2020届二轮复习(文) 三角恒等变换与解三角形 作业 练习
展开专题限时集训(二) 三角恒等变换与解三角形
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．(2019·成都检测)若sin＝，则cos＝( )
A. B. C．－ D．－
D [∵sin＝，∴cos＝，
∴cos＝cos 2＝2cos2－1＝－，故选D.]
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若＝，则cos B＝( )
A．－ B. C．－ D.
B [在△ABC中，由正弦定理，得＝＝1，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝，cos B＝，故选B.]
3．(2019·开封模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A. B．1 C. D．2
C [∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝.∵A为△ABC的内角，∴A＝60°，
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×＝.故选C.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
A [根据正弦定理得＝＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0，又三角形中sin A＞0，∴cos B＜0，＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．]
5．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )
A. km2 B. km2
C. km2 D. km2
D [如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．]
6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.
3 [在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.]
7．(2019·荆州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sin Bsin C，sin C＝2sin B，则A＝________.
30° [根据正弦定理可得a2－b2＝bc，c＝2b，解得a＝b.
根据余弦定理cos A＝＝＝，得A＝30°.]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．
6 [在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，则＝，又sin C＞0，则cos C＝＝，又C为三角形的内角，则sin C＝＝＝，则△ADC的面积为AC·CDsin C＝×4×3×＝6.]
[能力提升练]
(建议用时：15分钟)
9．如图，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A＝( )
A. B.
C. D.
C [∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.]
10．在外接圆半径为的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则b＋c的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D.
A [根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝－，A＝120°.因为△ABC外接圆半径为，所以由正弦定理得b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)，故当B＝30°时，b＋c取得最大值1.]
11．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为1.
12．(2019·兰州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.
[解] (1)∵b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A，
∴2bccos A＝accos C＋c2cos A，
∵c＞0，∴2bcos A＝acos C＋ccos A，
由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，
即2sin Bcos A＝sin(A＋C)．
∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
∴2sin Bcos A＝sin B，即sin B(2cos A－1)＝0，
∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A＝，
∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc＝，∴bc＝25.
∵cos A＝＝＝，∴b2＋c2＝50，
∴(b＋c)2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10(或求出b＝c＝5)，
∴sin B＋sin C＝b·＋c·＝(b＋c)·＝10×＝.
题号 | 内容 | 押题依据 |
1 | 诱导公式、倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式 | 利用正弦定理、余弦定理求解三角形的面积，在近几年全国卷中常有涉及，应予以重视．本题将三角恒等变换与余弦定理相结合，考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养 |
2 | 正弦定理、余弦定理 | 利用正弦定理、余弦定理解决三角形有关角、边长等的运算是每年高考的重点，本题将正、余弦定理与平面几何的相关知识综合考查，很好地考查了学生的数学运算和逻辑推理核心素养 |
【押题1】 [新题型]△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin 2C＋cos(A＋B)＝0且c＝，a＞c，a＋b＝5.则∠C＝________，△ABC的面积是________．
[由sin 2C＋cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π，
得2sin Ccos C－cos C＝0，所以cos C＝0或sin C＝.
由c＝，a＞c得，cos C＝0不成立，所以sin C＝，所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，故S△ABC＝absin C＝×4×＝.]
【押题2】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
[解] (1)由2c＋a＝2bcos A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＋sin A＝0，
因为sin A≠0，所以cos B＝－，
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝.
因为cos∠BAC＝＝＝，
所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，
所以BD＝.
