高考真题汇编——理科数学（解析版）3：导数

高考真题分类汇编：导数

一、选择题

1.【高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

（A）函数有极大值和极小值         

（B）函数有极大值和极小值      

（C）函数有极大值和极小值            

（D）函数有极大值和极小值

【答案】D

【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.

2.【高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）

【答案】B

【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称

        函数上的点到直线的距离为

       设函数

       由图象关于对称得：最小值为,

3.【高考真题陕西理7】设函数，则（     ）

A. 为的极大值点        B.为的极小值点

C. 为的极大值点       D. 为的极小值点[学

【答案】D.

【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.

4.【高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是

(A)                        (B)        

(C)                      (D)

【答案】C

【解析】设，则

所以所以当时，

同理即，故选C

【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．              B．           

C．              D．

【答案】B

 【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.

6.【高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

【答案】A

【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.

二、填空题

7.【高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。

【答案】

【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，

曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。

8.【高考真题江西理11】计算定积分___________。

【答案】

【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。

【解析】。

9.【高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.

【答案】

【解析】由已知得，所以，所以。

10.【高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为        ．

【答案】

【解析】，当时，，此时，故切线方程为，即。

11.【高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为            。

【答案】

【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。

12.【高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为           .

【答案】2．

【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示的

平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.

三、解答题

13.【高考真题广东理21】（本小题满分14分）

设a＜1，集合，，。

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.

14.【高考真题安徽理19】（本小题满分13分）

设。

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

【解析】（I）设；则，

①当时，在上是增函数，

得：当时，的最小值为。

②当时，，

当且仅当时，的最小值为。

（II），

由题意得：。

15.【高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

16.【高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

【答案】

17.【高考真题北京理18】（本小题共13分）

【答案】解：（）由为公共切点可得：

，则，，

，则，，

①

又，，

，即，代入①式可得：．

（2），设

则，令，解得：，；

，，

原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增

①若，即时，最大值为；

②若，即时，最大值为

③若时，即时，最大值为．

综上所述：

当时，最大值为；当时，最大值为．

18.【高考真题新课标理21】（本小题满分12分）

已知函数满足满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）

       令得：

       得：

       在上单调递增

       得：的解析式为

           且单调递增区间为，单调递减区间为

  （2）得

      ①当时，在上单调递增

       时，与矛盾

      ②当时，

        得：当时，

        令；则

        当时，

        当时，的最大值为

19.【高考真题天津理20】本小题满分14分）

已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【答案】

20.【高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

【答案】解：（1）由，得。

                ∵1和是函数的两个极值点，

                ∴ ，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵当时，；当时，，

                ∴是的极值点。

                ∵当或时，，∴ 不是的极值点。

                ∴的极值点是－2。

（3）令，则。

 先讨论关于 的方程 根的情况：

当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时， ，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵， ，的图象不间断，

∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当 时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

       （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。

21.【高考真题辽宁理21】本小题满分12分)

设，曲线与

直线在(0，0)点相切。

   (Ⅰ)求的值。

   (Ⅱ)证明：当时，。

【答案】

【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域，根据条件曲线与直线在(0，0)点相切，求出的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。

22.【高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.

（Ⅰ） 求的值；

（Ⅱ）求函数的极值.

 【答案】

23.【高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。

【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，

(Ⅰ)(ⅰ)．

当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，

∴令．

当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b为纵轴，a为横轴．

则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．

作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．

∴所求a＋b的取值范围为：．

24.【高考真题山东理22】(本小题满分13分)

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.

【答案】解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；

（Ⅱ），令可得，

当时，；当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数。

简证（Ⅲ），

当时， ，.

当时，要证。

只需证，然后构造函数即可证明。

25.【高考真题湖南理22】（本小题满分13分）

已知函数=，其中a≠0.

（1）       若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，

故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .

综上所述，存在使成立.且的取值范围为

.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.