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2021届二轮复习 17 基本初等函数、函数与方程 作业 练习
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课时作业17 基本初等函数、函数与方程
[A·基础达标]
1．函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
2．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
3．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
4．若函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝cx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
8．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
9．函数f(x)＝|lg(2－x)|在下列区间中为增函数的是( )
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
10．[2020·广州市调研检测]已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
12．对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
13．若函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x，则f[g(19)]＋g[f(19)]＝________.
14．有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．
15．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．
16．设函数f(x)＝若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________________．
[B·素养提升]
1．[2020·广东揭阳摸底]已知函数f(x)＝log，则下列判断：
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f(x)的值域为[－1，＋∞)；③f(x)是奇函数；④f(x)在(0,1)上单调递增．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0
A.倍 B．10倍
C．10倍 D．ln倍
4．[2020·威海模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ln(a－x)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的值域为( )
A．(0,2) B．[0，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，0]
5．对于函数f(x)，若∀a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C．[1,2] D．[0，＋∞)
6．[2020·江西南昌第二中学期中]函数f(x)＝－|lg x|的零点个数为________．
7．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0
课时作业17 基本初等函数、函数与方程
[A·基础达标]
1．解析：函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，∴令x－1＝0，可得x＝1，此时y＝1，∴恒过点A(1,1)．把x＝1，y＝1代入各选项验证，只有A选项中函数的图象没有经过A点．故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f·f<0，∴f(x)在区间上有唯一的零点．
∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．
答案：C
3．解析：水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
答案：B
4．解析：∵当a>1时，函数y＝在[0,1]上单调递减，∴＝1且＝0，解得a＝2；当0
5．解析：由图象可知，a>1，b＝，0b>c，故选A.
答案：A
6．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D.
答案：D
7．解析：由题意可知a2－k－1＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0
8．解析：由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，
∴f(x)＝lg＝lg，令>0，则－1
答案：D
9．解析：
将y＝lg x的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D.故选D.
答案：D
10．解析：因为函数f(x)＝(m－1)xn是幂函数，所以m－1＝1，m＝2，又f(x)＝xn的图象过点(2,8)，所以8＝2n，n＝3，所以f(x)＝x3，因为f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，又ln π>ln e＝1，＝<＝<1，所以a
11．解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg，得－26.7＋1.45＝lg，lg＝－25.25，所以lg＝－10.1，lg＝10.1，＝1010.1.故选A.
答案：A
12.
解析：由“优美点”的定义可知，若(x0，f(x0))为“优美点”，则点(－x0，－f(－x0))也在曲线f(x)上，且(－x0，－f(－x0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，即曲线y＝－x2＋2x(x>0)，直线y＝－x＋2过点(2,0)，故与曲线y＝－x2＋2x(x>0)交于两点，所以曲线f(x)有4个优美点．故选C.
答案：C
13．解析：f[g(19)]＋g[f(19)]＝f(log219)＋g(219)＝2log219＋log2219＝19＋19＝38.
答案：38
14．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．
答案：②④
15．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，∴无解；当0
16．解析：函数f(x)＝函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．
设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1
[B·素养提升]
1．解析：由x＋>0，即>0得x>0，故①正确，③错误；∵y＝x＋在(0,1)上单调递减，故f(x)在(0,1)上单调递增，故④正确．∵x＋≥2，∴log≤－1，故②错误，故选C.
答案：C
2．解析：由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1
3．解析：将η1＝70 dB，η2＝60 dB代入η＝10·lg中，得①－②得10＝10·，则lg＝1，解得＝10.故选B.
答案：B
4．解析：因为函数f(x)＝ln x＋ln(a－x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，
即ln(1－x)＋ln(a－1＋x)
＝ln(1＋x)＋ln(a－1－x)，
所以(1－x)(a－1＋x)＝(1＋x)(a－1－x)，
整理得(a－2)x＝0恒成立，
所以a＝2，所以f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)．
又f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，
因为0
答案：D
5．解析：由题意可得f(a)＋f(b)>f(c)，对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f(x)＝＝1＋，
①当t－1＝0，即t＝1时，f(x)＝1，此时，f(a)，f(b)，f(c)都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
②当t－1>0时，f(x)在R上是减函数，12.再由f(a)＋f(b)>f(c)恒成立，可得2≥t，结合大前提t－1>0，解得1f(c)，可得2t≥1，解得1>t≥.综上可得，≤t≤2，故选A.
答案：A
6．解析：f(x)＝－|lg x|的零点个数，即函数y＝与y＝|lg x|的图象的交点个数．作出函数y＝与y＝|lg x|的大致图象，如图．由图可知y＝与y＝|lg x|的图象有2个交点，即f(x)＝－|lg x|的零点个数为2.
答案：2
7．解析：易得f(x)＝|log3x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵实数m，n满足01，∴－log3m＝log3n，∴mn＝1.∵f(x)在[m2，n]上的最大值为2，且函数f(x)在[m2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴f(m2)＝2或f(n)＝2.又∵0f(m)＝f(n)，∴f(m2)＝2，即－log3m2＝2，解得m＝(负值已舍去)．∴n＝3.∴＝9.
答案：9
8．解析：由题意，得f(f(x))＝作出函数f(f(x))的图象，如图．由图易知，当m∈(1,2]时，函数y＝f(f(x))－m有3个不同的零点．
答案：(1,2]
[A·基础达标]
1．函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
2．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
3．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
4．若函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝cx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
8．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
9．函数f(x)＝|lg(2－x)|在下列区间中为增函数的是( )
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
10．[2020·广州市调研检测]已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
12．对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
13．若函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x，则f[g(19)]＋g[f(19)]＝________.
14．有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．
15．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．
16．设函数f(x)＝若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________________．
[B·素养提升]
1．[2020·广东揭阳摸底]已知函数f(x)＝log，则下列判断：
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f(x)的值域为[－1，＋∞)；③f(x)是奇函数；④f(x)在(0,1)上单调递增．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0
A.倍 B．10倍
C．10倍 D．ln倍
4．[2020·威海模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ln(a－x)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的值域为( )
A．(0,2) B．[0，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，0]
5．对于函数f(x)，若∀a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是( )
A. B．[0,1]
C．[1,2] D．[0，＋∞)
6．[2020·江西南昌第二中学期中]函数f(x)＝－|lg x|的零点个数为________．
7．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0
课时作业17 基本初等函数、函数与方程
[A·基础达标]
1．解析：函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，∴令x－1＝0，可得x＝1，此时y＝1，∴恒过点A(1,1)．把x＝1，y＝1代入各选项验证，只有A选项中函数的图象没有经过A点．故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f·f<0，∴f(x)在区间上有唯一的零点．
∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．
答案：C
3．解析：水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
答案：B
4．解析：∵当a>1时，函数y＝在[0,1]上单调递减，∴＝1且＝0，解得a＝2；当0
5．解析：由图象可知，a>1，b＝，0
答案：A
6．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D.
答案：D
7．解析：由题意可知a2－k－1＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0
8．解析：由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，
∴f(x)＝lg＝lg，令>0，则－1
答案：D
9．解析：
将y＝lg x的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D.故选D.
答案：D
10．解析：因为函数f(x)＝(m－1)xn是幂函数，所以m－1＝1，m＝2，又f(x)＝xn的图象过点(2,8)，所以8＝2n，n＝3，所以f(x)＝x3，因为f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，又ln π>ln e＝1，＝<＝<1，所以a
11．解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg，得－26.7＋1.45＝lg，lg＝－25.25，所以lg＝－10.1，lg＝10.1，＝1010.1.故选A.
答案：A
12.
解析：由“优美点”的定义可知，若(x0，f(x0))为“优美点”，则点(－x0，－f(－x0))也在曲线f(x)上，且(－x0，－f(－x0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，即曲线y＝－x2＋2x(x>0)，直线y＝－x＋2过点(2,0)，故与曲线y＝－x2＋2x(x>0)交于两点，所以曲线f(x)有4个优美点．故选C.
答案：C
13．解析：f[g(19)]＋g[f(19)]＝f(log219)＋g(219)＝2log219＋log2219＝19＋19＝38.
答案：38
14．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．
答案：②④
15．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，∴无解；当0
16．解析：函数f(x)＝函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．
设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1
[B·素养提升]
1．解析：由x＋>0，即>0得x>0，故①正确，③错误；∵y＝x＋在(0,1)上单调递减，故f(x)在(0,1)上单调递增，故④正确．∵x＋≥2，∴log≤－1，故②错误，故选C.
答案：C
2．解析：由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1
3．解析：将η1＝70 dB，η2＝60 dB代入η＝10·lg中，得①－②得10＝10·，则lg＝1，解得＝10.故选B.
答案：B
4．解析：因为函数f(x)＝ln x＋ln(a－x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(1－x)＝f(1＋x)，
即ln(1－x)＋ln(a－1＋x)
＝ln(1＋x)＋ln(a－1－x)，
所以(1－x)(a－1＋x)＝(1＋x)(a－1－x)，
整理得(a－2)x＝0恒成立，
所以a＝2，所以f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)．
又f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，
因为0
答案：D
5．解析：由题意可得f(a)＋f(b)>f(c)，对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f(x)＝＝1＋，
①当t－1＝0，即t＝1时，f(x)＝1，此时，f(a)，f(b)，f(c)都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
②当t－1>0时，f(x)在R上是减函数，1
答案：A
6．解析：f(x)＝－|lg x|的零点个数，即函数y＝与y＝|lg x|的图象的交点个数．作出函数y＝与y＝|lg x|的大致图象，如图．由图可知y＝与y＝|lg x|的图象有2个交点，即f(x)＝－|lg x|的零点个数为2.
答案：2
7．解析：易得f(x)＝|log3x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵实数m，n满足0
答案：9
8．解析：由题意，得f(f(x))＝作出函数f(f(x))的图象，如图．由图易知，当m∈(1,2]时，函数y＝f(f(x))－m有3个不同的零点．
答案：(1,2]
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