2021年中考复习江苏省各地市2020年中考真题《圆》专题复习
展开(1)求证:;
(2)求的周长.
2.(2020年江苏南京)如图,在中,,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作,交⊙O于点F,求证:
(1)四边形DBCF是平行四边形
(2)
3.(2020年江苏苏州)如图,已知,是的平分线,是射线上一点,.动点从点出发,以的速度沿水平向左作匀速运动,与此同时,动点从点出发,也以的速度沿竖直向上作匀速运动.连接,交于点.经过、、三点作圆,交于点,连接、.设运动时间为,其中.
(1)求的值;
(2)是否存在实数,使得线段的长度最大?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(3)求四边形的面积.
4.(2020年江苏淮安)如图,是圆的弦,是圆外一点,,交于点,交圆于点,且.
(1)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
5.(2020年江苏盐城)如图,是的外接圆,是的直径,.
(1)求证:是的切线;
(2)若,垂足为交于点F;求证:是等腰三角形.
6.(2020年江苏宿迁)如图,在△ABC中,D是边BC上一点,以BD为直径的⊙O经过点A,且∠CAD=∠ABC.
(1)请判断直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;
(2)若CD=2,CA=4,求弦AB的长.
7.(2020年江苏镇江)如图,▱ABCD中,∠ABC的平分线BO交边AD于点O,OD=4,以点O为圆心,OD长为半径作⊙O,分别交边DA、DC于点M、N.点E在边BC上,OE交⊙O于点G,G为的中点.
(1)求证:四边形ABEO为菱形;
(2)已知cs∠ABC=,连接AE,当AE与⊙O相切时,求AB的长.
8.(2020年江苏泰州)如图,在中,点为的中点,弦、互相垂直,垂足为,分别与、相交于点、,连接、.
(1)求证:为的中点.
(2)若的半径为,的度数为,求线段的长.
9.(2020年江苏连云港)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈,筒车与水面分别交于点、,筒车的轴心距离水面的高度长为,简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间,盛水筒首次到达最高点?
(2)浮出水面3.4秒后,盛水筒距离水面多高?
(3)若接水槽所在直线是的切线,且与直线交于点,.求盛水筒从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线上.(参考数据:,,)
10.(2020年江苏扬州)如图,内接于,,点E在直径CD的延长线上,且.
(1)试判断AE与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求阴影部分的面积.
11.(2020年江苏南通)(1)如图①,点D在AB上,点E在AC上,AD=AE,∠B=∠C.求证:AB=AC.
(2)如图②,A为⊙O上一点,按以下步骤作图:
①连接OA;
②以点A为圆心,AO长为半径作弧,交⊙O于点B;
③在射线OB上截取BC=OA;
④连接AC.
若AC=3,求⊙O的半径.
12.(2020年江苏常州)如图1,⊙I与直线a相离,过圆心I作直线a的垂线,垂足为H,且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”,把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.
(1)如图2,在平面直角坐标系中,点E的坐标为,半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.
①过点E画垂直于y轴的直线m,则⊙O关于直线m的“远点”是点_________(填“A”、“B”、“C”或“D”),⊙O关于直线m的“特征数”为_________;
②若直线n的函数表达式为,求关于直线n的“特征数”;
在平面直角坐标系中,直线l经过点,点F是坐标平面内一点,以F为圆心,为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离,点是⊙F关于直线l的“远点”,且⊙F关于直线l的“特征数”是,求直线l的函数表达式.
参考答案
1.(1)见解析;(2)的周长为
【分析】
(1)由切线的性质可得,由外角的性质可得,由等腰三角形的性质,可得,可得结论;
(2)由直角三角形的性质可得,,即可求解.
【详解】
证明:(1)是的切线,
,
,
,
,
,
,
;
(2),,,
,,
,,
,
,
的周长.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,切线的性质,直角三角形的性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.
2.(1)证明见解析;(2)证明见解析
【分析】
(1)利用等腰三角形的性质证明,利用平行线证明,利用圆的性质证明,再证明即可得到结论;
(2)如图,连接,利用平行线的性质及圆的基本性质,再利用圆内接四边形的性质证明,从而可得结论.
【详解】
证明:(1),
,
,
,
又,
四边形是平行四边形.
(2)如图,连接
,
四边形是的内接四边形
【点睛】
本题考查平行四边形的判定,圆的基本性质,平行线的性质与判定,等腰三角形的性质,圆内接四边形的性质,掌握以上知识是解题的关键.
3.(1)8cm;(2)存在,当t=4时,线段OB的长度最大,最大为;(3)
【分析】
(1)根据题意可得,,由此可求得的值;
(2)过作,垂足为,则,设线段的长为,可得,,,根据可得,进而可得,由此可得,由此可得,则可得到答案;
(3)先证明是等腰直角三角形,由此可得,再利用勾股定理可得,最后根据四边形的面积即可求得答案.
【详解】
解:(1)由题可得:,.
∴.
(2)当时,线段的长度最大.
如图,过作,垂足为,则.
∵平分,
∴,
∴,.
设线段的长为,
则,,.
∵,
∴,
∴,
∴,
解得:.
∴.
∴当时,线段的长度最大,最大为.
(3)∵,
∴是圆的直径.
∴.
∵,
∴是等腰直角三角形.
∴
.
在中,.
∴四边形的面积
.
∴四边形的面积为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质,直径的判定及性质,二次函数的最值问题等相关知识,熟练掌握相关知识是解决本题的关键.
4.(1)直线BC与圆O相切,理由见解析;(2)
【分析】
(1)连接OB,由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA,∠CPB=∠CBP,再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º,即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切;
(2)易证得△CPD为等边三角形,则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长,然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积,相加即可解得阴影面积.
【详解】
(1)直线BC与圆O相切,理由为:
连接OB,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO,
∵OA⊥OC,
∴∠A+∠APO=90º,
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º,
∴OB⊥BC,
∴直线BC与圆O相切;
(2)∵OA⊥OC,∠A=30º,OP=1
∴OA=,∠APO=60º即∠CPB=60º,
∵CP=CB,
∴△PCB为等边三角形,
∴∠PCB=60º,
∵∠OBC=90º,
∴∠BOD=30º,
∴BC=OB·tan30º=1,
∴==,
答:图中阴影部分的面积为.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识,解答的关键是认真审题,结合图形,找到各知识点之间的联系,进而推理、探究、发现和计算.
5.(1)见解析;(2)见解析
【分析】
(1)连接OC,由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°,进一步得到∠A+∠B=90°,再根据已知条件,且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解;
(2)证明,再由DE⊥AB,得到∠A+∠AFE=90°,进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC,得到DC=DF,进而得到△DFC为等腰三角形.
【详解】
解:(1)证明:连接,
为圆的直径,
又
又点在圆上,
是的切线.
(2)
又
是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定定理,圆周角定理,等腰三角形的性质和判定等,熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键.
6.(1)见解析;(2)
【分析】
(1)如图,连接OA,由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD,由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC,可得∠OAC=90°,可得结论;
(2)由勾股定理可求OA=OD=3,由面积法可求AE的长,由勾股定理可求AB的长.
【详解】
(1)直线AC是⊙O的切线,
理由如下:如图,连接OA,
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠ABC,
又∵∠CAD=∠ABC,
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC,
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC,
∴AC⊥OA,
又∵OA是半径,
∴直线AC是⊙O的切线;
(2)过点A作AE⊥BD于E,
∵OC2=AC2+AO2,
∴(OA+2)2=16+OA2,
∴OA=3,
∴OC=5,BC=8,
∵S△OAC=OAAC=OCAE,
∴AE=,
∴OE=,
∴BE=BO+OE=,
∴AB=.
【点睛】
本题考查了切线的判定,圆的有关知识,勾股定理等知识,求圆的半径是本题的关键.
7.(1)证明见解析;(2)2.
【分析】
(1)先由G为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG=∠MDN,再由平行四边形的性质得出AO∥BE,∠MDN+∠A=180°,进而判定四边形ABEO是平行四边形,然后证明AB=AO,则可得结论;
(2)过点O作OP⊥BA,交BA的延长线于点P,过点O作OQ⊥BC于点Q,设AB=AO=OE=x,则由cs∠ABC=,可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ,由勾股定理得关于x的方程,解得x的值即可.
【详解】
解:(1)证明:∵G为的中点,
∴∠MOG=∠MDN.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO∥BE,∠MDN+∠A=180°,
∴∠MOG+∠A=180°,
∴AB∥OE,
∴四边形ABEO是平行四边形.
∵BO平分∠ABE,
∴∠ABO=∠OBE,
又∵∠OBE=∠AOB,
∴∠ABO=∠AOB,
∴AB=AO,
∴四边形ABEO为菱形;
(2)如图,过点O作OP⊥BA,交BA的延长线于点P,过点O作OQ⊥BC于点Q,设AE交OB于点F,
则∠PAO=∠ABC,
设AB=AO=OE=x,则
∵cs∠ABC=,
∴cs∠PAO=,
∴=,
∴PA=x,
∴OP=OQ=x
当AE与⊙O相切时,由菱形的对角线互相垂直,可知F为切点,
∴由勾股定理得:,
解得:x=2.
∴AB的长为2.
【点睛】
本题主要考查菱形的证明,切线的性质,三角函数以及勾股定理,巧妙的作出辅助线和列出勾股定理的方程是解决本题的关键.
8.(1)证明见详解;(2).
【分析】
(1)通过同弧或等弧所对的圆周角相等,结合、互相垂直,证明,可得结果;
(2)连接AC,OA,OB,AB,证明M为AE中点,得MN为的中位线,结合的度数为90°,半径为8,得到AB的长度,进而得到MN长度.
【详解】
(1)∵点为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴点N为BE中点
(2)连接CA,AB,OA,OB,如图所示:
∵点为的中点
∴
在和中
∴
∴,即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为的中位线
又∵的半径为,的度数为
∴,OA=OB=8
∴
∴
【点睛】
本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题,同时考查了直角三角形的边长的计算,及中位线的作用,熟知以上知识是解题的关键.
9.(1)27.4秒;(2)0.7m;(3)7.6秒
【分析】
(1)先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度,再利用三角函数确定,最后再计算出所求时间即可;
(2)先根据时间和速度计算出,进而得出,最后利用三角函数计算出,从而得到盛水筒距离水面的高度;
(3)先确定当在直线上时,此时是切点,再利用三角函数得到,
,从而计算出,最后再计算出时间即可.
【详解】
(1)如图1,由题意得,筒车每秒旋转.
连接,在中,,所以.
所以(秒).
答:盛水筒首次到达最高点所需时间为27.4秒.
(2)如图2,盛水筒浮出水面3.4秒后,此时.
所以.
过点作,垂足为,在中,.
.
答:此时盛水筒距离水面的高度.
(3)如图3,因为点在上,且与相切,
所以当在直线上时,此时是切点.
连接,所以.
在中,,所以.
在中,,所以.
所以.
所以需要的时间为(秒).
答:从最高点开始运动,7.6秒后盛水筒恰好在直线上.
【点睛】
本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识,灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键.
10.(1)AE与⊙O相切,理由见详解;(2).
【分析】
(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°,∠EAC=120°,进而得出∠EAO=90°,即可得出答案;
(2)连接AD,利用解直角三角形求出圆的半径,然后根据,即可求出阴影部分的面积.
【详解】
(1)AE与⊙O相切,理由如下:
连接AO,
∵∠B=60°,
∴∠AOC=120°,
∵AO=CO,AE=AC,
∴∠E=∠ACE,∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠EAC=120°,
∴∠EAO=90°,
∴AE是⊙O的切线;
(2)连接AD,则,
∴∠DAC=90°,
∴CD为⊙O的直径,
在Rt△ACD中,AC=6,∠OCA=30°,
∴,
∴,
∴,∠AOD=60°,
∴
∴.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质,解直角三角形,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确作出辅助线,从而进行解题.
11.(1)见解析;(2)⊙O的半径为.
【分析】
(1)根据“AAS“证明△ABE≌△ACD,然后根据全等三角形的性质得到结论;
(2)连接AB,如图②,由作法得OA=OB=AB=BC,先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°,再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长.
【详解】
(1)证明:在△ABE和△ACD中
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AB=AC;
(2)解:连接AB,如图②,
由作法得OA=OB=AB=BC,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠OAB=∠OBA=60°,
∵AB=BC,
∴∠C=∠BAC,
∵∠OBA=∠C+∠BAC,
∴∠C=∠BAC=30°
∴∠OAC=90°,
在Rt△OAC中,OA=AC=×3=.
即⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定与性质.
12.(1)①D;10;②⊙O关于直线n的“特征数”为6;(2)直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+
【分析】
(1)①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可;②过圆心O作OH⊥直线n,垂足为点H,交⊙O于点P、Q,首先判断直线n也经过点E(0,4),在Rt△EOF中,利用三角函数求出∠EFO=60°,进而求出PH的长,再根据“特征数”的定义计算即可;
(2)连接NF并延长,设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到,再根据两条直线互相垂直,两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得,消去b1和b2,得到关于m、n的方程组;根据⊙F关于直线l的“特征数”是,得出NA=,再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10,把代入,求出k的值,便得到m、n的值即点A的坐标,再根据待定系数法求直线l的函数表达式.注意有两种情况,不要遗漏.
【详解】
解:(1)①⊙O关于直线m的“远点”是点D,
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10;
②如下图:过圆心O作OH⊥直线n,垂足为点H,交⊙O于点P、Q,
∵直线n的函数表达式为,
当x=0时,y=4;当y=0时,x=,
∴直线n经过点E(0,4),点F(,0),
在Rt△EOF中,∵tan∠FEO===,
∴∠FEO=30°,
∴∠EFO=60°,
在Rt△HOF中,∵sin∠HFO=,
∴HO= sin∠HFO·FO=2,
∴PH=HO+OP=3,
∴PQ·PH=2×3=6,
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6;
(2)如下图,∵点F是圆心,点是“远点”,
∴连接NF并延长,则直线NF⊥直线l,设NF与直线l的交点为点A(m,n),
设直线l的解析式为y=kx+b1(k≠0),
将点与A(m,n)代入y=kx+b1中,
②-①得:n-4=mk-k,③
又∵直线NF⊥直线l,
∴设直线NF的解析式为y=x+b2(k≠0),
将点与A(m,n)代入y=x+b2中,
④-⑤得:-n=+,⑥
联立方程③与方程⑥,得:
解得:,
∴点A的坐标为(,);
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是,⊙F的半径为,
∴NB·NA=,
即2·NA=,
解得:NA=,
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2,
即(m+1)2+n2=10,
把代入,解得k=-3或k=;
当k=-3时,m=2,n=1,
∴点A的坐标为(2,1),
把点A(2,1)与点代入y=kx+b1中,解得直线l的解析式为y=-3x+7;
当k=时,m=-2,n=3,
∴点A的坐标为(-2,3),
把点A(-2,3)与点代入y=kx+b1中,解得直线l的解析式为y=x+.
∴直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+.
【点睛】
本题是一次函数与圆的综合题,考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等,理解“远点”和“特征数”的意义,熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键.
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