300道初中几何全册几何经典题型汇总（超详细

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300道初中几何全册几何经典题型汇总
三角形
知识考点：
理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
精典例题：
【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。
答案：B
变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ ）
A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19
评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。
【例2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。
分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。
略解：∵AB＝DB，AC＝CE
∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB
∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝530
∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270
探索与创新：
【问题一】如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上。
（1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A；
（2）试判断在△ABC外，又和点A在直线的同侧，是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。

分析与结论：
（1）连结AP，易证明∠P＞∠A；
（2）存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与∠A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。
【问题二】如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？
分析与结论：
（1）DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD
（2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。
略解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝600
又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D
∴∠BPE＝∠CPD＝300
不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝
∴AE＋AD＝
又∵BE＋CD＋BC＝
∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD
从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE
即△AED的周长等于四边形EBCD的周长。
评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。
跟踪训练：
一、填空题：
1、三角形的三边为1，，9，则的取值范围是 。
2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。
3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度。
4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。
5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 。
6、如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝ 。
7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 。
8、纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。
9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝ 。
10、若△ABC的三边分别为、、，要使整式，则整数应为 。

二、选择题：
1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A、300 B、360 C、450 D、720
3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）
A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定
4、在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，则∠A的取值范围是（ ）
A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800
C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300
5、若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（ ）
A、可能没有锐角 B、可能有一个锐角
C、可能有两个锐角 D、最多一个锐角
6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形
三、解答题：
1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？
2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？
3、如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？
4、如图，已知OA＝，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空：
（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形；
（2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形；
（3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形；
（4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形。

一、填空题：
1、；2、2；3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm；
8、600；9、1300；10、偶数。
二、选择题：CBCBCB
三、解答题：
1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）
2、可以，设延伸部分为，则长为，，的三条线段中，最长，
∵
∴只要，长为，，的三条线段可以组成三角形
设长为的线段所对的角为，则为△ABC的最大角
又由
当，即时，△ABC为直角三角形。
3、30
4、（1）；（2）或；（3）＜OP＜；（4）0＜OP＜或OP＞
2.全等三角形
知识考点：
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。
精典例题：
【例1】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求证：CE＝CD。
分析：作AF⊥CD的延长线（证明略）
评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

【例2】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。
分析：采用截长补短法，延长AC至 E，使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取AE＝AC，再证明EB＝CD（证明略）。
探索与创新：
【问题一】阅读下题：如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP⊥BC。
证明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2
∴△ABE≌△ACE（第一步）
∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步）
∴AP⊥BC（等腰三角形三线合一）
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
略解：不正确，错在第一步。
正确证法为：
∵BE＝CE
∴∠EBC＝∠ECB
又∵∠1＝∠2
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠3＝∠4
又∵AB＝AC
∴AP⊥BC
评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。
【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？
请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。
解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。
评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝ 度。
2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形 对。
3、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是 。

4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB。
5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 （不包括AB＝CD和AD＝BC）。
6、如图，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是 （填序号）。
二、选择题：
1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD
C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE

2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（ ）
A、600 B、700 C、750 D、850
3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）
A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等

4、如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，则与的大小关系是（ ）
A、＞ B、＜
C、＝ D、无法确定
三、解答题：
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE和△BDC是等腰三角形。

2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。
（1）求证：AF⊥CD；
（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。
3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：△ABC≌△DEF；
（2）上问中，若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，结论是否还成立，为什么？
4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问：
（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。
（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。
（2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。
参考答案
一、填空题：
1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；
5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③
二、选择题：BBDA
三、解答题：
1、略；
2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等；
3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；
4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。
5、（1）△ACE和△BDF的对应角相等；（2）略
4.直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：

【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。
答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
（小时）＝24（秒）
评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。
由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60（千米）。
∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）。
（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）。
评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是 。
2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。

3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。
4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。
5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。
6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。
7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。

8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。
二、选择题：
1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ）
A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定

4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（ ）
A、100 B、150 C、200 D、250
三、解答题：
1、阅读下面的解题过程：已知、、为△ABC的三边，且满足
，试判断△ABC的形状。
解：∵……①
∴……②
∴……③
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ；
（3）本题的正确结论是 。
2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。
3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。
（1）求证：G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE。

4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。
参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090
5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC＝5。
（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
参考答案
一、填空题：
1、10或；2、16.9；3、1350；4、cm2；5、；6、5；7、4
8、7；9、49
二、选择题：BDCB
三、解答题：
1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形
2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝，AC＝
3、提示：连结ED
4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。
5、（1）2；（2）＝4或3，当＝4时，面积为12。
5.角平分线、垂直平分线

知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF＝2BF。
分析一：要证明CF＝2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BF＝AF。问题转化为证CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。
分析二：要证明CF＝2BF，联想∠B＝300，EF是AB的中垂线，可过点A作AG∥EF交FC于G后，得到含300角的Rt△ABG，且EF是Rt△ABG的中位线，因此BG＝2BF＝2AG，再设法证明AG＝GC，即有BF＝FG＝GC。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC于D，则BD＝CD，考虑到∠B＝300，不妨设EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。

探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：。
分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE＝AC。
证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E
CE∥AD∠E＝∠3AE＝AC
CE∥AD
∴
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。
答案：cm
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A＝520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝ 。
2、如图，已知AB＝AC，∠A＝440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝ 。

3、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠B＝150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝ 。
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝ 。
5、如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝680，那么∠P＝ 。

二、选择题：
1、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且∠A＝600，则∠BFC等于（ ）
A、800 B、1000 C、1200 D、1400
2、如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C的度数为（ ）
A、820 B、720 C、620 D、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ）
A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm
C、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对
4、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A、0组 B、2组
C、3组 D、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
三、解答题：
1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。

2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。
3、如图，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝，AE⊥BC于点E，求EC的长。
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。

参考答案
一、填空题：
1、380；2、240；3、4；4、14；5、680
二、选择题：CBCDB
三、解答题：
1、过A作AN⊥BC于N，证∠D＝∠DAM；
2、延长FE到G，使EG＝EF，连结CG，证△DEF≌△CEG
3、连结AD，DF为AB的垂直平分线，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50
∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6
又∵∠C＝600
∴EC＝
4、证△ACD≌△CBF
6.平行四边形

知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质
精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO
略证：连结BF、DE
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
又∵AF＝CE
∴FD∥BE，FD＝BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO＝DO，即点O是BD的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）
变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形。
变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。

变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。
探索与创新：
【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。
略证：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC
∴ME⊥BC
在△BEM和△AMC中，
ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE＝450
∵AM∥NE
∴∠BPM＝∠BNE ＝450
跟踪训练：
一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长的取值范围是 。
2、□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。
3、已知□ABCD中，AB＝2AD，对角线BD⊥AD，则∠BCD的度数是 。
4、如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。

5、如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，则AC的长为 。
6、如图：过□ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，则AB＝ 。
7、如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。
二、选择题：
1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）
A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm
2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF

3、如图，已知M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，则∠DAE＝（ ）
A、200 B、250 C、300 D、350
5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ）
A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边
B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边
C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边
D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边
6、如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若□ABCD的面积为4，则＝（ ）
A、3.5 B、4 C、4.5 D、5

7、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则□ABCD的面积等于（ ）
A、48 B、 C、 D、
三、解答题：
1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，连结DE交AF于点P，求EP的长。

2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且＝＝＝＝（＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：
如上图，连结BD
∵＝，＝
∴EH∥BD，FG∥BD
①连结AC，则EF与GH是否一定平行，答： ；
②当值为 时，四边形EFGH是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为矩形；
④在②的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为菱形；
3、已知，在四边形ABCD中，从①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分别为AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，∠CDE＝∠A。
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、1＜＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、或12.8；7、cm2；
二、选择题：DBCABCC
三、解答题：
1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再证DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP为等边三角形，EP＝AE＝。
2、①是；②任意正数；③BD⊥AC；④AC＝BD
3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③
4、（1）证EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5
7.矩形、菱形
知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
精典例题：
【例1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案450。

【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案AF＝4.5。
【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点，DE⊥AM，垂足为E，3AB＝2BC，并且AB、BC的长是方程的两根。
（1）求的值；
（2）当点M离开点B多少时，△ADE的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出。
略解：（1）由韦达定理可得AB＋BC＝，AB·BC＝，又由BC＝AB可消去AB，得出一个关于的一元二次方程，解得＝12，＝，因AB＋BC＝＞0，∴＞2，故＝应舍去。
（2）当＝12时，AB＋BC＝10，AB·BC＝＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由可得AE＝3EM＝AM。易证△AED∽△MBA得＝，设AE＝，AM＝，则MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故，解得＝2，MB＝＝4。即当MB＝4时，。
评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。
探索与创新：
【问题一】如图，四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。
略解：作AE⊥CB的延长线于E，DF⊥BC的延长线于F，再作AG⊥DF于G
∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450
∴△ABE是等腰直角三角形
又∵AB＝，∴AE＝BE＝
∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600
∴△DCF是含300的直角三角形
∵CD＝6，CF＝3，DF＝
∴EF＝＝8
由作图知四边形AGFE是矩形
∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝
从而DG＝DF－FG＝
在△ADG中，∠AGD＝900
∴AD＝＝＝＝
【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。
分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。
2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm。
3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，则DE＝ cm。
4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝ 。
5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝ 。

二、选择题：
6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ）
A、仅能作一个 B、可以作四个
C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB。
A、1 B、2 C、3 D、4

8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）
A、4cm、cm B、5cm、cm
C、4cm、cm D、5cm、cm
9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ）
A、①② B、③④ C、③ D、①②③④
10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
三、解答题：
11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

12、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形GECF是菱形。
13、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200
提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF是等边三角形。
二、DDBBA
三、解答题：
11、可证△DEA≌△ABF
12、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四边形GECF是平行四边形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。
13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。
8.正方形
知识考点：
理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。
精典例题：
【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H。求证：AH＝AD。
分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形（证明略）。
评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。

【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ。
分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。
变式：若条件改为PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能得到哪些结论？
探索与创新：
【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

分析：对于图1通过全等三角形证明OE＝OF，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。
结论：（2）的结论“OE＝OF”仍然成立。
提示：只须证明△AOF≌△BOE即可。
评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

分析：（1）实验猜测：PQ＝PB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。
略解：（1）如图1，易证BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝1800－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ
∴PB＝PD＝PQ

（2）如图2，易证△BOP≌△PEQ
∴QE＝PO＝AO－AP＝
∴

∴（0≤＜）
（3）△PCQ可能成为等腰三角形。
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时＝0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）。此时，QN＝PM＝，CN＝CP＝，所以CQ＝QN－CN＝，当时，解得。
评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。
2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE＝AC，AE与CD边相交于F点，那么CE∶FC＝ 。

3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离是
。
4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。
二、选择题：
1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为，正方形ABCD的周长为，则与的关系式是 。
A、＜ B、＞ C、＝ D、与无关
2、如图，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是（ ）
A、①②③ B、仅① C、仅②和③ D、仅①和③

3、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值为（ ）
A、10 B、11 C、12 D、15
4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是（ ）


数量（张） 卡片

方案
（1）
（2）
（3）
A
1
1
2
B
1
1
1
C
1
2
1
D
2
1
1
三、解答题：
1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AF⊥BE。
2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。
（1）求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求证：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。

4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE，求证：∠BCF＝∠AEB。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、③；2、；3、；4、②
二、选择题：CDCA
三、解答题：
1、易证△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB∠AFB＝∠BFC∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝900，AF⊥BE。
2、（1）如图1，取AD中点F，连结MF，由MN⊥DM得∠DAM＝900，易证∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝450－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝450－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN。

（2）成立，如图2，在AD上取DF＝MB，则易知：∠1＝900－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝900，∴∠1＝∠2，又∠DMF＝450－∠1，∠MNB＝450－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN。
3、略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PA＝PC，∠1＝∠2，根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因为∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝900，所以△PHF为直角三角形，故AP⊥EF。
4、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形。
9.梯形

知识考点：
掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。
精典例题：
【例1】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，中位线EF＝7，对角线AC⊥BD，∠BDC＝300，求梯形的高AH。
分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。
略解：过A作AM∥BD交CD的延长线于M。
∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝300
又∵中位线EF＝7
∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AM，AC＝CM＝7
∵AH⊥CD，∴∠ACD＝600
∴AH＝＝
评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的长。
分析：将AB、CD平移至E点构成直角三角形即可。
答案：EF＝4
探索与创新：
【问题】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝，BC＝。
（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EF∥BC且EF＝；
（2）如图2，如果，判断EF和BC是否平行？请证明你的结论，并用、、、的代数式表示EF。

分析：（2）根据（1）可猜想EF∥BC，连结AF并延长交BC的延长线于点M，利用平行线分线段成比例定理证明即可。
略证：连结AF并延长交BC的延长线于点M
∵AD∥BM，，
∴在△ABM中有
∴EF∥BC，
∴EF＝＝
而，故
∴EF＝＝＝
评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳、抽象、概括、猜想的能力，它要求学生能通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。
跟踪训练：
一、填空题：
1、梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为 。
2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，则下底角的度数是 。
3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝600，则AB的长为 。

4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝，CD＝，那么AB的长是
。
5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，则梯形ABCD的面积是 。
6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝400，则∠ACD＝ 度。
二、选择题：
1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则对角线所用的竹条至少需（ ）
A、cm B、30 cm C、60 cm D、 cm
2、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，下列结论：①∠BCD＝600；②四边形EHCF是菱形；③④以AB为直径的圆与CD相切于点F。其中正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，则CD的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，则A到BC的距离为（ ）
A、12 B、13 C、10 D、12×21＋13
5、如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD则∠DBC的度数为（ ）
A、300 B、450 C、600 D、900
三、解答题：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一点F、G，使BF＝CG，E是AD的中点。求证：∠EFG＝∠EGF。
2、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底边上任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N。求证：DM＋DN＝2AH。
3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延长BD到E，使DE＝DB，作EF⊥BA的延长线于点F，求AF的长。

4、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝8，CD＝6，求的值。
（3）若∶＝4∶5，求CD∶AB的值。

5、如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于的方程的两根，并且∶＝1∶5。
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在的直线解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作轴的平行线，交轴于F，交BC于D，过D点作轴的平行线交轴于E，使，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、2∶3；2、600；3、；4、；5、6；6、150
二、选择题：CBAAC
三；解答题：
1、证△AFE≌△DEG；
2、作AH⊥MN于N，则MN＝MH，AH＝MH＋MD易证NH＋DM＝AH；
3、2
4、（1）连结CS、BP；（2）∵SB＝DO＋OB＝11，CS＝，BC＝＝，SQ＝，∴＝；
（3）设CD＝，AB＝，＝。∴＝，又∶＝∶，则＝，∵∶＝4∶5，∴。整理得：，，又∵，∴。即：
。
5、（1）AC＝1，OB＝5；（2）C（1，2）；（3）存在，（，1），（，）
10.三角形、梯形的中位线

知识考点：
掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。
精典例题：
【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。
分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。

【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。
分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。
答案：PM＝6
探索与创新：
【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。
分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝，即EG＋FG＝EF，则G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。
（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。
评注：利用中位线构造出CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。
跟踪训练：
一、填空题：
1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。
2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是 。
3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。
4、直角梯形的中位线长为，一腰长为，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为 。
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，G是BC上任意一点，如果cm2，那么梯形ABCD的面积是 。

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF＝ 。
7、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ 。
8、如图，直角梯形ABCD的中位线EF＝，垂直于底的腰AB＝，则图中阴影部分的面积是 。
9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线，EF为中位线，若∶＝1∶2，则∶＝ 。
二、选择题：
1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为（ ）
A、4 cm B、cm C、8cm D、cm
2、已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，它的中位线长为28cm，周长为104cm，AD比AB少6cm，则AD∶AB∶BC＝（ ）
A、8∶12∶5 B、2∶3∶5 C、8∶12∶20 D、9∶12∶19
3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、

4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正确的是（ ）
A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④
三、解答题：
1、如图，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC与BD交于O，M、N分别为OA、OD的中点。
（1）求证：四边形BCNM是等腰梯形；
（2）求这个等腰梯形的中位线长。
2、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF＞

3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝600，AC平分∠DAB，E、F是对角线AC、BD的中点，且EF＝，求梯形ABCD的面积。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、13；2、500cm2；3、1∶2；4、；5、；6、4；7、1∶4；8、；
9、5∶7
二、选择题：CDCD
三、解答题：
1、（1）证MN∥BC且MN≠BC；（2）6cm。
2、取BC的中点构造三角形的中位线。
3、解：设上底为，下底为，高为，由题意知EF＝，即，，，所以：
梯形ABCD的面积为：
11.锐角三角函数

知识考点：
本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin、cos、tan、cot准确表示出直角三角形中两边的比（为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
精典例题：
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。
（1）求AB的长；
（2）求sinA、cosA的值；
（3）求的值；
（4）比较sinA、cosB的大小。
分析：在Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA、cosA的大小，从而便可以计算出的大小，即可比较sinA与cosB的大小。
答案：（1）AB＝13； （2）sinA＝，cosA＝；
（3）； （4）sinA＝cosB
变式：（1）在Rt△ABC中，∠C＝900，，，则sinA＝ 。
（2）在Rt△ABC中，∠A＝900，如果BC＝10，sinB＝0.6，那么AC＝ 。
答案：（1）；（2）6
【例2】计算：
解：原式＝＝＝2
注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。
【例3】已知，在Rt△ABC中，∠C＝900，，那么cosA（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：由三角函数的定义知：，又因为，所以可设，，由勾股定理得，不难求出
答案：B
变式：已知为锐角，且，则＝ 。
略解：可设为Rt△ABC的一锐角，∠A＝，∠C＝900
∴AC＝，AB＝，则BC＝
∴
评注：直角三角形中，只要知道其中任意两边的比，可通过勾股定理求出第三边，然后应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值。
【例4】已知，为锐角，则＝ 。
分析：由定义可推出
∴
评注：由锐角三角函数定义不难推出，，它们是中考中常用的“等式”。
探索与创新：
【问题】已知，则＝ 。
分析：在00～900范围内，sin、tan是随的增大而增大；cos、cot是随的增大而减小。∴cos－cos＜0，又不难知道cos300＝，cos00＝1，∴＜0，＞0。
∴原式＝＝
变式：若太阳光线与地面成角，300＜＜450，一棵树的影子长为10米，则树高的范围是（ ）（取）
A、3＜＜5 B、5＜＜10 C、10＜＜15 D、＞15
略解：∵300＜＜450
∴tan300＜＜tan 450
而
∴
∴5.7＜＜10
答案：B
跟踪训练：
一、选择题：
1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若，则sinA＝（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知cos＜0.5，那么锐角的取值范围是（ ）
A、600＜＜900 B、00＜＜600 C、300＜＜900 D、00＜＜300
3、若，则锐角的度数是（ ）
A、200 B、300 C、400 D、500
4、在Rt△ABC中，∠C＝900，下列式子不一定成立的是（ ）
A、cosA＝cosB B、cosA＝sinB
C、cotA＝tanB D、
5、在Rt△ABC中，∠C＝900，，AC＝6，则BC的长为（ ）
A、6 B、5 C、4 D、2
6、某人沿倾斜角为的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ）
A、米 B、米 C、米 D、米
7、计算的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：
1、若为锐角，化简＝ 。
2、已知，则锐角＝ ；若tan＝1（00≤≤900）则＝ 。
3、计算＝ 。
4、在Rt△ABC中，∠C＝900，若AC∶AB＝1∶3，则cotB＝ 。
5、△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cosB＝ 。
6、已知，在△ABC中，∠A＝600，∠B＝450，AC＝2，则AB的长为 。
三、计算与解答题：
1、；
2、△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状。
3、已知，，求的值。
四、探索题：
1、△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则等于（ ）
A、cotA B、tanA C、cosA D、sinA
2、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A、 B、
C、 D、1
3、已知，，则与的关 系是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的对边分别是、，且满足，则tanA等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
跟踪训练参考答案
一、选择题：DAAAD，BC
二、填空题：
1、1－sin；2、550，；3、2；4、；5、；6、
三、计算与解答题：
1、2；2、等边三角形；3、
四、探索题：CACB
12.解直角三角形
知识考点：
本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。
精典例题：
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝450，DC＝6，求AB的长。
分析：由∠C＝900，∠BDC＝450，可知DC＝BC＝6，再由sinA＝＝即可求出AB的长。
解：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠BDC＝450
∴∠BDC＝∠DBC＝450
∴DC＝BC＝6
在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝＝
∴AB＝＝15
变式：如图，在△ABC中，∠B＝900，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝450，∠ACB＝600，求AB的长。
分析：设AB＝，通过解Rt△ABC和解Rt△ABD即可。
解：设AB＝
∵∠B＝900，∠ACB＝600
∴BC＝＝
又∵BD＝BC＋DC
∴
∴
答案：AB的长为
评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。
【例2】如图，在△ABC中，∠A＝300，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则cot∠CFB＝（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：因为∠CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB是它的一个锐角，由EF⊥AB联想到作EF的平行线CD，得到Rt△CDB即可求解。
解：过C作CD∥EF交AB于点D
∴
∴
由可得
设EF＝，由EF⊥AF可知△AEF是Rt△，且∠A＝300
∴，
∴，，CD∥EF，EF⊥AB
∴CD⊥AB，△CFD是直角三角形
在Rt△CFD中，
答案：D
【例3】已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长。
分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。
解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形。
∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB
∴AC＝DB，BD＝DE
∴△DBE为等腰三角形
BE＝BC＋AD＝18cm
分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F
∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600
∴BF＝BE＝9cm，AG＝DF＝cm
在Rt△ABG中，sin∠ABG＝
∴AB＝（cm）
答：AB的长是 cm。
评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。
探索与创新：
【问题】如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝，AC＝。证明：
证明：过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形
∴
∴
又∵
∴
评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：（三角形面积公式）
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝600，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是 。
2、在△ABC中，∠B＝300，tanC＝2，AB＝2，则BC的长是 。
3、在△ABC中，∠C＝900，AB＝2，BC＝，则tan＝ 。
4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝600，则PO∶AO＝ 。

5、如图，在△ABC中，∠B＝600，∠BAC＝750，BC边上的高AD＝3，则BC＝ 。
6、等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 。
二、选择题：
1、在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（ ）
A、 B、 C、1 D、
2、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米。现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）
A、等于1米 B、大于1米 C、小于1米 D、不能确定

4、如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）
A、 B、1 C、 D、
三、解答题：
1、如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝1200，∠BAD＝750，∠D＝600，求CD的长。
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD＝DE，AC＋CD＝9。求：①BC的长；②CE的长。
3、如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，，∠BAE＝。
（1）求的值；
（2）若，AF＝6时，求cot∠BAD的值。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、；2、；3、；4、1∶；5、；6、300
二、选择题：CDCA
三、解答题：
1、；
2、BC＝8，CE＝；
3、，
13. 三角函数的综合运用
知识考点：
本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。
精典例题：
【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。
（参考数据：＝1.41421…，＝1.73205…）
分析：此题可先通过解Rt△ABD求出塔高AB，再利用CE＝BD＝80米，解Rt△AEC求出AE，最后求出CD＝BE＝AB－AE。
解：在Rt△ABD中，BD＝80米，∠BAD＝600
∴AB＝（米）
在Rt△AEC中，EC＝BD＝80米，∠ACE＝450
∴AE＝CE＝80米
∴CD＝BE＝AB－AE＝（米）
答：塔AB的高约为138. 56米，楼CD的高约为58. 56米。
【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：＝1.41，＝1.73）
分析：要求AB，只须求出OA即可。可通过解Rt△POA达到目的。
解：在Rt△PAO中，∠PAO＝
∴OA＝（米）
在Rt△PBO中，∠PBO＝
∴OB＝OP＝450（米）
∴AB＝OA－OB＝（米）
答：这座大桥的长度约为329米。
评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
分析：此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论。
解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D
∵，
∴，
∴
∴
∵＞10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。

【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。
分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，在Rt△ADE和Rt△BCF中
∵
∴∠A＝300
又∵，
∴BF＝3CF＝3×8＝24
∴AB＝AE＋EF＋BF＝＝（米）
答：斜坡AB的坡角∠A＝300，坝底宽AB为米。
评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。
探索与创新：
【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）
分析：此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解。
解：过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：


于是A点离地面的高度为（米）
答：车厢的最高点A离地面约为4米。
【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。

略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH⊥AB于H，则
∵
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。

跟踪训练：
一、选择题：
1、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ ）
A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2
2、如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A、海里 B、海里 C、7海里 D、14海里

3、如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（ ）
A、100米 B、米 C、米 D、米
4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、元 B、元 C、元 D、元

二、填空题：
1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB＝ 米。
2、小明想测量电线杆AB的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，＝1.41，＝1.73）
三、解答题：
1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，求河宽CD（结果可带根号）。

2、如图：在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：，，，）
3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东，求的值；
②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？
4、如图，客轮沿折线A→B→C，从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A→B→C上的某一点E处。已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。
（1）两船相遇之处E点（ ）
A、在线段AB上
B、在线段BC上
C、在线段AB上，也可以在线段BC上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

跟踪训练参考答案
一、选择题：CADC
二、填空题：
1、34米；2、8.7米；
三、解答题：
1、米；
2、米；
3、①；②300；
4、（1）B；（2）海里。
14.比例线段

知识考点：
本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题：
【例1】已知，那么＝ 。
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为，，代入所求式子即可得解；三是设“”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
答案：
变式1：已知，若，则＝ 。
变式2：已知，求的值。
变式3：已知，则的值为 。
答案：（1）；（2）3；（3）1或－2；
【例2】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证：CD∶BD＝CF∶BE。
分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF∶BE，为了变换比CF∶BE，可以过点C作BE的平行线交ED于G，并设法证明CG＝CF即可获证。

本例为了实现将比CF∶BE转换成比CD∶BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。

变式1：已知如图，D是△ABC的边BC的中点，且，求的值。
变式2：如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。
答案：（1）；（2）13∶3；
【例3】如图，在△ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？
解析：（1）延长AM至Q，使MQ＝MP
∵BM＝MC，∴四边形BPCQ是平行四边形
∴CD∥BQ，BE∥QC
∴
∴DE∥BC
（2）过B作BQ∥CD交AM的延长线于Q
∵DE∥BC，∴
∴，∴BE∥QC
∴四边形BPCQ是平行四边形
∴M是BC的中点
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：。
分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE＝AC。
证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E
CE∥AD∠E＝∠3
AE＝AC
CE∥AD
∴
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。
答案：cm
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若，则＝ ；若，且，则 ＝ ，＝ ，＝ 。
2、若，则＝ 。
3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 。
4、如图，在□ABCD中，E为BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD＝ 。
二、选择题：
1、已知如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、

2、如图，在△ABC中，AD＝DF＝FB，AE＝EG＝GC，FG＝4，则（ ）
A、DE＝1，BC＝7 B、DE＝2，BC＝6
C、DE＝3，BC＝5 D、DE＝2，BC＝8
3、如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ∶BC＝（ ）
A、1∶3 B、1∶4 C、1∶5 D、1∶6
4、如图，∥，，BC＝4CD，若，则＝（ ）
A、 B、2 C、 D、4

三、解答题：
1、已知如图，AD＝DE＝EC，且AB∥DF∥EH，AH交DF于K，求的值。
2、如图，□ABCD中，EF交AB的延长线于E，交BC于M，交AC于P，交AD于N，交CD的延长线于F。求证：。
3、如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，（、＞0），取CF的中点D，连结AD，并延长交BC于E。
（1）求的值；
（2）如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（3）E点能否为BC的中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，说明理由。
4、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P为BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE、PF的长分别为、，。那么当点P在BC边上移动时，的值是否变化？若变化，求出的范围；若不变，求出的值，并说明理由。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、，4，8，14；2、2或－1；3、或或12等；4、2∶5；
二、选择题：CBBB
三、解答题：
1、；
2、证明即可；
3、（1）；（2）直线EF垂直平分AB；（3）E不能是BC的中点；
4、的值不变化，为定值，。
15.相似三角形（一）

知识考点：
本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。
精典例题：
【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，过O作AO的垂线交AB于D。求证：△OBD∽△CBO。
分析：此题不易得到边的比例关系，但O点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。
由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。

变式1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，交AC于E，BO平分∠ABC。求证：。
变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且AD＝AE。
求证：（1）△BDO∽△OEC；（2）。
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。
分析：由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。
证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B
∴………①
又∵AD⊥BC，E为AC中点
∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE
∴∠B＝∠ADE
又∵∠F＝∠F
∴△FAD∽△FDB
∴………②
由①②得
变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？

【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于F。求证：。
分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD＝FC，再证△FDG∽△FAD即可。
探索与创新：
【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
略解：∵AC＝，AD＝2
∴CD＝
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有
∴
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有
∴
故当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。
【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
略解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：
或
由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而或
故当或时，△ADP与△QCP。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是 。
2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作直线交轴于D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线有 条。
3、如图，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 。

4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。
5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则CD＝ 。
二、选择题：
1、下面两个三角形一定相似的是（ ）
A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形
C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形
2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
三、解答题：
1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。

2、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。求证：△AFD∽△ADB。
3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不能，请说明理由。

4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或；2、4条；3、3，5；
4、2种；5、6
二、选择题：DD
三、解答题：
1、设AB＝BE＝EF＝FC＝，∵∠B＝900，∴AE＝
∵，
∴且∠AEF＝∠CEA
∴△AEF∽△CEA
2、证△AED∽△ADC，△FAE∽△CAB，△FAD∽△DAB
3、能，有三个，AP＝4.5或
4、△ABC∽△ADE，还有△ABD∽△ACE。
16.相似三角形（二）

知识考点：
本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用
精典例题：
【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长。
分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有可求得，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。
答案：△ADE的面积为cm2，周长为15 cm。

【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求
分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得。
解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P
∵，∴AP＝1
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即
∴BC＝6，故＝9
变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。
答案：35 cm
变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。

答案： cm， cm
【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积、、，分别为4、9、49，求△ABC的面积。
解：设MP＝，RT＝，PN＝，由于、、都相似于△ABC，设△ABC的面积为，AB＝，则有，，，三式相加得：

∴，故
探索与创新：
【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝∶。
（1）计算PM、PN的长；
（2）当∶＝∶时，PM与PN有怎样的关系？
（3）在什么条件下才能得到MN＝。
略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC
∴，
又∵AM∶MB＝∶，∴BM∶AB＝∶
∴AM∶AB＝∶
∴，
（2）∵，
∴当，即∶＝∶时，才有PM＝PN；
（3）∵MN＝PM＋PN＝，由可得：

从而或
故当，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝或且MN为梯形（或平行四边形）的中位线时，MN＝。
【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为、，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。
解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝，△OAD的面积为，梯形ABCD的面积为，
∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD
∴，即
整理得………①
同理△OBC∽△OAD，，
整理得………②，由①②消去得：
即，∵，∴，即EF＝
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，∶＝ ，∶＝ 。
2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。
3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是∶，这两个三角形的面积分别是 。

4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则∶＝ 。
二、选择题：
1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，∶＝4∶9，则AE∶EC为（ ）
A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4
3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
三、解答题：
1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长。
2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝900，D、E分别为AB、AC上一点，且BD＝AB，AE＝AC，。求证：∠ADE＝∠EBC。

3、已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积和四边形CDFE的面积。
4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、3∶5，9∶25，3∶5；2、1∶；3、18 cm2，27 cm2；4、8∶27；
二、选择题：CAC
三、解答题：
1、；
2、提示：过E点作EF⊥BC于H，证△DAE∽△BHE较容易；
3、，；
4、2秒或0.8秒，这样的三角形有两个。
18.相似形的综合运用（二）

知识考点：
本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
精典例题：
【例1】如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。
（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
解：（1）∵，∴
又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC
∴，∴
故
（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝（△ABC的周长）＝6
又∵PQ∥AB，∴，即，解得

（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ＝900 ，PM＝PQ时，由勾股定理的逆定理得∠C＝900，∴△ABC的AB边上的高为，设PM＝PQ＝
∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴，解得，即
当，时，同理可得
②依题意得（如图3）当∠PMQ＝900 ，MP＝MQ时，由等腰直角三角形的性质得：M到PQ的距离为PQ，设PQ＝，由PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB，所以有：
，解得，即
【例2】如图，△ABC≌△，∠C＝∠＝900，AC＝3cm，＝5cm，先将△ABC和△完全重合，再将△ABC固定，△沿CB所在的直线向左以每秒1cm的速度平行移动，设移动秒后，△ABC与△的重叠部分的面积为 cm2，则与之间的函数关系式为 ， 秒后重叠部分的面积为cm2。
答案：（0≤≤4）
变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。
探索与创新：
【问题】在△ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
当时，有（如图1）
当时，有（如图2）
当时，有（如图3）
在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）。
分析：特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征, 往往通过类比就可以反映其共性规律。
对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论：
独想：当时，有成立。

证明：过点D作DF∥BE，交AC于点F
∵D是BC的中点
∴F是EC的中点
由可知
∴
∴
∴
跟踪训练：
一、填空题：
1、梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AC、BD交于点O，过点O的直线分别交AB、CD于E、F，若，FC＝4cm，则CD＝ cm。
2、如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么∶＝ 。

3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则∶＝ 。
二、选择题：
矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，DE垂直对角线AC于E，那么∶＝（ ）
A、4∶3 B、16∶9 C、∶3 D、3∶4
三、解答题：
1、如图，在正方形ABCD中，M是AB上一点，BM＝BN，作BP⊥MC于P，求证：DP⊥NP。

2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且，阅读下段材料，然后再回答后面的问题：
连结BD，∵，∴EH∥BD
∵，∴FG∥BD，∴FG∥EH
①连结AC，则EF与GH是否一定平行？答： 。
②当值为 时，四边形EFGH是平行四边形；
③在②的情况下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH是矩形；
④在②的情况下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH是菱形。
3、已知△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝。
（1）求BC的长；
（2）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，求正方形的面积。
提示：D点可能在BC上或在BC的延长线上，问题要分类讨论。
3、已知抛物线与轴交于A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C（0，），O为坐标原点。
（1）求的取值范围；
（2）若，OA＋OB＝3OC，求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标；
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设AP＝，问是否存在值，使以P、B、M为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、12；2、1∶8；3、15∶2；
二、选择题：B
三、解答题：
1、证△BPM∽△CPB，△PBN∽△PCD；
2、①不一定；②1；③AC⊥BD；④AC＝BD；
3、①点D在BC上时，BC＝4，；②点D在BC的延长线上时，BC＝2，；
4、（1）；
（2）A（－8，0），B（－4，0），C（0，4），
（3）存在或2
19.圆的有关概念和性质

知识考点：
1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；
2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；
3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。
精典例题：
【例1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。
分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。
解：∵OA＝


∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。
【例2】如图，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝ 。
分析：由于⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则点O到三边的距离也相等，即O是△ABC角平分线的交点，问题就容易解决了。
解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD＝OE＝OF
∴O为△ABC角平分线的交点
∵∠A＝700
∴∠ABC＋∠ACB＝1100
∴∠OBC＋∠OCB＝×1100＝550
∴∠BOC＝1800－550＝1250
【例3】如图1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ）
A、 B、
C、 D、与的大小关系不能确定
分析：如图1，把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
解：如图1，作，则
∵在△CDE中，CD＋DE＞CE
∴2CD＞CE
∵AB＝2CD
∴AB＞CE
∴，即

变式：如图，在⊙O中，，问AB与2CD的大小关系？
略解：取的中点E，则
∴AB＝BE＝CD
∵在△AEB中，AE＋BE＞AB
∴2CD＞AB，即AB＜2CD
探索与创新：
【问题】已知点M（，）在抛物线上，若以M为圆心的圆与轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于的方程的两根（如上图）。
（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若⊙M与轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求、的值。
分析：（1）设A、B两点的横坐标分别是、，由根与系数的关系知，，那么：，又因为M在抛物线上，所以。故AB＝2，即⊙M在轴上截得的弦长不变。
（2）C（0，－1），，
①当AC＝BC，即时，，；
②当AC＝AB时，，，，或，
③当BC＝AB时，，，或，
跟踪训练：
一、选择题：
1、两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且＜OA＜，那么点A在（ ）
A、⊙内 B、⊙外 C、⊙外，⊙内 D、⊙内，⊙外
2、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm
3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
4、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）
A、到CD的距离保持不变 B、位置不变
C、等分 D、随C点移动而移动
二、填空题：
1、若为⊙O的直径，为⊙O的一条弦长，则与的大小关系是 。
2、△ABC的三边分别为5 cm、12 cm、13 cm，则△ABC的外心和垂心的距离是 。
3、如图，⊙O中两弦AB＞CD，AB、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连结OM、ON、MN，则∠MNE与∠NME的大小关系是∠MNE ∠NME。

4、如图，⊙O中，半径CO垂直于直径AB，D为OC的中点，过D作弦EF∥AB，则∠CBE＝ 。
5、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数为 。
三、计算或证明：
1、如图，的度数为900，点C和点D将三等分，半径OC、OD分别和弦AB交于E、F。求证：AE＝CD＝FB。

2、如图，在⊙O中，两弦AB与CD的中点分别是P、Q，且，连结PQ，求证：∠APQ＝∠CQP。
3、如图，在⊙O中，两弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半径。
4、如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM。

跟踪训练参考答案
一、选择题：CABB
二、填空题：
1、≥；2、6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750
三、计算或证明：
1、提示：连结AC、BD，先证AC＝CD＝BD，再利用角证AC＝AE，BD＝DF即可；
2、提示：连结OP、OQ
∵P、Q是AB、CD的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥CD
∵，∴OP＝OQ
∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP
3、提示：连结CO并延长交⊙O于E，连结ED、AE，设⊙O的半径为R，则∠EDC＝∠EAC＝900，∴。∵AC⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5
4、提示：延长DC至N，使CN＝CM，连结NB，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。
20.垂径定理

知识考点：
1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：
【例1】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（1）CD的长；
（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O作OF⊥CD于F，连结DO
∵AE＝2cm，BE＝6cm，∴AB＝8cm
∴⊙O的半径为4 cm
∵∠CEA＝300，∴OF＝1 cm
∴cm
由垂径定理得：CD＝2DF＝cm
（2）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，易求EF＝cm
∴DE＝cm，CE＝cm
∴
【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（ ）
A、28 B、26
C、18 D、35
分析：如图，连结OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM＝MB，CN＝ND。
∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND
∴
从而
即
∴
故选A。
【例3】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝。求：
（1）BC的长；
（2）AB边上高的长。
分析：（1）已知AB＝AC，可得，则A为的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO交BC于D，连结BO
由AB＝AC得，又O为圆心
由垂径定理可得AO垂直平分BC
∵tanB＝，设AD＝cm，则BD＝cm
∴OD＝cm
在Rt△BOD中，，解得，（舍去）
∴BD＝3 cm，BC＝6 cm。
（2）设AB边上的高为，由（1）得：AD＝1 cm，AB＝cm
∵
∴
探索与创新：
【问题一】不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线与AB平行；②直线与AB相交；③直线与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。
解（1）如下图所示。

（2）EC＝FD或ED＝FC
（3）以①图为例来证明。过O作OH⊥于H
∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥OH∥BF
又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH
∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD
【问题二】如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙O1交于M，与⊙O2交于N，问什么时候MN最长？为什么？
解析：任作两条过A的线段EF、MN，比较MN与EF的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O1、O2作弦心距，易知CD＝EF，PQ＝MN，比较PQ与CD的大小即可（PQ＝O1O2）。发现O1O2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN的一半正好是O1O2，则MN最长。
答案：当MN∥O1O2时，MN最长。
跟踪训练：
一、选择题：
1、下列命题中正确的是（ ）
A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦AB⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB的长是（ ）
3、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm， 则AB和CD的距离是（ ）
A、2cm B、14cm
C、2cm或14cm D、2cm或12cm
4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
二、填空题：
1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。
2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。
3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝1200，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。
5、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 。

6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O1 O2的延长线于P，∠P＝300，，则CD＝ 。
三、计算或证明题：
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。
4、如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE＝3，CE＝2，且tan∠OBC＝1，求四边ABDC的面积。

跟踪训练参考答案
一、选择题：BCCD
二、填空题：
1、4条；2、；3、cm；4、cm；5、；6、6
三、计算或证明题：
1、AB＝5，AD＝；
2、解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM＝MD
∵CD＝16，AB＝8，在Rt△OMC中，因OC＝10
∴OM＝
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF
∴，
∴
∴AE－BF＝2OM＝12
3、提示：连结OE，由得OE垂直平分BC于F，AB为直径，则∠ACB＝900，BC＝。∴CF＝，EC＝
4、解：过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AD于N，连结AO
∵BE＝3，CE＝2，∴BC＝5，BM＝
又∵tan∠OBC＝1，∴∠OBM＝450
在Rt△OBM中，OB＝，∴ON＝ME＝
在Rt△AON中，AN＝
∵ON⊥AD，∴AN＝ND，∴AD＝7
∴

21.切线的判定与性质

知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）EM＝FM。
分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2
∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC
∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝900
∴∠1＋∠3＝900，故BC是⊙O的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC⊥AC
又∵EF⊥AC，∴EF∥BC
∴
∵BD＝CD，∴EM＝FM
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。
分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。
证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB
又∵OE⊥AC，∴OE＝OD
∴AC是⊙O的切线。
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求的值；
（3）若AD＋OC＝，求CD的长。
分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求的值，一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，AD＋OC＝可求出AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。
证明：（1）连结OD，证∠ODC＝900即可；
（2）连结BD
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900
∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC
又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC
∴
∴
（3）由（2）知，又知AD＋OC＝
∴AD、OC是关于的方程的两根
解此方程得，
∵OC＞，∴OC＝
∴CD＝
探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
（1）求∠G的余弦值；
（2）求AE的长。
略解：（1）设正方形ABCD的边长为，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中，，，解得。
∴
∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴
（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE
∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG
∴
在Rt△AEB中，可求得
【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含的式子表示出来，由于为定值，则∠DOE为定值。
解：（1）连结OC
∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB
∵CA＝CB，∴CO⊥AB
∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA
∵∠CAB＝，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝
（2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：
∠ODE＝∠CDE，∠OED＝∠CED
∴∠DOE＝1800－（∠ODE＋∠OED）
＝1800－（∠CDE＋∠CED）
＝1800－（1800－∠ACB）
＝1800－[1800－（1800－）]
＝
∴∠DOE为定值。
跟踪训练：
一、选择题：
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、在Rt△ABC中，∠A＝900，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝，AC＝，则⊙O的半径为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（ ）
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5
4、如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连结DE、DF、EF，则∠EDF＝（ ）
A、900－∠P B、900－∠P C、1800－∠P D、450－∠P

二、填空题：
5、已知PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝780，点C是⊙O上异于A、B的任一点，则∠ACB＝ 。
6、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为 。
7、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 。
8、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，过⊙O上A点的直线AD∥OC，若OA＝2且AD＋OC＝6，则CD＝ 。

9、如图，已知⊙O的直径为AB，BD＝OB，∠CAB＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA＝OB＝BD外）：① ；② ；③ ；④ 。
10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20，AD与BC之和为10，则圆的半径为 。
三、计算或证明题：
11、如图，AB是半⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半⊙O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。
（1）当∠QPA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是 三角形；
（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是 三角形。
12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。

13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求。
14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。
（1）求证：CD是半圆的切线；
（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5。
（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；
（2）设，，求出与之间的函数关系式；
（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、选择题：DCBB
二、填空题：
5、51或129；6、78；7、24；8、；
9、∠ACB＝900，AB＝2BC，DC是⊙O的切线，BD＝BC等；10、2
三、计算或证明题：
11、（1）△QCP是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形
12、（1）证OD⊥AD；（2）；
13、过D作DF⊥BC于F，；
14、（1）证∠ODC＝900；（2）连结BD，过A作AE⊥CD于E，证△ADB∽△AED，则有，即，
15、（1）⊙O的半径为1.5；（2）连结OP、OT，由勾股定理得化简得（0≤≤1.5）；（3）△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。理由如下：
当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，所以CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，由（1）知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，故△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。
22.与圆有关的角

知识考点：
1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；
2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；
3、掌握圆周角定理及其推论；
4、掌握弦切角定理及其推论；
5、掌握各角之间的转化及其综合运用。
精典例题：
【例1】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。
分析：注意条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。
解：∵AC＝BC，PC＝BC
∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上
若P、C在AB的同侧，则∠APB＝∠ACB
∵∠ACB＝1000，∴∠APB＝500
若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300
【例2】如图，在△ABC中，∠B＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。
分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，则cot∠F＝cot∠EBD＝，故结论得证。
解：连结BD
∵AC为⊙O的切线，∴∠1＝∠2
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD
∴，即
∴
∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝900
∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F
∴cot∠F＝cot∠2＝＝2
【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交△BGF的外接圆于H，连结GH、BH。
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE＝，CF∶FB＝1∶2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。
分析：（1）证∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可；
（2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，则AB∶AG＝1∶3，由切割线定理得AB＝3；
（3）由（2）知AB＝3，AG＝9，过A作AQ⊥DG于Q。由得。所以DF＝DG＝。由得，所以。故tan∠HBG＝tan∠HFG＝tan∠QFA＝＝18。

探索与创新：
【问题一】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。
分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。
解；连结BC
∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，∴∠PBC为定值
∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC为定值
∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA
∴
在Rt△PBC中，cos∠P＝，∴sin∠P＝
评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。
变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问∠P与∠DEB的大小关系？
分析：∵AB为直径，则∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝，又∵△CED∽△AEB，∴＝cos∠DEB。∴cos∠P＝cos∠DEB，故∠P与∠DEB的大小相等。

【问题二】如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点。
（1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论；
（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。
分析：（1）P在劣弧CD上运动时，∠APC＝∠APD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，∠APC＋∠APD＝1800，∠APC所对的弧是，∠APD所对的弧是，而，的度数和等于的度数和，等于3600，由圆周角定理易证明得到结论。
跟踪训练：
一、选择题：
1、下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ）
A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或500
3、O为锐角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则OD∶OE∶OF为（ ）
A、∶∶ B、∶∶
C、cosA∶cosB∶cosC D、sinA∶sinB∶sinC
4、如图，AB是⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若∠ACE＝250，则∠D为（ ）
A、500 B、550 C、600 D、650

5、如图，⊙O经过⊙O1的圆心O1，∠ADB＝，∠ACD＝，则与之间的关系是（ ）
A、＝ B、
C、 D、
二、填空题：
6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，则＝ 。
7、如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论 （任写一个）。
8、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝ 。

9、如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于C，延长PO交⊙O于点B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于点D，则∠ADP＝ 。
10、如图，已知直径AB⊥CD于E，∠COB＝，则＝ 。
11、如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝ 。
三、计算题或证明题：
12、如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交于点M，C为上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。

13、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证：
（1）；
（2）E为△ABC的内心。

14、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。
（1）求证：FB＝FC；
（2）；
（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝1200，BC＝6cm，求AD的长。
15、如图，⊙O的直径AB＝6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD＝∠ACD，当时，是否存在正实数，使弦CD最短？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
16、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3。
（1）求证：AF＝DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD＝10，求△ABC的面积。

跟踪训练参考答案
一、选择题：ACCAD
二、填空题：
6、1400；7、OC∥AB等；8、900；9、450；10、1；11、1200
三、计算题或证明题：
12、提示：连结OA，，∴，又∠O是公共角，△OCM∽△OPC。
13、略证：（1）连结，O1B，由O1A＝O1B可得∠O1AD＝∠O1CA，∠AO1D是公共角，∴△O1AD∽△O1CA；（2）连结AE、BE，由∠ABE＝∠AO1C＝∠ABC，∠BAE＝∠BO1E＝∠BAC。
14、（1）（2）略；（3）cm。
15、解：连结OD，设存在正实数，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。
∵，设AP＝，则BP＝，又AB＝6
∴，解得
∴OP＝OA－AP＝＝
在Rt△POD中，cos∠POD＝，∴∠POD＝300，∠ACD＝150
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝900
∴∠BCD＝900－150＝750
∵∠BCD＝∠ACD
∴＝5，即存在正实数，使CD弦最短。
16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝，FD＝，可求DE＝，由得：AN＝，可得EN＝，cos∠AED＝；（3）△CAE∽△ABE，。
23.圆中成比例的线段

知识考点：
1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：
【例1】已知如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2。求：
（1）BC的长；
（2）⊙O的半径。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。
解：（1）设BM＝MN＝NC＝，由切割线定理可得：
即解得：，∴BC＝；
（2）在Rt△ABC中，AC＝
由割线定理可得：
∴
∴
【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求的值。
分析：由切割线定理有，可得直径BC的长，要求，由△ACE∽△ADB得，也就是求CA、BA的长。
解：连结CE
∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线
∴
又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15
∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP
又∠P为公共角，△PAB∽△PCA
∴
∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝900
∴
∴AC＝，AB＝
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB
∴△ACE∽△ADB，∴
∴
【例3】如图，AB切⊙O于A，D为⊙O内一点，且OD＝2，连结BD交⊙O于C，BC＝CD＝3，AB＝6，求⊙O的半径。
分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。
解：延长BD交⊙O于E，两方延长OD交⊙O于F、G，设⊙O的半径为
∵BA切⊙O于A，∴
∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6
又，FD＝－OD，DG＝＋OD
∴，OD＝2
∴，
探索与创新：
【问题一】如图，已知AB切⊙O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交⊙O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CM＝，连结AM，若CB＝3，DE＝8。探索：
（1）当M在线段DE（不含端点E）上时，延长AM交⊙O于点N，连结NE，若△ACM∽△NEM，请问：EN与AB的大小关系。
分析：如图1，由△ACM∽△NEM可得∠NEM＝900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明EN＝AB，结论就探索出来了。
解：∵AB的垂直平分线CF交AB于C，CB＝3
∴AB＝6，∠ACM＝900
又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900
连结BO并延长交EN于点G
∵CB切⊙O于B，∴∠GBC＝900
∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900
∴四边BCEG是矩形
∴∠EGB＝900，G为NE的中点
∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB
（2）如图，当M在射线EF上时，若为小于17的正数，问是否存在这样的，使得AM与⊙O相切？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由。
分析：先满足AM与⊙O相切，求出相应的值，看它是否是小于17的正数即可。
解：当AM与⊙O相切于点P时，有MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6
∵MC＝，AC＝3，∠ACM＝900
∴AM＝，又MD＝MC－CD＝
ME＝MC－CE＝，
∴
即，解得（已舍去）
∵
∴存在这样的正数，使得AM与⊙O相切。
跟踪训练：
一、选择题：
1、PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点P的⊙O的切线长是（ ）
A、60 B、 C、 D、50

3、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ＝6，AC＝5，则弦AB的长是（ ）
A、3 B、5 C、 D、
4、如图，PT切⊙O于T，PBA是割线，与⊙O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝（ ）
A、10 B、20 C、5 D、
二、填空题：
1、如图，PA切⊙O于A，PB＝4，PO＝5，则PA＝ 。
2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的延长线交AB于点M，若AB＝12，CD＝9，则MD＝ 。

3、如图，⊙O内两条相交弦AB、CD交于M，已知AC＝CM＝MD，MB＝AM＝1，则⊙O的半径为 。
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝，则AC＝ 。

5、已知⊙O和⊙O内一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若，OP＝5，则⊙O的半径长为 。
6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝，BC＝，AC＝，半径为1.2的⊙O与AC、BC相切，且圆心O在斜边AB上，则＝ 。
三、计算或证明题：
1、如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝900，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE＝BE。
（1）求证：；
（2）若，AD＝6，求BD的长。
2、如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程的两个根，求AC的长。

3、如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。
（1）求证：；
（2）若DE⊥CF，∠P＝150，⊙O的半径为2，求弦CF的长。
4、如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；
（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

跟踪训练参考答案
一、选择题：AACB
二、填空题：
1、；2、3；3、；4、2；5、7；6、8或9
三、计算或证明题：
1、（1）略；（2）；（3）；
2、略解：由已知可得，
又∵
∴
解得：，故BE＝8，DE＝6
由△ADB∽△DEB可得：AD＝
由△ADC∽△BED可得：AC＝
3、提示：（1）连结OD，证△PCE∽△POD得；（2）证∠ODE＝150得∠HDO＝∠EDC＝300，∵OD＝2，则DH＝，DE＝，CE＝。∴CF＝CE＋EF＝
4、（1）连结PA、PB，证∠PBC＝900；（2）EF＝；（3）存在，使△PBD为等边三角形。
25.圆与圆（二）
知识考点：
1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。
2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。
精典例题：
【例1】如图，⊙O1与⊙O2外切于P，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，我们称△PAB为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：
（1）△PAB是直角三角形，并且∠APB＝900；
（2）△PAB的外接圆与连心线O1O2相切；
（3）以O1O2为直径的圆与Rt△PAB的斜边AB相切；
（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；
（5）若⊙O1、⊙O2的半径为、，则PA∶PB∶AB＝∶∶；
（6）内公切线PC平分斜边AB；
（7）△CO1O2为直角三角形。
这些结论虽然在证题时仍需证明，但有了这些基本结论作基础，可帮助你迅速找到解题思路，可以提高解题速度，下面用一个具体的例子来说明。

如图2，⊙A和⊙B外切于P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点，PT为内公切线，PT与CD相交于点T，延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F，又⊙A的半径为9，⊙B的半径为4。
（1）求PT的长；
（2）求证：；
（3）试在图中找出是线段PA和PB比例中项的线段，并加以证明。
分析：图中的基本图形是切点三角形，易证T为CD的中点，∠CPD＝900，PT即为外公切线长的一半，CF、DE分别为两圆直径，且互相平行，问题就解决了。
略解；（1）作BG⊥AC于G，则CD＝BG＝
∴PT＝CT＝TD＝CD＝6
证明（2）PT＝CD，∴∠CPD＝900
∴CF、DE分别是⊙A和⊙B的直径
又∵CD切两圆于C、D，∴FC⊥CD，ED⊥CD
∴CF∥DE，∴，∴
（3）图中是PA和PB比例中项的线段有PT、CT、DT（证明略）
【例2】如图，⊙O和⊙内切于点B，⊙经过O，⊙O的弦AE切⊙于点C，AB交⊙于D。
（1）求证：；
（2）设AB＝10cm，DC＝cm，求AC和BC的长。
分析：两圆相切，常见辅助线是作两圆公切线，作连心线，本题添了这两种辅助线，问题便迎刃而解了。
（1）证明：过B作两圆的公切线BT，证△BCD∽△BEC即可；
（2）解：连结并延长，连结OD
∵⊙O与⊙内切，∴O、、B三点共线
∴BO为⊙的直径
∴OD⊥BD，∴AD＝BD＝AB＝5 cm
∵AC切⊙于C，∴∠4＝∠5，又∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC，∴
∴，cm
探索与创新：
【问题一】如图，AB为半⊙O的直径，⊙O1与半圆内切于，与AB相切于，⊙O2与半圆内切于，与AB相切于，请比较∠AC1D1与∠AC2D2的大小。
分析：显然O、O1、共线，O、O2、共线，又∵O1D1⊥AB，O2D2⊥AB
∴∠A1C1D1＝∠AC1O－∠OC1D1＝（∠OO1B－∠OOD1）＝∠O1D1O＝×900＝450；∠AC2D2＝∠AC2O＋∠OC2D2＝（∠C2OB＋∠OO2D2）＝×900＝450，故∠AC1D1＝∠AC2D2。

【问题二】如图，已知圆心A（0，3），⊙A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙A与⊙B外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N。
（1）若sin∠OAB＝，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；
（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙A与⊙B始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形？对你的结论加以证明；
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，请说明理由。
解：（1）提示：先求出M（0，－2）、N（，0），再用待定系数法易得直线MP的解析式：，过M、N、B三点的抛物线的解析式为；
（2）①四边形OMCB是矩形，证明如下：
在⊙A不动，⊙A运动变化过程中，恒有∠BAO＝∠MAP，OA＝AP，∠AOB＝∠APM＝900，∴△AOB≌△APM，∴PB＝PM，AB＝AM，∴PB＝OM，而PB＝BC，OM＝BC。由切线长定理知MC＝MP，∴MC＝OB，∴四边形MOBC是平行四边形，又∵∠MOB＝900，∴四边形MOBC是矩形。
②存在，由上证明可知，Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN＝MN。因此存在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在。由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称，∴BN＝，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△。
跟踪训练：
一、选择题：
1、如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（ ）
A、相交 B、外切 C、外离 D、外切或外离
2、两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，大圆的半径是，小圆的半径是，则等于（ ）
A、 B、 C、2 D、
3、已知⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B。已知⊙O1和⊙O2的面积比为3∶1，则AP∶PB＝（ ）
A、3∶1 B、6∶1
C、9∶1 D、∶1
4、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，外公切线BC与⊙O1、⊙O2分别切于B、C，与连心线O1O2交于P，若∠BPO1＝300，则⊙O1和⊙O2的半径之比为（ ）
A、1∶2 B、3∶1 C、2∶3 D、3∶4
二、填空题：
1、两圆的外公切线长为，内公切线长为，若圆心距是20，则两圆的半径分别是 。
2、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，若AB＝5，BC＝3，则⊙O1的半径为 。
3、如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是外公切线，A、B是切点，两圆半径分别为9cm、4 cm，则AC∶BC＝ 。

4、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，现给出四个命题：
①若AC是⊙O2的切线，且交⊙O1于C，AD是⊙O1的切线，且交⊙O2于D，则：；
②连结AB，O1O2，若O1 A＝15 cm，O2 A＝20 cm，AB＝24 cm，则O1O2＝25 cm；
③若CA是⊙O1的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；
④若过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结则。
则正确命题的序号是 （填序号）。
5、两外切，其半径分别为4和3，这两个圆的连心线与一条外公切线所夹锐角的正切值为 。
6、如上页图，⊙O1与⊙O2外切于A，⊙O1的弦BC延长切⊙O2于D，BA交⊙O2于E，若∠BDE＝1100，则∠BAC＝ 。
三、计算或证明题：
1、如图，已知矩形ABCD，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与AD、AB、AC相切，⊙O2与BC、CD相切。
（1）若AB＝18，BC＝25，求⊙O2的半径；
（2）若连心线O1O2与BC的夹角为300，O1O2＝12，求矩形ABCD的面积。
2、如图，已知⊙O1与⊙O2外切于P，外公切线AB分别切⊙O1于A，切⊙O2于B，且AB＝，∠A O1O2＝600，求两圆的半径及O1O2的长。

3、如图，已知⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD＝2，CB＝，求EF的长；
（3）若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、选择题；DBDB
二、填空题：
1、6，4；2、；3、3∶2；4、①②③④；5、；6、400
三、计算或证明题：
1、略解：（1）易知⊙O1的半径为9，设小圆半径为，连结O1O2、O1E、O2F，作O2M⊥O1E于M，则，解得；（2）矩形ABCD的面积为；
2、，。
3、（1）证BP⊥CB；（2）；（3）存在。
26.正多边形和圆

知识考点：
1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；
2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；
3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；
4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。
精典例题：
【例1】如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径与的平方比即可。
解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为，正六边形外接圆⊙O2的半径为，由题意得：，，∴∶＝∶；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。
【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为，求扇形的面积。
分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，，由条件＝1500，看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。
解：设扇形的半径为，则，＝1500，
∴，
∴。
【例3】如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝600，求阴影部分的周长。
分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA、PB和的长，连结OA、OB，根据切线长定理得PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠，∠APO＝∠BPO＝300，在Rt△PAO中可求出PA的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB＝1200，因此可求出的长，从而能求出阴影部分的周长。
解：连结OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠
∠APO＝∠APB＝300
在Rt△PAO中，AP＝
OA＝PO＝2，∴PB＝
∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠
∴∠AOB＝300，∴
∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋＝＝cm
答：阴影部分的周长为cm。
【例4】如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。
分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP。
解：连结OP
∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB
又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2
∴∠1＝600，∠2＝300
∴PM＝
而，
设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为
∴
＝＝
探索与创新：
【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为O，现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点，记△ABC的面积为，以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为、、，试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆半径分别为和（和均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为P，如图有：
，，
∴………①
又∵
∴………②
把②代入①得：（定值）
∴为定值，这个定值为。
跟踪训练：
一、选择题：
1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，两同心圆间的圆环的面积为，过小圆上任一点P作大圆的弦AB，则 的值是（ ）
A、16 B、 C、4 D、
3、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（ ）
A、＜＜ B、＜＜
C、＜＜ D、＜＜

4、如图，⊙O1和⊙O2外切于P，它们的外公切线与两圆分别相切于点A、B，设⊙O1的半径为，⊙O2的半径为，的长为，的长为，若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图，A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、

6、如图，在△ABC中，∠BAC＝300，AC＝，BC＝，以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的表面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：
1、扇形的圆心角为1500，扇形的面积为cm2，则扇形的弧长为 。
2、一个圆锥形零件底面圆半径为4 cm，母线长为12 cm，则这个零件的展开图的圆心角的度数是 。
3、如图，正△ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，要使扇形ODE绕O无论怎样旋转，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，则扇形的圆心角应为 。

4、如图，A、B、C、D是圆周上的四个点，，且弦AB＝8，CD＝4，则图中两个弓形（阴影）面积的和是 （结果保留三个有效数字）。
5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（取3.14）
三、计算或证明题：
1、如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求的长。
3、如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：
（1）被剪掉（阴影）部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
4、如图，⊙O与⊙外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，⊥OA于E，且∠AOC＝1200。
（1）求证：⊙的周长等于的弧长；
（2）若⊙的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。

跟踪训练参考答案
一、选择题：DABCBD
二、填空题：
1、cm；2、1200；3、1200；4、15.4；5、2.35
三、计算或证明题：
1、；
2、；
3、（1）平方米，（2）米；
4、（1）证明：由已知得∠AO＝600，ABO为直角梯形，设⊙O与⊙的半径分别为、，则cos600＝，即，∴⊙的周长为，而＝＝，∴⊙的周长等于的弧长。（2）cm2。