（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题19 利用导数求函数的最值

这是一份（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题19 利用导数求函数的最值，文件包含专题19利用导数求函数的最值原卷版docx、专题19利用导数求函数的最值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。

专题19 利用导数求函数的最值
一、单选题
1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C
2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0 故选:B．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
由题可得，只需满足即可.
【详解】
对于任意都有，即，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，
，，，
，即的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，利用导数求最值即可.
4．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．e D．
【答案】C
【分析】
由，分，，三种情况分别讨论出函数在上的单调性，从而求出的最大值，再根据的解析式求的最小值.
【详解】

当，即时，在时，，则
此时，在上恒成立,
所以在上单调递增，则
当，即时，在时，，则
所以在上单调递增，则
当，即时，
若，则，，此时单调递增
，则，，此时单调递增
又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增
所以
综上所述可得：
由一次函数的单调性可得当时，有最小值
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到，然后由时，，当时， ，时，，再由单调性得出最大值，属于中档题.
5．函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
对于函数，.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】
利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（ ）
A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增；
B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增；
C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；
D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为.
【答案】D
【分析】
利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点．
【详解】
是增函数，∴时，，递减，时，，递增，
显然，∴，又时，，∴在上也有一个零点，因此共有两个零点．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性．
7．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．11 D．
【答案】A
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
由得，由得或；
又，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.
【详解】
解：由题意知，
故，
由可知.
∴ 建造费用，()，
则.
当时，，时，.
当时，该容器的建造费用最小.
故选：C.
【点睛】
本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.
9．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（ ）
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
直接不等式可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤
【详解】
解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正确；
由，得，令，则，解得或，
当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以②错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
10．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对函数求导分析单调性即可求出函数的最值．
【详解】
解：因为，

，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，有最小值，又，
当时，有最小值，
且．
故选：C
【点睛】
本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；

二、多选题
11．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数；
B．在上为减函数，在上为增函数；
C．在上恒成立；
D．函数的最大值为.
【答案】ACD
【分析】
依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，，，
对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；
对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；
对于C，当时，
，故C正确；
对于D，函数，
求导，
令，则；令，则，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当即，时，函数取得极大值，
又当即，时，，
所以函数取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】AD
【分析】
求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A：，，
当时，，
所以函数在内单调递增；故选项A正确
对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即 ，，，，即有且，，
可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；
对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得
对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，
，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以
，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
三、解答题
13．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）先求，再对求导，对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；
（2）对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；
【详解】
（1）由，知，，故 .
当时，，即在为减函数，
当时，在上，所以在为减函数，
在上，所以在增函数.
（2）当时，在为减函数，所以.故不存在最小值3.
当时，，在为减函数，所以
，所以，不合题意，舍去.
当时，，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增，由此，
所以.解得，
故时，使函数的最小值为2.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性和最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，讨论不等式何时和③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.
14．已知函数在x=1处取得极值-6.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）求导，根据函数在x=1处取得极值-6，由求解.
（2）由（1）知，分别求得极值和端点的函数值求解.
【详解】
（1）由得：.
由题意知： 即
解得：
经检验符合题意.
（2）由（1）知，
令得：或，
当x变化时，的变化情况如下：
x
-2
(-2, 1)
1
(1, 2)
2


-
0
+


21
单调递减
-6
单调递增
5
由表可知：
【点睛】
方法点睛：（1）导数法求函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，再列方程求解参数．
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，设点的横坐标为，的面积为.
（i）求证：；
（ii）当取得最小值时，求的值.
【答案】（1）的增区间为和；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【分析】
（1）求导，令，再利用导数法研究其正负即可.
（2）（i）设，(其中)，则的面积，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（1）得到为增函数，则最小最小最小，令，再利用导数法求解.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
，
令，则.
因为；，
所以在上为减函数，在上为增函数.
当时，，即，
当时，，即.
所以当时，，
所以在区间和上都是增函数.
因此的增区间为和，没有减区间.
（2）（i）证明：，设(其中)，
由题意，得的面积，即.
由，得，
由及，得，
所以，
故成立.
（ii）由（1），得为增函数，
于是最小最小最小.
令，则，
再令，
则，
所以当时，单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当时，，即；
当时，，即，
所以是的极小值点，也的最小值点，
所以当时，取得最小值，等价于最小，此时，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
16．已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导得，易得在上恒成立，即可得答案；
（2）由题意得：恒成立，即在恒成立.构造函数
，利用导数求出函数的最小值即可；
【详解】
（1）当时，
显然在上恒成立，
所以在单调递减，
所以；
（2）因为，
所以恒成立，即在恒成立.
令；
则
当时，，所以
当时，令，因为，所以在
单调递减，所以，所以时，
综上，当时，恒成立，所以在单调递减，
所以，所以.
【点睛】
根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解.
17．已知函数，.
（1）当时，求在上的最大值和最小值；
（2）若在上单调，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.
【分析】
（1）代入，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；
（2）先利用极限思想进行估值时，来确定在上单增，，再对分离参数，研究值得分布即得结果.
【详解】
（1）
当时，
∴在和上为正，在和上为负，
∴在和上单增，在和上单减，
有，，，
故在上的最大值为，最小值为；
（2）由知，当时，，
若在上单调则只能是单增，
∴在恒成立，即
∴，令，，则，
∴在递减，，∴.
【点睛】
（1）利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
（2）函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立.
（3）解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
18．已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补．
（Ⅰ）求k的值．
（Ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）设，利用斜率公式得到直线、、的斜率，根据直线、的倾斜角互补．得到，根据三角形的重心的坐标公式可得，从而可得；
（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.
【详解】
（Ⅰ）设，
则，同理可得，
因为直线、的倾斜角互补，所以，
即，
又重心的纵坐标为，根据三角形的重心的坐标公式可得，
所以，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线，与抛物线方程联立，并整理得，
其判别式，所以．
而，
因此，，
又由（Ⅰ）知，，所以，所以，
到直线的距离为，
所以
令，
则恒成立，
故在上单调递减，所以，
故.
【点睛】
结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为，则三角形的重心的坐标为，
②弦长公式：，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入万元之间满足：（a，b为常数），当万元时，万元；当万元时，万元.（参考数据：）
（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润万元与投入万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）
（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）
（1）；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【分析】
（1）利用待定系数法求出，即可得答案；
（2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】
（1）由已知得：，化简得：，
，则该景点改造升级后旅游增加利润为：
；
（2）由（1）得：
则，令得，
当时，单调递增；当单调递减；
时，取得最大值，且，
当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【点睛】
待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值.
20．已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；
（2）若函数的最大值为，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）求出导函数，得切线斜率，得切线方程，与已知直线方程比较可得值，从而得；
（2）求出导函数，由和正负确定单调区间，得最大值，由最大值为5可求得值；
（3）不等式变形为即，令，即证．然后分类讨论，，和，分别证明即可得．
【详解】
（1）因为，所以，则，
点的坐标为，故切线方程为，
即，由于它与直线重合，所以，
解得，故．
（2）因为，所以，
由，解得，由，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，而，
所以，解得
（3）因为，即
即，令，即有．
①当时，，所以不合题意；
②当时，，
当时，，递减，当时，，递增．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；
③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求最值，不等式恒成立问题，解题时要掌握用导数确定函数的单调性的方法，由此才能确定函数的极值、最值，对不等式问题常常需要变形不等式，然后转化，可能分离参数转化为求函数的最值，也可以分类讨论，利用不等式的性质转化．简化原不等式，得到问题的解决．
21．已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由在上有解可得的取值范围．
（2）求出，由在两个零点确定在上最小值是或，比较它们的大小得最小值，可得的零点．
【详解】
解：（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，
又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，
而的最大值为，∴，
解得：.
（2），
∴，
由得：，，
则在，上单调递减，在上单调递增，
又∵当时，，，
∴在上的最大值点为，最小值为或，
而，
当，即时，，得，
此时，的零点为；
当，即时，，得（舍）.
综上的零点为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数与单调性关系，用导数求函数的最值，及零点的概念．求出导函数，解不等式（或）确定函数的增区间（或减区间）是求单调性的基本方法．求函数在闭区间上的最值，一般由单调性确定极值，同时考虑区间两个端点处的函数值的大小才能得出最值．
22．已知函数，，，且.
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）设，为的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）调递增区间是，；单调递减区间是，；（3）.
【分析】
（1）先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数，，
（2）由（1）可得，再求出函数的导函数，利用令和求解函数的单调区间；
（3）将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．
【详解】
解：（1）函数的定义域为.
，由题知
即解得，，
所以函数.
（2）
令得或，
令得或.
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是，
（3），
，
由条件存在，使成立，得，对成立，
又
对成立，
化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，
求导得，
令，为二次函数，图象开口向上，△，则，又，
则，在区间上单调递增，值域为，
所以的取值范围是．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
23．已知函数在时有极值0．
（1）求常数，的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1），；（2）最小值为0，最大值为4．
【分析】
（1）已知函数在处有极值0，即，，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得、的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【详解】
（1），
由题知：，
联立（1）、（2）有或．
当时在定义域上单调递增，故舍去；
所以，，经检验，符合题意．
（2）当，时，，
故方程有根或，
由得，
由得，
函数的单调增区间为：，，减区间为：．
函数在取得极大值，在取得极小值；
经计算，，，，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【点睛】
关键点睛：解题的关键是求出后，求出，然后，利用导数求出函数的单调性、最值问题，属于基础题．
24．已知，函数．（为自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）.
【分析】
（1）由题得，再利用导数求函数的单调区间得解；
（2）证明，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．
【详解】
（1）由题得，
令或，
因为，所以，
所以不等式组的解为或，
所以函数的单调增区间为；
令或，
解之得，
所以函数的单调减区间为；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）令，，，
所以在，上是减函数，（1），
．
即
所以，随的变化情况如下表：

，

，


0



极小值

，






，，．
对任意的，，的图象恒在下方，
所以，
所以，即，
所以函数在，上的最大值．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键点有两个，其一：是构造函数利用导数比较的大小；其二：是比较的大小，确定函数的最大值.
25．已知函数，其中…是自然对数的底数.
（1）已知，若，求x的取值范围；
（2）若，存在最小值，且最小值为k，
（i）若，求b的值；
（ii）证明：.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析．
【分析】
（1）变形不等式得，然后证明恒成立，从而可得的范围；
（2）（i）利用，令可得，下面在的情况下求函数的最小值，利用导数的导数确定中＝有唯一零点，也是的最小值点，得，右边先作为的函数，求出最小值是，又作为的函数，再用导数求其最小值为5，这样由同时取最小值，因此可得值；
（ii）先确定只有才有最小值，然后证不等式恒成立即可．引入新函数，证明恒成立，即得原结论成立．
【详解】
（1）由题意，，，则，
∴，
设，，
时，，递减，时，，递增，
∴，∴恒成立，
∴，∴．
（2）（i）由题意，，
取，则，∵，∴，
又，
令，则，∴单调递增，
即单调递增，∵存在最小值，∴存在唯一零点，时，，时，，
在上递减，在上递增，
∴，
设，，∴是增函数，
∴，
设，则，
令，则，
∴单调递增，即单调递增，又，
∴时，，递减，时，，递增，
∴，
∴上述最小值需同时取到，∴．
（ii）若，则时，，无最小值，舍去；
∴，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
∴，，即，又，
∴．
【点睛】
本题考查解函数不等式，函数的最值问题，用导数证明不等式，解题的基本思想是求导数，由导数的正负确定函数的增减，得函数的最小值．在确定导函数正负时需要对导函数再一次求导，通过多次求导才能最终确定函数的最值．对多元函数问题需要简化思路，一次只对其中一个变量研究其最值，在解决了一个变量后再研究第二个变量，最终达到目的，本题难度较大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力，转化与化归思想的掌握要求较高．
26．已知函数的极值为.
（1）求的值并求函数在处的切线方程；
（2）已知函数，存在，使得成立，求得最大值.
【答案】（1），切线方程为：；（2）最大值为.
【分析】
（1）利用切线方程的公式求解即可
（2）将问题转化为，经过放缩得，
转化成，再利用导数判断的最值情况，进而可求得最终答案
【详解】
解：（1）定义域为R
因为
若则在R上单调递增，无极值，不合题意，舍去
若则令得
所以解得
经检验，符合题意.
因为切线斜率
又因为所以切点为
所以切线方程为：
即切线方程为：
（2）因为存在，使得成立
则
即
即
即
即(*)
由（1）得
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
因为所以，所以
即且
所以存在使得
所以存在使得
即
令所以
因为得
所以在区间上单调递增，在区间单调递减
所以的最大值为
所以又因为，所以
所以m的最大值为
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于放缩得，把问题转化为，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题
27．已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．
（1）求b的值；
（2）求函数的最值；
【答案】（1）1；（2）当时，没有最值；当时，的最大值为，无最小值．
【分析】
（1）对求导，又，进而求出b的值．
（2）对进行讨论，利用导函数求函数的单调性，进一步求出最值.
【详解】
（1）由题意，得，
又，．
（2）．
当时，，在R上单调递减，没有最值；
当时，令，得，
令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在处取得唯一的极大值，即为最大值，
且．
综上所述，当时，没有最值；
当时，的最大值为，无最小值．
【点睛】
本题考查的是导函数的知识点，涉及到利用导函数求函数的最值，以及分类讨论的思想，属于常见的题型.
28．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.
【分析】
（1）直接解不等式可得不等式的解集；
（2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．
【详解】
（1）因为，
由，得.
所以或.
所以不等式的解集为或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
与在区间[0，2]上的情况如下：
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2


－
0
+


0
减

增

所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
29．如图，某校园有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.

（1）当时，求改建后的绿化区域边界与线段长度之和；
（2）若改建后绿化区域的面积为，写出关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值.
【答案】（1）；（2），；.
【分析】
（1）利用弧长公式和余弦定理可算出答案；
（2）利用扇形和三角形的面积公式可得，然后利用导数求出其单调性即可.
【详解】
（1）弧.
（2）
，.
由，得，，单调递增，
得，，单调递减.
所以当时，取得最大值.
30．已知函数(其中)，为的导数.
（1）求导数的最小值；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先求导数，再构造，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．
（2）令，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．
【详解】
（1），令，
当时，则.
故时，，为增函数，故，
即导数的最小值为1.
（2）令，，
当时，若，则由（1）可知，，
所以为增函数，故恒成立，即．
当时，由（1）可知在上为增函数，且，，
故存在唯一，使得．
则当时，，为减函数，所以，此时与恒成立矛盾．
综上所述，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数,通过求进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．