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数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程同步达标检测题
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这是一份数学九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程同步达标检测题，共9页。
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是_____
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_______
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是_________
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
9、如图，抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
12、已知二次函数y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为( )
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（ ）
A.B.C.或D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
18、如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2) C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
5.4二次函数与一元二次方程 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是__-3和___
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，
∴△＝82﹣4×2×m＝0，∴m＝8． 故答案为8．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
解析：解答：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，∴b2-4ac=42-4×2×m=0； ∴m=2．
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__且_____
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是___有两个相等的实数根___________．
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
【答案】x1＝－2，x2＝1 [解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），
∵抛物线经过点（﹣3，0），∴＝﹣1，解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
解析：解答：把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+m中，得m=3，
所以，原方程为y=x2-4x+3，
令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
9、如图，抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
解析：解答：∵抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2= -m＞0， ∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2，∴x1=2-x2，∴x= -x1＜0，∴y＜0．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
【答案】②③④ [解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．
∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．
将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．
12、已知二次函数y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A [解析] ∵抛物线y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1与x轴有交点，
∴b2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(eq \f(1,4)m－1)≥0，解得m≤5.
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为( A )
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（ A ）
A.B.C.或D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( B )
A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.
当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，
当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，
∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，
t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故选：D．
18、如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2) C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
【答案】C 【解析】 如图．∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点， ∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，
∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
解：(1)证明：∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，
它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个交点，
所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点．
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
解：（1）∵ 的图象与的图象交于、两点，
∴ 解方程组，解得，
故点的坐标为，点的坐标为．
（2）作垂直与轴与点，垂直与轴与点
将代入，得，
∴ 点的坐标为
又∵ 点的坐标为，点的坐标为
∴ ，，
∴
故的值为．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋1＝－2，,4a－2b＋1＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝6，))
所以该抛物线的表达式为y＝3x2＋6x＋1.
(2)联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x2＋6x＋1，,y＝x＋1，))消去y，得3x2＋6x＋1＝x＋1，即3x2＋5x＝0.
因为52－4×3×0＝25>0，所以抛物线y＝3x2＋6x＋1与直线y＝x＋1有两个交点．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
解：(1)①将P(1，－4)代入y＝(x－h)2－4，得(1－h)2－4＝－4，解得h＝1，
∴抛物线l的解析式为y＝(x－1)2－4，
∴抛物线l的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
②存在．
将x＝0代入y＝(x－1)2－4，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.
∵S△ABD＝S△ABC，∴点D的纵坐标为3或－3.
当y＝－3时，(x－1)2－4＝－3，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(2，－3)．
当y＝3时，(x－1)2－4＝3， 解得x1＝1＋eq \r(7)，x2＝1－eq \r(7)，
∴点D的坐标为(1＋eq \r(7)，3)或(1－eq \r(7)，3)．
综上所述，在抛物线l上存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，
点D的坐标为(2，－3)或(1＋eq \r(7)，3)或(1－eq \r(7)，3)．
③如图(a)所示：∵∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°，∴四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF.
依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．
把y＝0代入抛物线的解析式，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，
∴OB＝OC. 又∵OD⊥BC，∴CD＝BD. ∴点D的坐标为(eq \f(3,2)，－eq \f(3,2))．
将y＝－eq \f(3,2)代入y＝(x－1)2－4，得(x－1)2－4＝－eq \f(3,2)， 解得x1＝－eq \f(\r(10),2)＋1，x2＝eq \f(\r(10),2)＋1，
∴点M的坐标为(－eq \f(\r(10),2)＋1，－eq \f(3,2))或(eq \f(\r(10),2)＋1，－eq \f(3,2))．
(2)∵y＝(x－h)2－4，∴抛物线的顶点在直线y＝－4上．
对于直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)，当3≤x0≤5时，－3≤y0≤－eq \f(9,5)，
即抛物线l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)在G(3，－3)，H(5，－eq \f(9,5))之间的一段有一个交点．
当抛物线经过点G时，(3－h)2－4＝－3，解得h＝2或h＝4.
当抛物线经过点H时，(5－h)2－4＝－eq \f(9,5)，解得h＝5＋eq \f(\r(55),5)或h＝5－eq \f(\r(55),5).
随h的逐渐增加，l的位置随之向右平移，如图(b)所示．
由函数图象可知：当2≤h≤5－eq \f(\r(55),5)或4≤h≤5＋eq \f(\r(55),5)时，抛物线l与直线在3≤x0≤5段有一个交点．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是_____
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_______
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是_________
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
9、如图，抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
12、已知二次函数y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为( )
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（ ）
A.B.C.或D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
18、如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2) C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
5.4二次函数与一元二次方程 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是__-3和___
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝ ．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，
∴△＝82﹣4×2×m＝0，∴m＝8． 故答案为8．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
解析：解答：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，∴b2-4ac=42-4×2×m=0； ∴m=2．
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__且_____
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是___有两个相等的实数根___________．
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
【答案】x1＝－2，x2＝1 [解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），
∵抛物线经过点（﹣3，0），∴＝﹣1，解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
解析：解答：把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+m中，得m=3，
所以，原方程为y=x2-4x+3，
令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
9、如图，抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
解析：解答：∵抛物线y= -x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2= -m＞0， ∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2，∴x1=2-x2，∴x= -x1＜0，∴y＜0．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
【答案】②③④ [解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．
∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．
将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．
12、已知二次函数y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A [解析] ∵抛物线y＝x2－x＋eq \f(1,4)m－1与x轴有交点，
∴b2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(eq \f(1,4)m－1)≥0，解得m≤5.
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为( A )
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（ A ）
A.B.C.或D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( B )
A．m≤－2 B．m≥－2C．m≥0 D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1
【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.
当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，
当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，
∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，
t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故选：D．
18、如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(5,2) B．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(1,2) C．－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2) D．－eq \f(45,8)＜m＜－eq \f(1,2)
【答案】C 【解析】 如图．∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(45,2)与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)(x－3)2－2.
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m过点B时，有2个交点， ∴0＝eq \f(5,2)＋m，解得m＝－eq \f(5,2)；
当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令eq \f(1,2)x＋m＝eq \f(1,2)(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝ 0，
∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－eq \f(29,8)，此时直线的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(29,8)，它与x轴的交点为(eq \f(29,4)，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝eq \f(1,2)x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－eq \f(29,8)＜m＜－eq \f(5,2).
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
解：(1)证明：∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，
它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个交点，
所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点．
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
解：（1）∵ 的图象与的图象交于、两点，
∴ 解方程组，解得，
故点的坐标为，点的坐标为．
（2）作垂直与轴与点，垂直与轴与点
将代入，得，
∴ 点的坐标为
又∵ 点的坐标为，点的坐标为
∴ ，，
∴
故的值为．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋1＝－2，,4a－2b＋1＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝6，))
所以该抛物线的表达式为y＝3x2＋6x＋1.
(2)联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x2＋6x＋1，,y＝x＋1，))消去y，得3x2＋6x＋1＝x＋1，即3x2＋5x＝0.
因为52－4×3×0＝25>0，所以抛物线y＝3x2＋6x＋1与直线y＝x＋1有两个交点．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
解：(1)①将P(1，－4)代入y＝(x－h)2－4，得(1－h)2－4＝－4，解得h＝1，
∴抛物线l的解析式为y＝(x－1)2－4，
∴抛物线l的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
②存在．
将x＝0代入y＝(x－1)2－4，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.
∵S△ABD＝S△ABC，∴点D的纵坐标为3或－3.
当y＝－3时，(x－1)2－4＝－3，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(2，－3)．
当y＝3时，(x－1)2－4＝3， 解得x1＝1＋eq \r(7)，x2＝1－eq \r(7)，
∴点D的坐标为(1＋eq \r(7)，3)或(1－eq \r(7)，3)．
综上所述，在抛物线l上存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，
点D的坐标为(2，－3)或(1＋eq \r(7)，3)或(1－eq \r(7)，3)．
③如图(a)所示：∵∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°，∴四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF.
依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．
把y＝0代入抛物线的解析式，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，
∴OB＝OC. 又∵OD⊥BC，∴CD＝BD. ∴点D的坐标为(eq \f(3,2)，－eq \f(3,2))．
将y＝－eq \f(3,2)代入y＝(x－1)2－4，得(x－1)2－4＝－eq \f(3,2)， 解得x1＝－eq \f(\r(10),2)＋1，x2＝eq \f(\r(10),2)＋1，
∴点M的坐标为(－eq \f(\r(10),2)＋1，－eq \f(3,2))或(eq \f(\r(10),2)＋1，－eq \f(3,2))．
(2)∵y＝(x－h)2－4，∴抛物线的顶点在直线y＝－4上．
对于直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)，当3≤x0≤5时，－3≤y0≤－eq \f(9,5)，
即抛物线l与直线y＝eq \f(3,5)x－eq \f(24,5)在G(3，－3)，H(5，－eq \f(9,5))之间的一段有一个交点．
当抛物线经过点G时，(3－h)2－4＝－3，解得h＝2或h＝4.
当抛物线经过点H时，(5－h)2－4＝－eq \f(9,5)，解得h＝5＋eq \f(\r(55),5)或h＝5－eq \f(\r(55),5).
随h的逐渐增加，l的位置随之向右平移，如图(b)所示．
由函数图象可知：当2≤h≤5－eq \f(\r(55),5)或4≤h≤5＋eq \f(\r(55),5)时，抛物线l与直线在3≤x0≤5段有一个交点．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
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