专题05 利用导数证明函数不等式（二）-2020高考数学尖子生辅导专题

专题五  利用导数证明函数不等式（二）

本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．

模块1  整理方法  提升能力

对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种：

方法1：利用换元法，化归为一个未知数

方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数

方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明

方法4：利用主元法，构造函数证明

对数平均值不等式链

我们将两个正数和的对数平均值定义为：，对数平均值不等式链为：．

对数平均值不等式链的指数形式为：，其中．

例1

【解析】（1）定义域为，．

①若，则，在上递减．

②若，即时，，在上递减．

③若，即时，由，可得，由，可得或，所以在，上递减，在上递增．

综上所述，当时，在上递减；当时，在，上递减，在上递增．

【证明】（2）法1：由（1）知，存在两个极值点，则．因为，是的两个极值点，所以，满足，所以，，不妨设．

，于是

．构造函数，，由（1）知，在上递减，所以，不等式获证．

法2：由（1）知，存在两个极值点，则．因为，是的两个极值点，所以，满足，不妨设，则，．

，于是

．

    设，则，构造函数，，则，所以在上递增，于是，命题获证．

法3：仿照法1，可得，因为，所以，令，构造函数，由（1）知，在上递减，所以，不等式获证．

【点评】、和之间的关系为，，我们可以利用其关系式对不等式进行消元，化归为只含有一个未知数的不等式．法1消去和留下，法2消去和留下，由于所证的不等式等价于，该不等式不含，因此法1比法2简单．

由等价的不等式，容易联想到对数平均值不等式，将不等式进一步改造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式．

例2

【解析】（1）与的公共点的个数等价于与的公共点的个数．令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以在上的最小值为．当时，，当时，．

当时，与没有公共点，即与没有公共点；当时，与有一个公共点，即与有一个公共点；当时，与有两个公共点，即与有两个公共点．

（2）结论：，证明如下．

法1：

．令，则，即证．构造函数，则，所以在上递增，于是．命题获证．

法2：

．令，则，即证，该不等式等价于．

构造函数，则，令，则，于是在上递增，所以，即，所以在上递增，于是．命题获证．

法3：．令，，则，且不等式，令，，则不等式，这是与有关的常用不等式，命题获证．

【点评】第（2）小问的不等式含有两个未知数、，其解题思路主要是利用换元法将两个未知数、化归为一个未知数，常见的换元手法有，，，．所证不等式为，这是对数平均值不等式的指数形式，法3通过换元将其转化为对数平均值不等式再进行证明．

例3

【解析】（1）的定义域为．．

当时，，所以在上递增；当时，，所以在上递减；当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．

（2）不妨设，因为，所以由（1）可知在上递减，于是，于是对任意，等价于对任意，．

法1：（分离未知数后构造函数）．

构造函数，则只需证明在上是减函数．

，要使在上是减函数，则在上恒成立，所以．令，则，由可得，由可得．所以在上递减，在上递增，所以当时，有最小值，于是的取值范围是．

法2：（主元法）由可得，以为主元构造函数（），则

．令，则是开口方向向下，对称轴为的抛物线，其．

①若，则，此时，即，所以在上递减，于是，即．

②若，则，此时有两个根，不妨设为、，且．由可得，由可得或．因为是任意的，不妨设，于是在上递减，在上递增，于是在上，有，即不成立．

综上所述，的取值范围是．

【点评】得到二元不等式后，有三种方法解决，一是分离未知数后构造函数，进而利用函数的单调性进行证明，二是利用换元法，把二元化归为一元，三是把其中一个元看成主元，进而再求导，法1是分离未知数后构造函数法，法2是主元法．

例4

【解析】（1）法1：，于是有两个零点等价于与有两个交点．因为，由可得，由可得，于是在上递增，在上递减．当时，；当时，；当时，；当时，．于是当时，与有两个交点，所以的取值范围是．

法2：．

①当时，，只有个零点．

②当时，，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．，，当时，，，所以，所以有两个零点．

③当时，由可得或．

（i）当时，，由可得或，由可得，所以在、上递增，在上递减．因为，所以没有两个零点．

（ii）当时，，所以恒成立，即在上递增，所以没有两个零点．

（iii）当时，，由可得或，由可得，所以在、上递增，在上递减．当时，，所以没有两个零点．

综上所述，的取值范围是．

【证明】（2）法1：（极值点偏移）构造函数

（），令，则，因为，所以，，，所以，于是在上递增，于是，于是，即．

不妨设，由（1）可知，，于是，而，所以．因为，且在上递减，所以，即．

法2：（极值点偏移）构造函数（），则，因为，所以，，，所以，于是在上递增，于是，于是．

不妨设，由（1）可知，，于是，而，所以．因为，且在上递增，所以，即．

【点评】对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为、，即，且，很多极值函数由于极值点左右的“增减速度”不同，函数图象不具有对称性，常常有极值点的情况，出现了“极值点偏移”．对于极值点偏移问题，解题可沿循着如下处理策略：

①构造一元差函数；

②对差函数求导，判断函数符号，确定的单调性；

③结合，判断的符号，从而确定、的大小关系；

④由（或），结合的单调性得到（或），从而（或）．

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明：．

【解析】（1）因为，所以，所以，即，所以．

（2）由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．

当时，有，猜想的最大值为，下面进行证明．

，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，命题获证，整数的最大值是．

【证明】（3）

．

法1：（分离未知数后构造函数）

．

构造函数，，则，令，则，因为，所以在上恒成立，即在上递增，而，于是在上恒成立，所以在上递增．而，所以，不等式获证．

法2：（主元法）以为主元构造函数，则．因为，所以，所以函数在上递增．因为，所以，所以

，即，不等式获证．

练习2：已知函数，．

（1）求函数的最大值；

（2）设，证明：．

【解析】（1）函数的定义域为．，由可得，由可得，于是在上递增，在上递减，于是当时，有最大值，且最大值为．

【证明】（2）以为主元构造函数．

设，其中，则．因为，所以，因此在上为增函数．而，所以，即．

设，其中，则．当时，，因此在上为减函数，而，所以，即．

综上所述，．

练习3：设，函数有两个零点、，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

【解析】（1），所以有两个零点与有两个交点．，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．又因为当时，；当时，；，所以实数的取值范围为．

【证明】（2）法1：（化二元为一元）依题意，有，，于是，，所以．

，令，则上式等价于，这是与有关的常用不等式，证明如下：构造，，则，于是在上递增，于是，命题获证．

法2：（化二元为一元）依题意，有，即，设，则，于是，因此

，下同法1．

法3：（极值点偏移），令，，则、是函数的两个零点，且，该问题不是极值点偏移问题，因为的极值点不是，需要把改为，问题才转化为极值点偏移问题．

，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，于是．

构造函数（），则，于是在上递增，于是，即，于是，而，所以．因为，，且在上递减，所以，即，命题获证．