2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习八

1.已知二次函数y=ax2＋(2a＋1)x＋2(a＜0)．

(1)求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；

(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B<A在B的左侧>，与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；

(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

3.如图，直线y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；

（3）在抛物线上的对称轴上：是否存在一点M，使|MA﹣MC|的值最大；是否存在一点N，使△NCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，

直线y=经过点C，交y轴于点G．

（1)点C、D的坐标；

（2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；

（3)将（2)中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．

平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请明理由．

5.如图，已知抛物线y1=ax2（a≠0），图象经过点（4,4）.F（0，1），直线y2=-1.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P（x0，y0）在抛物线上，连接PF，过P作直线y2的垂直段，A为垂足.求证：PF=PF.

（3）如图2，已知点B（2,5），E为抛物线上一动点，连接BE、EF.当△BEF的周长最小时，求此时点E坐标及△BEF周长的最小值.

6.已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7.如图，抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.

(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.

(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；

(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.

(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2

①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；

②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.

8.如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

0.答案解析

1.解：（1）△=（2a＋1）2－8a=4a2－4a＋1=(2a－1)2，

因为a＜0，所以(2a－1)2＞0，

所以二次函数的图象与x轴有两个交点

（2）设二次函数图象与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），

依题意有x1x2=，x1＋x2=，

因为a为负整数，且和均为整数，所以a=－1，

此时二次函数解析式为y=－x2－x＋2，

令y=0，即－x2－x＋2=0，解得x1=1，x2=－2，

所以A点坐标为（－2，0），B点坐标为（1，0），

C点坐标为（0，2），D点坐标为（，）

（3）假设存在点P符合要求，如图，过点P1作P1E⊥y轴于点E，则∠ECP1=30°，

设点P（a，b），则，b=2－a，

因为点（a，b）在二次函数图象上，所以2－a=－a2－a＋2，

解得a=－1，b=－1，所以P1的坐标为（－1，－1）

若点P位于C点上方时，过点C作CG∥x轴，过P2作P2F⊥CG交CG于点F，

则∠P2CF=30°，，

设点P2（a，b），则，3b－6=－a，b=2－a，

又点P2(a，b)在抛物线上，2－a=－a2－a＋2，解得a=，b=，

此时点P2的坐标为（，）

综上，存在符合条件的点P满足条件，

此时点P的坐标为P1（－1，－1）和P2（，）．

2.解：

（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，

设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），

∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，

∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，

此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，

即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；

（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，

当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），

设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，

∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．

3.解：

（1）令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，

，解得：，∴二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点C作CE⊥PN于E，

设M（a，﹣ a+2），P（a，﹣ a2+a+2），

∴PM=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，0），

∵S四边形PCDB=S△BCD+S△CPM+S△PMB=BD•OC+PM•CE+PM•BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）=﹣（a﹣2）2+，

∴a=2时，S四边形PCDB的面积最大=，∴﹣a2+a+2=﹣×22+×2+2=3，

∴点P坐标为：（2，3），

∴当点P运动到（2，3）时，四边形PCDB的面积最大，最大值为；

（3）如图2中，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴直线AC的解析式为y=2x+2，直线AC与对称轴的交点即为点M，此时|MA﹣MC|的值最大，

∴M（，5）．∵抛物线的对称轴是x=，∴OD=，

∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD==，

∵△CDQ是以CD为腰的等腰三角形，∴CQ1=DQ2=DQ3=CD．

如图2所示，作CE⊥对称轴于E，∴EQ1=ED=2，∴DQ1=4．

∴Q1（，4），Q2（，），Q3（，﹣）．

4.解：

（1)令y=2，2=x﹣2，解得x=4，则OA=4﹣3=1，

∴C（4，2)，D（1，2)；

（2)由二次函数对称性得，顶点横坐标为=，

令x=，则y=×﹣2=，∴顶点坐标为（，)，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣)2+，把点D（1，2)代入得，a=，

∴解析式为y=（x﹣)2+；

（3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m， m﹣2)（m＞0)

∴可设解析式为y=（x﹣m)2+m﹣2，

①当FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m﹣2)，

代入解析式得： m2+m﹣2=2m﹣2，

得m=0（舍去)，m=﹣，

此时所求的解析式为：y=（x﹣+)2+3﹣；

②当GE=EF时，FG=2m，则F（0，2m﹣2)，

代入解析式得： m2+m﹣2=2m﹣2，解得m=0（舍去)，m=，

此时所求的解析式为：y=（x﹣)2﹣；

③当FG=FE时，不存在．

5.解：（1）y=0.25x2；

（2）提示：将P（x0，y0）带入y1中，从而推导出x02=4y0.

（3）过B作BC⊥y2于C点，交抛物线于E点，交直线y2于C点，即此时△BEF周长最小，

从而算出E（2，1），所以BE+EF=BC+6.BF=，

所以△BEF周长最小值为6+.

6.解：

7.解：

(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)

∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，

∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5

对称轴：直线x=3

顶点坐标(3，4)；

(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，

∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5

∴k=或k=

(3)如图1

，

设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，

解方程组，解得或

不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)

∴0＜x＜4

过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，

PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，

S△PMN=PH•xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8

∵0＜x＜4

∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)

(4)如图2

，

A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)，

①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大

②当y=kx﹣5过D点时，3k﹣5=﹣4，解得k=，

当y=kx﹣5过B点时，5k﹣5=0，解得k=1，

直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即＜k＜1，

当＜k＜1时，直线l与图象L2有四个交点.

8.解：

（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，A（﹣3，0），令x=0，代入y=x+4，

∴y=4，∴C（0，4），设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，

（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4）其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），∴OB=1，OC=4∴S△BOC=OB•OC=2，

过点M作MD⊥x轴于点D，∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四边形MAOC=AD•MD+（MD+OC）•OD=AD•MD+OD•MD+OD•OC

=+=+

=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×(﹣a)=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2=﹣2a2﹣6a+4=﹣2（a+）2+

∴当a=﹣时，S有最大值，最大值为此时，M（﹣，5）；

（3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）∴AB′=2

设直线A′C的解析式为：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得：，∴∴y=﹣x+4，令x=代入y=﹣x+4，∴y=2∴

由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=

设P（m，0）当m＜3时，此时点P在A′的左边，∴∠DA′P=∠CAB′，

当=时，△DA′P∽△CAB′，此时， =（3﹣m），解得：m=2，∴P（2，0）

当=时，△DA′P∽△B′AC，此时， =（3﹣m）m=﹣，∴P（﹣，0）

当m＞3时，此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，