【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）4平面直角坐标系基础.教师版

一、平面直角坐标系

楷体五号

1．有序实数对

楷体五号

有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作．

注意：当时，和是不同的两个有序实数对．

楷体五号

2．平面直角坐标系

楷体五号

在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．

楷体五号

3．象限

楷体五号

轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．

注意：

（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．

（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．

楷体五号

4．点的坐标

楷体五号

对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．

坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

楷体五号

二、坐标平面内特殊点的坐标特征

楷体五号

1．各象限内点的坐标特征

楷体五号

点在第一象限；

点在第二象限；

点在第三象限；

点在第四象限．

楷体五号

2．坐标轴上点的坐标特征

楷体五号

点在轴上，为任意实数；

点在轴上，为任意实数；

点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．

楷体五号

3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征

楷体五号

点在第一、三象限夹角的角平分线上；

点在第二、四象限夹角的角平分线上．

楷体五号

4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

楷体五号

平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；

平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．

楷体五号

5．坐标平面内对称点的坐标特征

楷体五号

点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．

点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．

点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．

点关于点的对称点是．

楷体五号

三、用坐标表示地理位置

楷体五号

1．直角坐标系法

楷体五号

先确定原点，然后画出轴和轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．

楷体五号

2．方位角法

楷体五号

从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．

四、中点坐标公式

已知坐标系中两点.则A、B的中点C坐标为

设点c（x,y）,则即,所以.同理求出

一、  坐标平面内点的位置确定

【例1】        与直角坐标平面内的点对应的坐标是（    ）

A．一对实数     B．一对有序实数  

C．一对有理数    D．一对有序有理数

【难度】1星

【解析】略

【答案】B

【例2】        已知A、B两地相距10km,在地图上相距10cm,则这张地图的比例尺（）

A.100000:1       B.1000:1       C.1:100000       D.1:1000

【难度】1星

【解析】略

【答案】C

【例3】         (1)平面内两条互相______并且原点______的______，组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为______或______，习惯上取______为正方向；竖直的数轴称为______或______，取______为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的______．直角坐标系所在的______叫做坐标平面．

(2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个______来表示．如果有序数对(a,b)表示坐标平面内的点A，那么有序数对(a，b)叫做______．其中，a叫做A点的______；b叫做A点的______．

(3)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被______分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，如图所示，分别叫做______、______、______、______．注意______不属于任何象限．

【难度】1星

【解析】略

【答案】(1)垂直、重合、数轴，x轴、横轴，向右方向；y轴、纵轴，向上方向；原点、平面

(2)有序数对．A点的坐标，横坐标，纵坐标．

(3)两条坐标轴，第一象限、第二象限、第三象限、第四象限、坐标轴上的点.

二、                  点的位置确定

1．     平面直角坐标系

【例4】        在图中的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来．

（1）、、、、、、、、、、；

（2）、、、；

（3）、、、、；

（4）、、、、；

（5）

观察所得的图形，你觉得它像什么？

【难度】1星

【解析】略

【答案】如图

【例5】        已知直角三角形中，，，，若点在坐标原点，点在轴上．

（1）在平面直角坐标系中画出三角形；

（2）求点，的坐标．

【难度】2星

【解析】略

【答案】（1）如图，则，，，为所求．

（2）：，；：，；：，；：，

【例6】        在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k为整数，求k的值．

【难度】3星

【解析】根据第三象限点的坐标特征解答即可．

【答案】∵点A（1-2k，k-2）在第三象限，
∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：0.5＜k＜2，
又∵k为整数，

【例7】        电影票上“6排3号”,记作,则8排6号记作_________

【难度】2星

【解析】略

【答案】（8,6）

2、极坐标

【例8】         我们规定：沿正北方向顺时针旋转角再前进a个单位，记作，则分别作出下列有序数对所表示的图形：（1）；（2）.

【难度】2星

【解析】略

【答案】（1）                        （2）略

3、坐标表示地理位置

【例9】         毛小明家的坐标为（1,2）,小丽家的坐标为（-2,-1）,则小明家在小丽家的（   ）

­A．东南方向­     B．东北方向    ­C．西南方向    ­D．西北方向

【难度】2星

【解析】略

【答案】

【例10】     从车站向东走400米,再向北走500米到小红家；从车站向北走500米,再向西走200米到小强家,则 （   ）

A．小强家在小红家的正东   B．小强家在小红家的正西

­C．小强家在小红家的正南   D．小强家在小红家的正北

【难度】2星

【解析】略

【答案】B

【例11】     芳芳放学从校门向东走400米,再往北走200米到家；丽丽出校门向东走200 米到家,则丽丽家在芳芳家的 （   ）

A．东南方向­  B．西南方向；   C．东北方向­  D．西北方向

【难度】2星

【解析】略

【答案】B

三、点的坐标特征

1、各象限点的坐标特征

【例12】     是平面直角坐标系内一点，

（1）若，则点在                ．

（2）若，则点在                ．

（3）若，则点在                ．

（4）若，则点在                ．

（5）若，则点在                 ．

（6）若，则点在             ．

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1）第一三象限

（2）第二四象限

（3）第一三象限及坐标轴上

（4）第二四象限及坐标轴上

（5）坐标轴上

（6）原点

【例13】     如图，在直角坐标系中，卡片盖住的数可能是（　　）

【难度】1星

【解析】略

【答案】C

【例14】     在平面直角坐标系中，点在第一象限，则的取值范围是         ；

【难度】2星

【解析】略

【答案】

【例15】     如果点在第四象限，那么的取值范围是（    ）

A．   B．  C．   D．

【难度】2星

【解析】略

【答案】D

【例16】     对任意实数，点一定不在（    ）

        A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

【难度】2星 

【解析】略

【答案】Ｃ

【例17】     证明：⑴ 点不在第三、四象限；⑵ 点不在第四象限；

【难度】2星

【解析】略

【答案】⑴∵，∴点（，）不在第三、四象限；⑵若，不等式组无解，∴点（，）不在第四象限；

【例18】     已知，求的坐标，并指出它在第几象限内．

【难度】2星

【解析】略

【答案】，在第四象限．

【例19】     已知点在第二象限，则点在（   ）

A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限

【难度】2星

【解析】略

【答案】D

2、轴上点坐标特征

【例20】     （1）点若在轴上，则该点坐标为        ，若在轴上，则该点坐标为        ．

（2）如果点在第三象限，则点在        ．

【难度】2星

【解析】略

【答案】（1），；（2）第四象限．

【例21】     如果点满足，那么点必定在（   ）

A．原点上    B．轴上    C．轴上   D．坐标轴上

【难度】2星

【解析】略

【答案】D

【例22】     已知点在轴上，求点的坐标．

【难度】2星

【解析】∵点在轴上，∴纵坐标为0，即，，∴

【答案】

【例23】     点在直角坐标系的轴上，则点的坐标为（   ）

A．    B．    C．    D．

【难度】2星

【解析】略

【答案】B

3、象限角平分线上点坐标特征

【例24】     （1）若，则点在                  ．

（2）若，则点在               ．

【难度】1星

【解析】略

【答案】（1）一三象限坐标轴夹角平分线上

（2）二四象限坐标轴夹角平分线上

【例25】     点在第二象限的角平分线上，则　　

【难度】2星

【解析】略

【答案】

【例26】     ⑴ 已知点在第二象限坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．

⑵ 已知点在第一象限坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．

⑶ 已知点在坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．

【难度】2星

【解析】略

【答案】⑴，

⑵，

⑶点坐标为或

4、平行或垂直于坐标轴直线上的点坐标特征

【例27】     如图，长方形ABCD中，A（-4,1），B（0,1），C（0,3），则点D的坐标是（）

A.（-3,3）           B.（0，-2）         C（-4,3）           D（0,1）

【难度】2星

【解析】略

【答案】C

【例28】     在平面直角坐标系中，如图，描出下列各点：A（2,2），B（-2,2），C（-2，-3），并指出直线AB与X轴的位置关系及直线BC与y轴的位置关系.

【难度】2星

【解析】略

【答案】描点略   ABX轴   BCy轴.

【例29】     已知正方形ABCD的边长为4，它在坐标系内的位置如图所示，请你求出下列情况下四个顶点的坐标．

【难度】2星

【解析】略

【答案】（1）A（4,0）B（4,4）C（0,4）D（0,0）(2)A（2，-2）B（2,2）C(-2,2)D(-2,-2)

(3) A（2,-4） B（2,0）  C(-2,0)D(-2,-4) (4)A（0,4）   B（0,0）   C(-4,0)D(-4,-4)

【例30】     在直角坐标系中，线段BCx轴，则（）

A、点B与C的横坐标相等             B、点B与C的纵坐标相等

C、点B与C的横坐标与纵坐标分别相等  D、点B与C的横坐标、纵坐标都不相等

【难度】1星

【解析】略

【答案】

四、坐标与距离

1、点到坐标轴的距离

【例31】     点在轴上，该点坐标       ；该点到轴，轴的距离分别为      ，       ；

【难度】2星

【解析】略

【答案】，，

【例32】     ⑴ 如果点在第三象限，且点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．

⑵ 如果点在第四象限，且点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．

⑶ 如果点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．

【难度】2星

【解析】略

【答案】⑴

⑵

⑶，，，

【例33】     点到轴的距离为，到轴的距离为，该点坐标为             ．

【难度】2星

【解析】略

【答案】、、、

【例34】     写出下列各点的坐标：

        ⑴ 如图，（  ，  ），（  ，  ），（  ，  ），（  ，  ）；

⑵ 点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为         ；

【难度】2星

【解析】略

【答案】⑴ 、、、；

⑵、、、

【例35】     已知、、为长方形的三个顶点，

⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出、、三点；

⑵ 能根据这三个点的坐标描出第四个顶点，并写出它的坐标吗？

⑶ 描点后并进一步判断点、、、分别在哪一象限？

⑷ 观察、两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？与呢？与呢？

⑸ 直线、直线有何特征，你能用符号语言表达直线、直线上任一点的坐标吗？

⑹ 求出线段、的长度，并求出长方形的面积．

【难度】3星

【解析】略

【答案】⑴ 略

⑵

⑶ ：第二象限；：第三象限；：第四象限；：第一象限

⑷ 、坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于轴对称．

、坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于轴对称．

、坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．

⑸ 直线轴，直线轴，直线上任一点可表示为，直线上任一点可表示为

⑹ ，，．

1. 点到横轴的距离为     ，到纵轴的距离为     ．

【难度】2星

【解析】略

【答案】，

2. 已知点在轴上，则点的坐标为       ．

【难度】2星 

【解析】略

【答案】

3. 点在第一象限，求的范围．

【难度】2星

【解析】略

【答案】

4. 根据如图位置，写出梯形的各点坐标，并注明在第几象限．

【难度】1星

【解析】略

【答案】，在第三象限；，在第四象限，，在第一象限，，在第二象限．

5. （1）已知点在第二象限，则点在第        象限．

（2）已知点在第二象限，则的取值范围是            ．

（3）已知点在第二象限，且为偶数，则的值为        ．

【难度】2星

【解析】略

【答案】（1）一；（2）；（3）5