0．062 5，m＝0．031 25，n＝4，S>0．01；
运行第五次：S＝0．031 25，m＝0．015 625，n＝5，S>0．01；
运行第六次：S＝0．015 625，m＝0．007 812 5，n＝6，S>0．01；
运行第七次：S＝0．007 812 5，m＝0．003 906 25，n＝7，S<0．01．
输出n＝7．故选C．
命题点二 抽样方法
命题指数：☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180．
命题点三 用样本估计总体
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低、中
题型：选择题、解答题
1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
解析：选A 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A．
2．(2015·重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下图，则这组数据的中位数是( )
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
A．19 B．20
C．21．5 D．23
解析：选B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为＝20．
3．(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01%)?
解：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9．其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37．
(2)＝＝40．
由方差公式知，s2＝＝．
(3)因为s2＝，所以s＝∈(3,4)，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于在区间内的人数，即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为≈63．89%．
4．(2016全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现在决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0．46，不大于19的频率为0．7，故n的最小值为19．
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90＋4 500×10)＝4 050．
比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件．
命题点四 回归分析与独立性检验
命题指数：☆☆☆
难度：高
题型：选择题、解答题
1．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
2．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46．6
563
6．8
289．8
1．6
1 469
108．8
表中wi＝，＝i．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ ．
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6．8＝100．6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100．6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100．6＋68．
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100．6＋68＝576．6，
年利润z的预报值＝576．6×0．2－49＝66．32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0．2(100．6＋68)－x＝－x＋13．6＋20．12．
所以当＝＝6．8，即x＝46．24时，取得最大值．
故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．
选修4－4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ．
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
4．常见曲线的极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线的极坐标方程
ρsin θ＝a(0<θ<π)
1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为．
答案：
2．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．
解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，
因为圆的半径为2, d＝2·sin＝1．
答案：1
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．
2．极角θ一般规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的．
1．在极坐标系中A，B两点间的距离为________．
解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6．
法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．
∴|AB|＝＝＝6．
答案：6
2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：
ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，
化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0．
圆心的坐标为，化成极坐标为．
答案：(答案不唯一)
1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．
解：由得到①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1．
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1．
2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sin得3y＝3sin，
整理得y＝sin，故f(x)＝sin．
所以y＝f(x)的最小正周期为＝π．
伸缩变换公式应用时的2个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
(2017·邯郸调研)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：
ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0．
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的非负半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．极坐标与直角坐标互化的策略
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2．
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0．
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1．
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝．
(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0．
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11．
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝．
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±．
所以直线l的斜率为或－．
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0．
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝．
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝．
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为．
1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入x2－＝1
得－＝1，化简得－＝1，
即－＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；
(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程．
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，
得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．
所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为
ρ＝r(0≤θ＜2π)．
(2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，
即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．
法二：方程两边同时乘以ρ，
得ρ2＝8ρsin θ，
即x2＋y2－8y＝0．
3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R．
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1．
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2．
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N．
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为．
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈．
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有
解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．
6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
＝．
即ρsin＝sin＝，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝．
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于．
7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ．
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1．
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1．
8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．
解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，
在Rt△OAM中，∠OMA＝，
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4．
因为cos∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，
故ρ＝4cos为所求．
(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，
易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2．
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos．
(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，
得ρ＝2，
所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2．
第二节参数方程
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．
1．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0．
答案：x－y－1＝0
2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝________．
解析：由(φ为参数)得，＋＝1，
当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝．
答案：
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则不等价．
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．
1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
解析：由(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为____________．
解析：将直线l的参数方程
代入x2＋＝1，
得2＋＝1，
即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝．
答案：
1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解：(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α，
得圆x2＋y2＝9．
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3．
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．
解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1，
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，
则3－a＝0，∴a＝3．
3．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
解：圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为(θ为参数)．
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
(2017·泉州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ．
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0．
又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5．
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0．
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1＋t2＝3．
又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3．
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2．
①弦长l＝|t1－t2|；
②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|．
1．(2017·石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
得到t2＋2t－3＝0，
∴t1t2＝－3，
∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3．
2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1．
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，
所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝．
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为．
(2017·郑州质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1．直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ．
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，
所以t1t2＝m2－2m，
由题意得|m2－2m|＝1，
解得m＝1或m＝1＋或m＝1－．
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
(2016·东北四市联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，
将左焦点F(－2，0)代入直线AB的参数方程，
得m＝－2．
直线AB的参数方程是(t为参数)，
代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，
所以|FA|·|FB|＝2．
(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(2cos α，2sin α)，(－2cos α，2sin α)，(2cos α，－2sin α)，(－2cos α，－2sin α)，
所以椭圆C的内接矩形的周长为8cos α＋8sin α
＝16sin，
当α＋＝，即α＝时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．
1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为，
且点M的极径等于，
故点M的极坐标为．
(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
2．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈．
(1)求C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，
则C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，
于是直线CD的斜率k＝＝．
由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，
所以，切点的直角坐标为，
即(2＋，1)．
3．(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将代入得曲线C′的参数方程为
∴曲线C′的普通方程为＋y2＝1．
(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)，且AD的中点为P，
∴
又点A在曲线C′上，
∴代入C′的普通方程＋y2＝1，
得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4．
4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ．
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和．
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π．
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4．
当α＝时，
|AB|取得最大值，最大值为4．
5．(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos．
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，
即ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，
因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
其表示以(2,2)为圆心，半径为4的圆．
(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：
t2－2sin α·t－13＝0，
所以t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－13，
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝，
因此|AB|的最小值为2，最大值为8．
6．(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0．
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3．
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)．
∴d＝＝
＝．
∴d的最小值为＝，d的最大值为＝．
∴≤d≤，即d的取值范围为．
7．(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．
由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－4＝0．
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝8，t1t2＝7，
所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，
因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，
所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，
当α＝0时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0)，(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，当α＝时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标系分别是(0,1)，(0，b)，
因为这两个交点重合，所以b＝1．
(2)由(1)可得，曲线C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，
＋y2＝1，当α＝时，
射线l与曲线C1的交点
A1，与曲线C2的交点B1；
当α＝－时，射线l与曲线C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，
则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为＝．
选修4－5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|
∅
∅
|x|>a
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
1．若不等式|kx－4|≤2的解集为，则实数k＝________．
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6．
∵不等式的解集为，∴k＝2．
答案：2
2．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
即函数y的最小值为8．
答案：8
3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当－1
所以不等式的解集为．
答案：
1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|
1．设a，b为满足ab<0的实数，那么( )
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：选B ∵ab<0，
∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|．
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4．
答案：
1．不等式|2x－1|＞3的解集为________．
解析：由|2x－1|＞3得，
2x－1＜－3或2x－1＞3，即x＜－1或x＞2．
答案：{x|x＜－1或x＞2}
2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6．
解：法一：当x>时，原不等式转化为4x≤6⇒
当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒－≤x<－．
综上知，原不等式的解集为．
法二：原不等式可化为＋≤3，
其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为．
3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|．
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5．
故f(x)>1的解集为{x|1
所以|f(x)|>1的解集为．
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|．
解：(1)f(x)＝
当x≤－时，
由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1；
当－
当x≥时，
由f(x)<2得2x<2，解得x<1．
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1
证明绝对值不等式主要的3种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1．
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．
即|x＋5y|≤1．
(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a．
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|．当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2．
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3．
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即＋≥．
又min＝，
所以≥，解得a≥2．
所以a的取值范围是
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
(2)f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a．
f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a．
(2016·长春质检)设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a∈R)．
(1)若不等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，
当a＜0时，要保证f(x)≥－a恒成立，
即f(x)的最小值|a＋2|≥－a，
解得－1≤a＜0，故a≥－1．
所以实数a的取值范围为．
1．已知|2x－3|≤1的解集为．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1．
解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3．
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1．即|x|＜|a|＋1．
2．(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a．
(1)求实数a的值；
(2)解不等式f(x)≤5．
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，
从而解得a＝2．
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝
故当x≤2时，令－2x＋6≤5，
得≤x≤2，
当2
3．(2016·广西质检)已知函数f(x)＝＋ax(a＞0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函数g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|．
(1)求实数a的值；
(2)求函数g(x)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝＋ax＝＋a(x－1)＋a，x＞1，a＞0，
∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5．
(2)由于g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，
∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4．
4．已知函数f(x)＝|x－a|．
(1)若f(x)≤m的解集为，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．
解：(1)∵|x－a|≤m，
∴－m＋a≤x≤m＋a．
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3．
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|．
①当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t＜2，∴x∈(－∞，0)；
②当x∈．
7．(2016·兰州诊断)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|．
(1)解不等式f(x)＞0；
(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＞0，即|2x－1|＞|x＋2|，
即4x2－4x＋1＞x2＋4x＋4，
3x2－8x－3＞0，解得x＜－或x＞3，
所以不等式f(x)＞0的解集为．
(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝
故f(x)的最小值为f＝－．
因为∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，
所以4m－2m2＞－，
解得－＜m＜．
故实数m的取值范围为．
8．已知函数f(x)＝|3x＋2|．
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4．
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－
解得－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，x∈．
(2)由题意，＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即0
第二节不等式的证明
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．比较法
(1)比差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
(2)比商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1．
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( )
A．s≥t B．s＞t
C．s≤t D．s＜t
解析：选A ∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t．
2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B ∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，
∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．故选B．
1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．
2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．
1．已知a>0，b>0，则aabb与(ab)的大小关系为________．
解析：∵＝，
∴当a＝b时，＝1，
当a>b>0时，>1，>0，
∴>1，
当b>a>0时，0<<1，<0，
则>1，
∴aabb≥(ab)．
答案：aabb≥(ab)
2．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：把a＋b＋c＝1代入＋＋
得＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：9
1．求证：当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2．
证明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2．
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2．
2． 已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1．
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
∴＋－1＝
＝
＝
＝＝＝．
∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1．
∴≥0．
∴＋≥1．
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．
(2016·贵阳监测)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|．
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3．
解：(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)
＝－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)
＝x＋4∈
综合法证明不等式的方法
综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9．
证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＋
＝＋＋
＝2
＝2
＝2＋4
≥4 ＋4＝8
，
∴＋＋≥8．
(2)∵＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8．
∴≥9．
(2016·福建毕业班质量检测)已知函数f(x)＝|x＋1|．
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，
①当x≤－1时，
不等式可化为－x－1＜－2x－2，
解得x＜－1；
②当－1＜x＜－时，
不等式可化为x＋1＜－2x－2，
解得x＜－1，此时不等式无解；
③当x≥－时，
不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1．
综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．
(2)因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，
只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，
即证(a2－1)(b2－1)＞0．
因为a，b∈M，
所以a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．
1．用分析法证“若A则B”这个命题的模式
为了证明命题B为真，
只需证明命题B1为真，从而有…
只需证明命题B2为真，从而有…
……
只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．
2．分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy．
证明：由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2．
因为－
＝－
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
1．如果x＞0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．
解：(－1)2－(＋1)2
＝
＝－4．
因为x＞0，所以＞0，所以－4＜0，
所以(－1)2＜(＋1)2．
2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M．
(1)求集合M．
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1．
所以M＝{x|0＜x＜1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0．
故ab＋1＞a＋b．
3．(2017·重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1．
(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；
(2)求证：＋＋≥2．
证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，
所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤．
(2)因为≥，≥，≥，
所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2．
4．若a>0，b>0，且＋＝．
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，
且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4．
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4．
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6．
5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3．
解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3．
(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，
又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3．
6．(2016·海口调研)设函数f(x)＝|x－a|．
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋4n≥2＋3．
解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，
∴
或
或
解得x≤－2或x≥5，
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪，
∴解得a＝1，∴＋＝1(m＞0，n＞0)，
∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．
7．已知函数f(x)＝|x－1|．
(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f．
解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|
＝
当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；
当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；
当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2．
所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为
．
(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，
即|ab－1|＞|a－b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2
＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)
＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|．
故所证不等式成立．
8．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x2≤．
解：(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1．
所以f(x)≤1的解集为M＝．
(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得162≤4，
解得－≤x≤．
因此N＝，
故M∩N＝．
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，
于是x2f(x)＋x·2
＝xf(x)
＝x·f(x)＝x(1－x)
＝－2≤．
第十章算法初步、统计、统计案例
第一节算法初步
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构及相应语句
名称
示意图
相应语句
顺序结构
①输入语句：INPUT “提示内容”；变量
②输出语句：
PRINT “提示内容”；表达式
③赋值语句：
变量＝表达式
条件结构
IF 条件 THEN语句体
END IF
IF 条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
循环结构
直到型循环结构
DO循环体
LOOP UNTIL 条件
当型循环结构
WHILE 条件
循环体
WEND
1．(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为________．
解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2．5．
答案：2．5
2．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．
解析：进行第一次循环时，
S＝＝20，i＝2，S＝20>1；
进行第二次循环时，
S＝＝4，i＝3，S＝4>1；
进行第三次循环时，
S＝＝0．8，i＝4，S＝0．8<1，
此时结束循环，输出的i＝4．
答案：4
1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
1．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为( )
A．i＞7？ B．i＞9？ C．i＞10？ D．i＞11?
解析：选A ∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i＞7？或i≥9？．
2．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析：第一次循环：S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8；
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝．
答案：
1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－，k＝1；第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2．
2．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则⊗的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．－1
解析：选A 由程序框图可知，S＝
因为2cos＝1,2tan＝2,1<2，
所以⊗＝2(1＋1)＝4．
3．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7
B．12
C．17
D．34
解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，输出s＝17．
4．(2016·河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )
A．k>3?
B．k>4?
C．k>5?
D．k>6?
解析：选C 依次运行程序框图中的语句：k＝2，S＝2；k＝3，S＝7；k＝4，S＝18；k＝5，S＝41；k＝6，S＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k>5？”．
程序框图的3个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1．
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i．
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i．
处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．
算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．
常见的命题角度有：
(1)与概率、统计的交汇问题；
(2)与函数的交汇问题；
(3)与不等式的交汇问题；
(4)与数列求和的交汇问题．
角度一：与概率、统计的交汇问题
1．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值
解析：选C 初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4．…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C．
解决算法交汇问题的3个关键点
(1)读懂程序框图，明确交汇知识；
(2)根据给出问题与程序框图处理问题；
(3)注意框图中结构的判断．
1．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x不小于40的概率为．
2．(2016·长春市质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为，故选A．
3．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．
解析：第一次循环：y＝5，x＝5；第二次循环：y＝，x＝；第三次循环：y＝，此时|y－x|＝＝<1，故输出y＝．
答案：
设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )
A．13 B．13．5
C．14 D．14．5
解析：选A 当填13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13，故选A．
算法语句应用的4个关注点
(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．
(2)赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．
(3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．
(4)循环语句：分清“for”和“while”的格式，不能混用．
1．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：选C 该语句表示分段函数
y＝
当x＝60时，y＝25＋0．6×(60－50)＝31．
∴输出y的值为31．
2．按照如图程序运行，则输出K的值是________．
解析：第一次循环，X＝7，K＝1；
第二次循环，X＝15，K＝2；
第三次循环，X＝31，K＝3，X>16，
终止循环，则输出K的值是3．
答案：3
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈，则输出的s属于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈上单调递增，
在上单调递减．
∴s∈．
综上知s∈．
2．(2016·沈阳市教学质量监测)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2，则输出的a的值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：选B 当a＝－1，b＝－2时，a＝(－1)×(－2)＝2<6；a＝2，b＝－2时，a＝2×(－2)＝－4<6；当a＝－4，b＝－2时，a＝(－4)×(－2)＝8>6，此时输出的a＝8，故选B．
3．(2017·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选A 根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A．
4．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A．9 B．18
C．20 D．35
解析：选B 由程序框图知，
初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1．
结束循环，输出当前v的值18．故选B．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x＝x0，则输出的x＝2＋1≥103，所以8x0≥96，即x0≥12，故输出的x不小于103的概率为P＝＝＝．
2．(2017·长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是( )
A．18 B．50
C．78 D．306
解析：选C 第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18＜K≤78，所以整数K的最大值为78．
3．(2016·福建省毕业班质量检测)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
解析：选C 由程序框图可知，其功能是运算分段函数y＝因为y＝3，所以
或或
解得x＝－2或x＝8，故选C．
4．
执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出S的值为( )
A．15 B．6
C．－10 D．－21
解析：选C 当k＝1，S＝0时，k为奇数，所以S＝1，k＝2,2<4；k＝2不是奇数，所以S＝1－4＝－3，k＝3,3<4；k＝3是奇数，所以S＝－3＋9＝6，k＝4,4＝4；k＝4不是奇数，所以S＝6－16＝－10，k＝5，5>4，所以输出的S＝－10，故选C．
5．(2017·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )
A．4 B．5
C．2 D．3
解析：选A 第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，是，输出的n＝4，故选A．
6．(2017·北京东城模拟)如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．i＜50？ B．i＞50?
C．i＜25? D．i＞25?
解析：选B 因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？．
7．如图(1)是某县参加2 016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在
1．(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )
A．随机抽样 B．分层抽样
C．系统抽样 D．以上都不是
解析：选C 因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
2．(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝．
解得x＝15．
答案：15
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即．
1．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝．
答案：
2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：每组袋数：d＝＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．
a61＝11＋60×20＝1 211．
答案：1 211
1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07
C．02 D．01
解析：选D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01．
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B．
3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 根据题意，＝，
解得n＝28．
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝．
简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少．
(2)是逐个抽取．
(3)是不放回抽取．
(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
(2016·兰州市实战考试)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000．适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．若抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人，故选A．
系统抽样的3个关注点
(1)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．
(2)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．
(3)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
1．(2016·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )
A．480 B．481
C．482 D．483
解析：选C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482．
2．(2017·安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )
A．5 B．7
C．11 D．13
解析：选B 把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组，所以第1组抽到的数为39－32＝7．
1．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
解析：选B 设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169．故这批米内夹谷约为169石．
2．(2015·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
解析：设男生抽取x人，则有＝，
解得x＝25．
答案：25
进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
1．某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
解析：因为分层抽样也叫按比例抽样，所以应从小学中抽取×30＝×30＝18(所)，同理可得从中学中抽取×30＝×30＝9(所)．
答案：18 9
2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，
∴x＝300．∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，
∴y＝80．∴C产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
解析：选D A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．
2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )
A．50 B．60
C．70 D．80
解析：选C 由分层抽样方法得×n＝15，解之得n＝70．
3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
A．10 B．11
C．12 D．16
解析：选D 因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16．
4．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析：设样本容量为n，则＝，n＝16．
则样本容量为16．
答案：16
5．为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝＝＝40．
答案：40
二保高考，全练题型做到高考达标
1．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( )
9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640
5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814
2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815
5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702
9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488
A．76,63,17,00 B．16,00,02,30
C．17,00,02,25 D．17,00,02,07
解析：选D 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．
2．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9．现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是( )
A．72 B．74
C．76 D．78
解析：选C 由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76．故选C．
3．(2017·兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2
4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800双 B．1 000双
C．1 200双 D．1 500双
解析：选C 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
解析：由题意可得＝，
解得z＝400．
答案：400
7．(2017·北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0．5＋980×0．2＋1 030×0．3＝1 015．
答案：50 1 015
8．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为________．
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
答案：12
9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解：(1)∵＝0．19．∴x＝380．
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12(名)．
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n．
解：总体容量为6＋12＋18＝36．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，
分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，
技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝．
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18．
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，
系统抽样的间隔为，
因为必须是整数，所以n只能取6．
即样本容量为n＝6．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
解析：选A 样本抽取比例为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100，选A．
2．(2017·东北四市联考)为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)．
(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；
(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？
解：(1)用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是＝，
∴女志愿者被抽中的有18×＝6(人)．
(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，
则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中2人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．
设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件K，则P(K)＝＝.
第三节用样本估计总体
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
4．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
概念
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
(2)标准差、方差
①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ ．
②方差：标准差的平方s2
s2＝，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
1．(教材习题改编)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23，则这组数据的中位数是________．
解析：这组数据从小到大排列为：12,15,16,20,20,23,23,28，∴这组数据的中位数是＝20．
答案：20
2．(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．
解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0．040＋0．080)＝0．6，所以共有80×0．6＝48(人)．
答案：48
1．易把直方图与条形图混淆
两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．
2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为．
3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
1．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．
解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是＝92．
答案：93 92
2．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为
1．如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
A．85,84 B．84,85
C．86,84 D．84,86
解析：选A 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，
所以平均数为＝85，众数为84．
2．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：选C ∵甲组数据的中位数为15＝10＋x，
∴x＝5．
又乙组数据的平均数为
＝16．8，∴y＝8．∴x，y的值分别为5,8．
3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．
解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．
答案：4
茎叶图中的3个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在内的频率分别为0．08，0．21，0．25,0．06,0．04,0．02．
由1－(0．04＋0．08＋0．21＋0．25＋0．06＋0．04＋0．02)＝2a×0．5，
解得a＝0．30．
(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0．04＋0．02＝0．12．
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12＝36 000．
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＋0．25＝0．73＞0．5，
而前4组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＝0．48＜0．5，所以2≤x＜2．5．
由0．50×(x－2)＝0．5－0．48，
解得x＝2．04．
故可估计居民月均用水量的中位数为2．04吨．
1．绘制频率分布直方图时的2个注意点
(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；
(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2016年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
网购金额(单位：千元)
人数
频率
(0,1]
16
0．08
(1,2]
24
0．12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0．08
(5,6]
14
0．07
合计
200
1．00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2．
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；
(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？
解：(1)根据题意有：
解得∴p＝0．4，q＝0．25．
补全频率分布直方图如图所示：
(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为
×5＝3(人)，记为：a，b，c．
网购金额在(4,5]内的人数为×5＝2(人)，记为：A，B．
则从这5人中随机选取2人的选法为：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种．
记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种．
∴P(M)＝＝．
在考查中，样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题．
常见的命题角度有：
(1)样本的数字特征与直方图交汇；
(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；
(3)样本的数字特征与优化决策问题．
角度一：样本的数字特征与直方图交汇
1．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
解：(1)由(0．002＋0．009 5＋0．011＋0．012 5＋x＋0．005＋0．002 5)×20＝1，得x＝0．007 5，
∴直方图中x的值为0．007 5．
(2)月平均用电量的众数是＝230．
∵(0．002＋0．009 5＋0．011)×20＝0．45＜0．5，
∴月平均用电量的中位数在＝91，
所以x＝4．
所以s2＝＝．
角度三：样本的数字特征与优化决策问题
3．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B 法一：∵甲＝＝29，
乙＝＝30，
∴甲<乙，
又s＝＝，s＝＝2，
∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确．
利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．
1．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24；
③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，方差为10．8．
则满足进入夏季标志的地区有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据特征得，甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 ℃的，故不确定；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10．8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃．故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地．故选C．
2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选B 不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选D 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14．7，中位数b＝＝15，众数c＝17，则a
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B ∵＝0．1．
答案：0．1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：
分组成时，所作的频率分布直方图是( )
解析：选B 由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0．2，直方图中第一组的纵坐标是0．02，排除A，故选B．
2．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是( )
A．56 B．60
C．120 D．140
解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16＋0．08＋0．04)×2．5＝0．7，则每周自习时间不少于22．5小时的人数为0．7×200＝140．故选D．
3．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在的频率为x，y，z，又x，y，z成等差数列，所以可得
解得y＝0．2，所以年龄在＝5．
5．(2016·贵州省适应性考试)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．
解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0．08，第二组的频率是0．32，第三组的频率是0．36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋×4＝．
答案：
6．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间时，函数y＝x2－1与y＝－均为增函数，所以y＝x2－1－
在上为增函数，所以min＝8－＝．
答案：
8．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
(1)求图中a的值．
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解：(1)由频率分布直方图知(0．04＋0．03＋0．02＋2a)×10＝1，因此a＝0．005．
(2)估计这次语文成绩的平均分＝55×0．05＋65×0．4＋75×0．3＋85×0．2＋95×0．05＝73．
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0．05×100＝5,0．4×100＝40,0．3×100＝30,0．2×100＝20．
所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25．
所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
9．(2017·张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如下图表．
组号
分组的人数
回答正确
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0．5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0．9
第4组
[45,55)
9
0．36
第5组
3
y
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为＝25，
再结合频率分布直方图可知n＝＝100，
所以a＝100×0．01×10×0．5＝5，
b＝100×0．03×10×0．9＝27，
x＝＝0．9，y＝＝0．2．
(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：×6＝2；第3组：×6＝3；第4组：×6＝1．
(3)设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中恰好没有第3组人的共3种，
所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P＝＝．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于________．
解析：这组数据的平均数为
＝＝a4，
又因为这组数据的方差等于1，
所以＝(9d2＋4d2＋d2＋0＋d2＋4d2＋9d2)＝1，
即4d2＝1，解得d＝±．
答案：±
2． (2016·开封市第一次模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．(把频率当作概率)
甲
乙
9 8
7
5
8 4 2 1
8
0 0 3 5
5 3
9
0 2 c
(1)假设c＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
解：(1)若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)
＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝＝35.5，
s＝＝41.
∵甲＝乙，s
(2)若乙>甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)>85，
∴c>5，∴c＝6,7,8,9，
又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
第四节变量间的相关关系__统计案例
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－．
(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
1．(教材习题改编)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0．95x＋，则＝________．
x
0
1
3
4
y
2．2
4．3
4．8
6．7
解析：∵回归直线必过样本点的中心(，)，又＝2，＝4．5，代入回归方程，得＝2．6．
答案：2．6
2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3．841)≈0．05，P(K2≥5．024)≈0．025．
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4．844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
解析：K2的观测值k≈4．844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%．
答案：5%
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)．
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0．85x－85．71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58．79 kg
解析：选D 由于线性回归方程中x的系数为0．85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0．85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58．79 kg，而不是具体值，因此D不正确．
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( )
A．l1和l2必定平行
B．l1与l2必定重合
C．l1和l2一定有公共点(s，t)
D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
解析：选C 注意到回归直线必经过样本中心点．
1．(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0．1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：选C 因为y＝－0．1x＋1的斜率小于0，
故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0．1x＋＋，
故x与z负相关．
2．某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图．
(2)判断是否具有相关关系．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
判断相关关系的2种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．
1．(2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：i＝9．32，iyi＝40．17, ＝0．55，≈2．646．
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－ ．
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0．55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40．17－4×9．32＝2．89，
∴r≈≈0．99．
因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1．331及(1)得
＝＝≈0．103．
＝－ ≈1．331－0．103×4≈0．92．
所以y关于t的回归方程为＝0．92＋0．10t．
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0．92＋0．10×9＝1．82．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1．82亿吨．
1．回归直线方程中系数的2种求法
(1)利用公式，求出回归系数b，a．
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．
2．回归分析的2种策略
(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b．
(2016·河北省三市第二次联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：
月份
9
10
11
12
1
历史(x分)
79
81
83
85
87
政治(y分)
77
79
79
82
83
(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程 ＝x＋ ．
附： ＝＝，＝－
解：(1)＝×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，
∵＝×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，
∴s＝× ＝4．8．
(2)∵(xi－)(yi－)＝30，(xi－)2＝40，
∴＝0．75，＝－＝17．75．
故所求的线性回归方程为＝0．75x＋17．75．
(2017·皖北名校联考)某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
总计
32
(1)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
(2)能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．05
0．010
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
解：(1)列联表如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
24
120
使用方案B组
72
8
80
总计
168
32
200
使用方案A组有效的频率为＝0．8；
使用方案B组有效的频率为＝0．9．
(2)K2＝≈3．571＜3．841，
所以不能在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．
解决独立性检验问题的3步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式K2＝，计算K2的值．
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．
应用独立性检验方法解决问题，易出现不能准确计算K2值的错误．
下表是110名性别不同的学生对某项运动所持态度的调查表．
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附表：
P(K2≥k0)
0．050
0．010
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
若由K2＝算得
K2＝≈7．822．
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A 依题意，因为P(7．822≥6．635)＝0．010，因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2017·重庆适应性测试)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3．841)＝0．05，P(K2≥6．635)＝0．01，则下列说法正确的是( )
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析：选A 依题意，K2＝5，且P(K2≥3．841)＝0．05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”，选A．
2．某公司在2016年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
收入x
12．3
14．5
15．0
17．0
19．8
20．6
支出y
5．63
5．75
5．82
5．89
6．11
6．18
根据统计资料，则( )
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
解析：选C 月收入的中位数是＝16，由表可知收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选C．
3．已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若i＝17，则i的值等于( )
A．3 B．4
C．0．4 D．40
解析：选B 依题意＝＝1．7，而直线＝－3＋2x一定经过样本点的中心(，)，所以＝－3＋2＝－3＋2×1．7＝0．4，所以i＝0．4×10＝4．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
解析：选B 因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%．
2．(2016·河南省八市重点高中质量检测)为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0．67x＋54．9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
A．67 B．68
C．68．3 D．71
解析：选B 设表中模糊看不清的数据为m．因为＝＝30，又样本中心(，)在回归直线＝0．67x＋54．9上，所以＝＝0．67×30＋54．9，得m＝68，故选B．
3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C． D．1
解析：选D 因为所有样本点都在直线y＝x＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
4．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0．6x＋1．2．若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66% B．67%
C．79% D．84%
解析：选D ∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0．6x＋1．2，该城市居民人均工资为＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平＝0．6×5＋1．2＝4．2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%．
5．(2017·黄冈模拟)下列说法错误的是( )
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好
解析：选B 根据相关关系的概念知A正确；当r＞0时，r越大，相关性越强，当r＜0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选B．
6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：＝0．245x＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x变为x＋1，＝0．245(x＋1)＋0．321＝0．245x＋0．321＋0．245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．
答案：0．245
7．在2017年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9．5
m
10．5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3．2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心(，)，即6＋＝－3．2＋40，即3．2m＋n＝42．
又因为m＋n＝20，即解得故n＝10．
答案：10
8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3．918，经查临界值表知P(K2≥3．841)≈0．05．则下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%．
解析：K2≈3．918≥3．841，而P(K2≥3．814)≈0．05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
答案：①
9．(2017·沈阳市教学质量监测)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0)
0．05
0．01
0．005
0．001
k0
3．841
6．635
7．879
10．828
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60．
(2)未注射疫苗发病率为＝，注射疫苗发病率为＝．
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．
(3)K2＝＝≈16．667＞10．828．
所以至少有99．9%的把握认为疫苗有效．
10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720．
(1)求家庭的月储蓄对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，
＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，
iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝0．3，
＝－＝2－0．3×8＝－0．4，
故所求线性回归方程为＝0．3x－0．4．
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0．3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0．3×7－0．4＝1．7(千元)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
(2016·成都质检)某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求y关于x的回归方程＝x＋；
(2)判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3．8＜X＜13．4)．
附：①回归方程＝x＋中，＝，＝－．
②≈3．2，≈1．8．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0．682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0．954 4．
解：(1)列表计算如下：
i
xi
yi
x
xiyi
1
2
12
4
24
2
5
10
25
50
3
8
8
64
64
4
9
8
81
72
5
11
7
121
77
∑
35
45
295
287
这里n＝5，＝i＝＝7，＝i＝＝9．
又－n2＝295－5×72＝50，
iyi－n ＝287－5×7×9＝－28，
从而＝－＝－0．56，
＝－＝9－(－0．56)×7＝12．92，
故所求回归方程为＝－0．56x＋12．92．
(2)由＝－0．56＜0知y与x之间是负相关；
将x＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额＝－0．56×6＋12．92＝9．56(千元)．
(3)由(1)知μ＝＝7，
又由σ2＝s2＝×＝10，知σ＝3．2，
从而P(3．8＜X＜13．4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)
＝P(μ－σ＜X＜μ)＋P(μ＜X＜μ＋2σ)
＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)
＝0．818 5．
命题点一 算法
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0．
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4．
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4．故选B．
2．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18．
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B．
3．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4，则输出M＝，选D．
4．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0．01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0．5，m＝0．25，n＝1，S>0．01；
运行第二次：S＝0．5－0．25＝0．25，m＝0．125，n＝2，S>0．01；
运行第三次：S＝0．25－0．125＝0．125，m＝0．062 5，n＝3，S>0．01；
运行第四次：S＝0．125－0．062 5＝0．062 5，m＝0．031 25，n＝4，S>0．01；
运行第五次：S＝0．031 25，m＝0．015 625，n＝5，S>0．01；
运行第六次：S＝0．015 625，m＝0．007 812 5，n＝6，S>0．01；
运行第七次：S＝0．007 812 5，m＝0．003 906 25，n＝7，S<0．01．
输出n＝7．故选C．
命题点二 抽样方法
命题指数：☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180．
命题点三 用样本估计总体
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低、中
题型：选择题、解答题
1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
解析：选A 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A．
2．(2015·重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下图，则这组数据的中位数是( )
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
A．19 B．20
C．21．5 D．23
解析：选B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为＝20．
3．(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01%)?
解：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9．其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37．
(2)＝＝40．
由方差公式知，s2＝＝．
(3)因为s2＝，所以s＝∈(3,4)，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于在区间内的人数，即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为≈63．89%．
4．(2016全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现在决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0．46，不大于19的频率为0．7，故n的最小值为19．
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90＋4 500×10)＝4 050．
比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件．
命题点四 回归分析与独立性检验
命题指数：☆☆☆
难度：高
题型：选择题、解答题
1．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
2．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46．6
563
6．8
289．8
1．6
1 469
108．8
表中wi＝，＝i．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ ．
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6．8＝100．6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100．6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100．6＋68．
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100．6＋68＝576．6，
年利润z的预报值＝576．6×0．2－49＝66．32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0．2(100．6＋68)－x＝－x＋13．6＋20．12．
所以当＝＝6．8，即x＝46．24时，取得最大值．
故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．
选修4－4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ．
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
4．常见曲线的极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为，半径为r的圆的极坐标方程
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线的极坐标方程
ρsin θ＝a(0<θ<π)
1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为．
答案：
2．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．
解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，
因为圆的半径为2, d＝2·sin＝1．
答案：1
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．
2．极角θ一般规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的．
1．在极坐标系中A，B两点间的距离为________．
解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6．
法二：A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．
∴|AB|＝＝＝6．
答案：6
2．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．
解析：将方程 ρ＝5cos θ－5sin θ两边都乘以ρ得：
ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，
化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0．
圆心的坐标为，化成极坐标为．
答案：(答案不唯一)
1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．
解：由得到①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1．
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1．
2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sin得3y＝3sin，
整理得y＝sin，故f(x)＝sin．
所以y＝f(x)的最小正周期为＝π．
伸缩变换公式应用时的2个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
(2017·邯郸调研)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：
ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0．
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的非负半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．极坐标与直角坐标互化的策略
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2．
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0．
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1．
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝．
(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0．
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11．
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝．
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±．
所以直线l的斜率为或－．
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0．
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝．
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝．
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为．
1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入x2－＝1
得－＝1，化简得－＝1，
即－＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；
(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程．
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，
得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．
所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为
ρ＝r(0≤θ＜2π)．
(2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，
即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．
法二：方程两边同时乘以ρ，
得ρ2＝8ρsin θ，
即x2＋y2－8y＝0．
3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R．
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1．
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2．
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N．
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为．
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈．
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有
解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．
6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
＝．
即ρsin＝sin＝，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝．
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于．
7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ．
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1．
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1．
8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．
解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，
在Rt△OAM中，∠OMA＝，
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4．
因为cos∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，
故ρ＝4cos为所求．
(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，
易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2．
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos．
(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，
得ρ＝2，
所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2．
第二节参数方程
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．
1．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0．
答案：x－y－1＝0
2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝________．
解析：由(φ为参数)得，＋＝1，
当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝．
答案：
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则不等价．
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．
1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
解析：由(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为____________．
解析：将直线l的参数方程
代入x2＋＝1，
得2＋＝1，
即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝．
答案：
1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解：(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α，
得圆x2＋y2＝9．
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3．
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．
解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1，
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，
则3－a＝0，∴a＝3．
3．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
解：圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为(θ为参数)．
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
(2017·泉州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ．
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0．
又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5．
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0．
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1＋t2＝3．
又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3．
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2．
①弦长l＝|t1－t2|；
②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|．
1．(2017·石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，
∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
得到t2＋2t－3＝0，
∴t1t2＝－3，
∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3．
2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1．
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，
所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝．
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为．
(2017·郑州质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1．直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ．
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，
所以t1t2＝m2－2m，
由题意得|m2－2m|＝1，
解得m＝1或m＝1＋或m＝1－．
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
(2016·东北四市联考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，
将左焦点F(－2，0)代入直线AB的参数方程，
得m＝－2．
直线AB的参数方程是(t为参数)，
代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，
所以|FA|·|FB|＝2．
(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(2cos α，2sin α)，(－2cos α，2sin α)，(2cos α，－2sin α)，(－2cos α，－2sin α)，
所以椭圆C的内接矩形的周长为8cos α＋8sin α
＝16sin，
当α＋＝，即α＝时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．
1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为，
且点M的极径等于，
故点M的极坐标为．
(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
2．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈．
(1)求C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，
则C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，
于是直线CD的斜率k＝＝．
由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，
所以，切点的直角坐标为，
即(2＋，1)．
3．(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将代入得曲线C′的参数方程为
∴曲线C′的普通方程为＋y2＝1．
(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)，且AD的中点为P，
∴
又点A在曲线C′上，
∴代入C′的普通方程＋y2＝1，
得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4．
4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ．
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和．
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π．
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4．
当α＝时，
|AB|取得最大值，最大值为4．
5．(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos．
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，
即ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，
因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
其表示以(2,2)为圆心，半径为4的圆．
(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：
t2－2sin α·t－13＝0，
所以t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－13，
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝，
因此|AB|的最小值为2，最大值为8．
6．(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0．
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3．
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos α，sin α)．
∴d＝＝
＝．
∴d的最小值为＝，d的最大值为＝．
∴≤d≤，即d的取值范围为．
7．(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcos θ，
所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．
由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－4＝0．
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝8，t1t2＝7，
所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，
因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，
所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，
当α＝0时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0)，(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，当α＝时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标系分别是(0,1)，(0，b)，
因为这两个交点重合，所以b＝1．
(2)由(1)可得，曲线C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，
＋y2＝1，当α＝时，
射线l与曲线C1的交点
A1，与曲线C2的交点B1；
当α＝－时，射线l与曲线C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，
则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为＝．
选修4－5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|
∅
∅
|x|>a
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
1．若不等式|kx－4|≤2的解集为，则实数k＝________．
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6．
∵不等式的解集为，∴k＝2．
答案：2
2．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
即函数y的最小值为8．
答案：8
3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当－1
所以不等式的解集为．
答案：
1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|
1．设a，b为满足ab<0的实数，那么( )
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：选B ∵ab<0，
∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|．
2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4．
答案：
1．不等式|2x－1|＞3的解集为________．
解析：由|2x－1|＞3得，
2x－1＜－3或2x－1＞3，即x＜－1或x＞2．
答案：{x|x＜－1或x＞2}
2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6．
解：法一：当x>时，原不等式转化为4x≤6⇒
当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒－≤x<－．
综上知，原不等式的解集为．
法二：原不等式可化为＋≤3，
其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为．
3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|．
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
解：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5．
故f(x)>1的解集为{x|1
所以|f(x)|>1的解集为．
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|．
解：(1)f(x)＝
当x≤－时，
由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1；
当－
当x≥时，
由f(x)<2得2x<2，解得x<1．
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1
证明绝对值不等式主要的3种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1．
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．
即|x＋5y|≤1．
(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a．
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|．当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2．
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3．
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即＋≥．
又min＝，
所以≥，解得a≥2．
所以a的取值范围是
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
(2)f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a．
f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a．
(2016·长春质检)设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a∈R)．
(1)若不等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，
当a＜0时，要保证f(x)≥－a恒成立，
即f(x)的最小值|a＋2|≥－a，
解得－1≤a＜0，故a≥－1．
所以实数a的取值范围为．
1．已知|2x－3|≤1的解集为．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1．
解：(1)不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3．
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1．即|x|＜|a|＋1．
2．(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a．
(1)求实数a的值；
(2)解不等式f(x)≤5．
解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，
从而解得a＝2．
(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝
故当x≤2时，令－2x＋6≤5，
得≤x≤2，
当2
3．(2016·广西质检)已知函数f(x)＝＋ax(a＞0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函数g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|．
(1)求实数a的值；
(2)求函数g(x)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝＋ax＝＋a(x－1)＋a，x＞1，a＞0，
∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5．
(2)由于g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，
∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4．
4．已知函数f(x)＝|x－a|．
(1)若f(x)≤m的解集为，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．
解：(1)∵|x－a|≤m，
∴－m＋a≤x≤m＋a．
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3．
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|．
①当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t＜2，∴x∈(－∞，0)；
②当x∈．
7．(2016·兰州诊断)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|．
(1)解不等式f(x)＞0；
(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＞0，即|2x－1|＞|x＋2|，
即4x2－4x＋1＞x2＋4x＋4，
3x2－8x－3＞0，解得x＜－或x＞3，
所以不等式f(x)＞0的解集为．
(2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝
故f(x)的最小值为f＝－．
因为∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，
所以4m－2m2＞－，
解得－＜m＜．
故实数m的取值范围为．
8．已知函数f(x)＝|3x＋2|．
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4．
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－
解得－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，x∈．
(2)由题意，＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即0
第二节不等式的证明
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．比较法
(1)比差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
(2)比商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1．
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( )
A．s≥t B．s＞t
C．s≤t D．s＜t
解析：选A ∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t．
2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B ∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，
∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．故选B．
1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．
2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．
1．已知a>0，b>0，则aabb与(ab)的大小关系为________．
解析：∵＝，
∴当a＝b时，＝1，
当a>b>0时，>1，>0，
∴>1，
当b>a>0时，0<<1，<0，
则>1，
∴aabb≥(ab)．
答案：aabb≥(ab)
2．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：把a＋b＋c＝1代入＋＋
得＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：9
1．求证：当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2．
证明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2．
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2．
2． 已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1．
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
∴＋－1＝
＝
＝
＝＝＝．
∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1．
∴≥0．
∴＋≥1．
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．
(2016·贵阳监测)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|．
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3．
解：(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)
＝－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)
＝x＋4∈
综合法证明不等式的方法
综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9．
证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＋
＝＋＋
＝2
＝2
＝2＋4
≥4 ＋4＝8
，
∴＋＋≥8．
(2)∵＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8．
∴≥9．
(2016·福建毕业班质量检测)已知函数f(x)＝|x＋1|．
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，
①当x≤－1时，
不等式可化为－x－1＜－2x－2，
解得x＜－1；
②当－1＜x＜－时，
不等式可化为x＋1＜－2x－2，
解得x＜－1，此时不等式无解；
③当x≥－时，
不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1．
综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．
(2)因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，
只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，
即证(a2－1)(b2－1)＞0．
因为a，b∈M，
所以a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．
1．用分析法证“若A则B”这个命题的模式
为了证明命题B为真，
只需证明命题B1为真，从而有…
只需证明命题B2为真，从而有…
……
只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．
2．分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy．
证明：由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2．
因为－
＝－
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
1．如果x＞0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．
解：(－1)2－(＋1)2
＝
＝－4．
因为x＞0，所以＞0，所以－4＜0，
所以(－1)2＜(＋1)2．
2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M．
(1)求集合M．
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1．
所以M＝{x|0＜x＜1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0．
故ab＋1＞a＋b．
3．(2017·重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1．
(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；
(2)求证：＋＋≥2．
证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，
所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤．
(2)因为≥，≥，≥，
所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2．
4．若a>0，b>0，且＋＝．
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，
且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4．
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4．
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6．
5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3．
解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3．
(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，
又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3．
6．(2016·海口调研)设函数f(x)＝|x－a|．
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋4n≥2＋3．
解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，
∴
或
或
解得x≤－2或x≥5，
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪，
∴解得a＝1，∴＋＝1(m＞0，n＞0)，
∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．
7．已知函数f(x)＝|x－1|．
(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f．
解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|
＝
当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；
当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；
当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2．
所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为
．
(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，
即|ab－1|＞|a－b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2
＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)
＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|．
故所证不等式成立．
8．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x2≤．
解：(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1．
所以f(x)≤1的解集为M＝．
(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得162≤4，
解得－≤x≤．
因此N＝，
故M∩N＝．
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，
于是x2f(x)＋x·2
＝xf(x)
＝x·f(x)＝x(1－x)
＝－2≤．
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