初二数学.春.直升班.教师版.第14讲 四边形动态问题

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四边形动态问题
模块一 动态几何中的函数关系
模块二 运动产生的特殊图形
动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。是近几年中考的一个热点类问题。主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。解题时要善于观察运动过程中的不变性。
解决动态几何问题的三步曲：
1．用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）；
2．分析运动停止条件，求出自变量取值范围；
3．分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。
模块一 动态几何中的函数关系
0
已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
①当时，
；
②当时
；
③当时，
．
综上所述，
．
【教师备课提示】这道题主要讲解动态问题的基本三步走．
如图，在平行四边形ABCD中，，，．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使．
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN//PM．设点Q运动的时间为t秒，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2．求S关于t的函数关系式．
（1）当点P运动2秒时，，
由，知，．
∴cm2．
（2） = 1 \* GB3 ①当时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则，，，，，．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
= 2 \* GB3 ②当时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则，，，，
，，，而，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
= 3 \* GB3 ③当时，点P和点Q都在BC上运动．
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则，，，．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
故S关于t的函数关系式为．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下方法，锻炼计算能力．
如图，矩形OABC顶点B的坐标为，定点D的坐标为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当_______时，的边QR经过点B；
（2）设和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

（1）当秒时，的边QR经过点B．
（2）①当时，如图1-1所示．设PR交BC于点G，
过点P作于点H，则，．
；
②当时，如图1-2所示．设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．
过点P作于点H，则，．
QD=t，则，∴．


③当2＜t≤4时，如图1-3所示．设RQ与AB交于点T，
则．，∴．
.
综上所述， ．
模块二 运动产生的特殊图形
0
如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，，，，．如果点P由B点出发沿BC方向以1cm/s速度向点C匀速运动，同时点Q由A点出发以2cm/s速度沿AB方向点B匀速运动，当Q点到达B点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为．
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
（1）；
（2）；，．
【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的等腰三角形，需要分类讨论，注意题目中的特殊角．
如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，，点D为OA边的中点，连接BD．
（1）直接写出点D的坐标：__________，__________；
（2）如图5-2，若点M从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得为直角三角形时所有t值和取值范围．
图5-1 图5-2 备用图
（1），．
（2）①如图1所示：
∵，，
∴点N从O到C需要4s，点M从D到A需要2s．
∴时，点N在OC上，点M在DA上．
∴当时，为直角三角形．
②如图2所示：
当时，是直角三角形．
∵，∴．
∴．
∴四边形OAMN为矩形．
∴．
∴．
解得：．
∴当时，为直角三角形．
③如图3所示：
当点N与点C重合时，为直角三角形．
∵，
∴．
综上所述，当时或时或时，为直角三角形．
【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的直角三角形，需分析运动过程 ．
已知：矩形ABCD中，，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图6-1）．
（1）如图6-2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（2）在（1）的条件下，如图6-3，若，，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
图6-1 图6-2 图6-3
（1）证法一：∵矩形ABCD，
∴AD//BC，，
∵，
∴，
即，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，，
∴四边形AMCN是菱形；
证法二：由翻折得，，，，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AMCN是菱形；
（2）设菱形AMCN的边长为x cm，则，
在中，，
即，
解得，
∴，
显然，当点P在AM上时，点Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形，同理，点P在AB上时，点Q在DN或CN上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P在BM上，点Q在DN上时，才能构成平行四边形，此时，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t，
∴，
，
∴，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的平行四边形，需要分类讨论，注意题目中的特殊角．
复习巩固
模块一 动态几何中的函数关系
0
如图，在矩形ABCD中，，．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为S(cm2) ．
（1）当秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．
（1）如图1，当秒时，，，，，，
由
；
（2）①如图1，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时，，，，，
．
②如图2，当点F追上点G时，，解得，
当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时，，
，
．即．
在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图所示，且、，中，，，DE边在x轴上且E点与原点重合，将沿x轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，当点E与点C重合时停止运动，设平移的时间为t，与矩形OABC重叠部分的面积为S，求在平移过程中S与t的函数关系式．
分为三种情况：
= 1 \* GB3 ①当时，如图1，设EF交OA于Q，
∵，，
∴，
∵四边形AOCB是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分的面积；
②当时，如图2，
由①知：，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AB//OC，，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分的面积
，
即；
③当时，如图3，
∵，
∴重叠部分的面积
；
综上所述：．
模块二 运动产生的特殊图形
0
如图，正方形ABCD的边长为6cm，P、Q分别是BC、AD边上的两个动点，点P从点B出发以3cm/s的速度向点C运动，点Q从点D出发以4cm/s的速度向点A运动．P、Q两点同时出发，当Q到达A点时，Q、P点同时停止运动．过Q作于F，交AC于E，连接EP．设运动的时间为，的面积为．当x为多少时，是等腰直角三角形．
∵，
∴和时，是等腰直角三角形，
= 1 \* GB3 ①时，，
，
解得，
②时，点P和点F重合，
，
∴，
解得，
综上所述，或时，是等腰直角三角形．
如图，在中，，，．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接DE、EF．
（1）求证：；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
（1）在中，，，，
∴，
又∵，∴；
（2）能.理由如下：
∵，，∴AE//DF.
又，∴四边形AEFD为平行四边形
∵，，
．
若使为菱形，则需．
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形；
（3）①时，四边形EBFD为矩形．
在中，，∴．即，．
②时，
由（2）知EF//AD，∴，∵，
∴．即，．
③时，此种情况不存在．
综上所述，当或4时，为直角三角形．