2020年广东深圳市中考数学一轮复习 一次函数和反比例函数补充练习解析版
展开一、选择题
1.下列函数中,正比例函数是( )
A. y=﹣8x B. y= 8x C. y=8x2 D. y=8x﹣4
2.直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是( )
A. y=3x+3 B. y=3x﹣2 C. y=3x+2 D. y=3x﹣1
3.已知点 A 是直线 y=2x 与双曲线 y=m+1x ( m 为常数)一支的交点,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 B ,且 OB=2 ,则 m 的值为( )
A. −7 B. −8 C. 8 D. 7
4.如图,一次函数y=2x+1的图象与坐标轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
5.如图,点A在反比例函数y= 3x (x>0)的图象上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,点C在y轴上,则△ABC的面积为( )
A. 3 B. 2 C. 32 D. 1
6.已知ab<0,一次函数y=ax﹣b与反比例函数y= ax 在同一直角坐标系中的图象可能( )
A. B. C. D.
7.若 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 都在函数 y=2019x 的图象上,且 x1<0
8.如图所示,直线l1:y =32 x+6与直线l2:y =−52 x﹣2交于点P(﹣2,3),不等式 32 x+6 >−52 x﹣2的解集是( )
A. x>﹣2 B. x≥﹣2 C. x<﹣2 D. x≤﹣2
9.在平面直角坐标系中,将函数 y=3x 的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与x轴的交点坐标为( )
A. (2,0) B. (-2,0) C. (6,0) D. (-6,0)
10.如图,一次函数 y1=ax+b 和反比例函数 y2=kx 的图象相交于 A , B 两点,则使 y1>y2 成立的 x 取值范围是( )
A. −2
11.如图,正比例函数 y=kx 与反比例函数 y=4x 的图象相交于A、C两点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,连接BC,则 ΔABC 的面积等于( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
12.对于反比例函数 y=−2x ,下列说法不正确的是 ( )
A. 图象分布在第二、四象限 B. 当 时, 随 的增大而增大
C. 图象经过点(1,-2) D. 若点 , 都在图象上,且 ,则
13.如图,直线 y=−33x+2 与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B,则点O′的坐标是( )
A. ( 3 ,3) B. ( 3 , 3 ) C. (2, 23 ) D. ( 23 ,4)
14.如图,平行于x轴的直线与函数 y=k1x (k1>0,x>0),y=k2x(k2>0,x>0)的图像分别交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为( )
A. 8 B. -8 C. 4 D. -4
15.如图, A、B 是函数 y=12x 上两点, P 为一动点,作 PB//y 轴, PA//x 轴,下列说法正确的是( )
① ΔAOP≅ΔBOP ;② SΔAOP=SΔBOP ;③若 OA=OB ,则 OP 平分 ∠AOB ;④若 SΔBOP=4 ,则 SΔABP=16
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填空题
16.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为________.
17.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数 y=kx(x>0) 的图象恰好经过点C,则k的值为________.
18.如图,菱形ABCD顶点A在例函数y= 3x (x>0)的图象上,函数 y= kx (k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=2,∠DAB=30°,则k的值为________.
19.如图,矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴,y轴上,顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0).将线段OC绕点D逆时针旋转60°至线段OD,若反比例函数y= kx (k≠0)的图象经过A、D两点,则k值为________.
20.如图,函数 y=kx (k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A , B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C , D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E , F . 现有以下四个结论:①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M , 则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则 k=2+3 ;④若 MF=25MB ,则MD=2MA . 其中正确的结论的序号是________.
21.如图,在平面直角坐标系中,反比例y= kx (k>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC= 52 ,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为________.
22.如图,直线y=4﹣x与双曲线y =3x 交于A , B两点,过B作直线BC⊥y轴,垂足为C , 则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是________.
23.如图, ΔOAC 和 ΔBAD 都是等腰直角三角形, ∠ACO=∠ADB=90∘ ,反比例函数 y=kx 在第一象限的图象经过点B,若 OA2−AB2=12 ,则 k 的值为________.
24.如图,反比例函数 y=3x 与一次函数 y=x−2 在第三象限交于点 A .点 B 的坐标为(一3,0),点 P 是 y 轴左侧的一点.若以 A、O、B、P 为顶点的四边形为平行四边形.则点 P 的坐标为________.
25.如图,正比例函数y=kx与反比例函数y= 6x 的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是________ .
三、解答题
26.如图,已知反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象与一次函数 y=−x+b 的图象在第一象限交于 A(1,3),B(3,1) 两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)已知点 P(a,0)(a>0) ,过点 P 作平行于 y 轴的直线,在第一象限内交一次函数 y=−x+b 的图象于点 M ,交反比例函数 y=kx 上的图象于点 N .若 PM>PN ,结合函数图象直接写出 a 的取值范围.
27.某食品加工厂需要一批食品包装盒,供应这种包装盒有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用y2(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题:
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元?
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元?生产一个包装盒的费用是多少元?
(3)请分别求出y1、y2与x的函数关系式.
(4)如果你是决策者,你认为应该选择哪种方案更省钱?并说明理由.
28.如图,直线y=m3x+m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB=5,过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发,以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动;与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发,以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动.直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.
(1)求直线AC的解析式;
(2)直线l在平移过程中,请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标;
(3)直线l在平移过程中,设点E到直线l的距离为d,求d与t的函数关系.
29.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,平行四边形的顶点C的坐标为(8,8),顶点A的坐标为(﹣6,0),边AB在x轴上,点E为线段AD的中点,点F在线段DC上,且横坐标为3,直线EF与y轴交于点G,有一动点P以每秒1个单位长度的速度,从点A沿折线A﹣B﹣C﹣F运动,当点P到达点F时停止运动,设点P运动时间为t秒.
(1)求直线EF的表达式及点G的坐标;
(2)点P在运动的过程中,设△EFP的面积为S(P不与F重合),试求S与t的函数关系式;
(3)在运动的过程中,是否存在点P,使得△PGF为直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
30.如图,一次函数y=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y= k2x 的图象分别交于C,D两点,点C(2,4),点B是线段AC的中点.
(1)求一次函数y=k1x+b与反比例函数y= k2x 的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)直接写出当x取什么值时,k1x+b< k2x .
31.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴交于点 B(0,7) ,与反比例函数 y=−8x 在第二象限内的图象相交于点 A(−1,a) .
(1)求直线AB的解析式;
(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E , 与y轴交于点D , 求 ΔACD 的面积;
(3)设直线CD的解析式为 y=mx+n ,根据图象直接写出不等式 mx+n≤−8x 的解集.
32.如图所示,在平面直角坐标系 Ln 中,等腰 ΔOAB 的边 OB 与反比例函数 y=mx(m>0) 的图象相交于点 C ,其中 OB=AB ,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 B 的坐标为 (2,4) ,过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H .
(1)已知一次函数的图象过点 O,B ,求该一次函数的表达式;
(2)若点 P 是线段 AB 上的一点,满足 OC=3AP ,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q ,连结 OP ,记 ΔOPQ 的面积为 SΔOPQ ,设 AQ=t , T=OH2−SΔOPQ .
①用 t 表示 T (不需要写出 t 的取值范围);
②当 T 取最小值时,求 m 的值.
33.某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务,从开始加工到完成这项任务共用了9天,乙车间在加工2天后停止加工,引入新设备后继续加工,直到与甲车间同时完成这项任务为止,设甲、乙车间各自加工零件总数为y(件),与甲车间加工时间x(天),y与x之间的关系如图(1)所示.由工厂统计数据可知,甲车间与乙车间加工零件总数之差z(件)与甲车间加工时间x(天)的关系如图(2)所示.
(1)甲车间每天加工零件为________件,图中d值为________.
(2)求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式.
(3)甲车间加工多长时间时,两车间加工零件总数为1000件?
34.如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.
(1)点P到达终点O的运动时间是________s,此时点Q的运动距离是________cm;
(2)当运动时间为2s时,P、Q两点的距离为________cm;
(3)请你计算出发多久时,点P和点Q之间的距离是10cm;
(4)如图2,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,1cm长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC,与PQ相交于点D,若双曲线y= kx 过点D,问k的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k的值.
35.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= mx (m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
答案
一、选择题
1.解:A、y=﹣8x,是正比例函数,符合题意;
B、y= 8x ,是反比例函数,不合题意;
C、y=8x2 , 是二次函数,不合题意;
D、y=8x﹣4,是一次函数,不合题意。
故答案为:A。
2.解:直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是:y=3x+1﹣2=3x﹣1。
故答案为:D。
3.解:由题意,可知点 A 的横坐标是 ±2 ,由点 A 在正比例函数 y=2x 的图象上,
∴ 点 A 的坐标为 (2,4) 或 (﹣2,﹣4) ,
又 ∵ 点 A 在反比例函数 y=m+1x ( m 为常数)的图象上,
∴m+1=8 ,即 m=7 ,
故答案为:D.
4.解:一次函数y=2x+1中,
当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣0.5;
∴A(﹣0.5,0),B(0,1)
∴OA=0.5,OB=1
∴△AOB的面积 =0.5×1÷2=14
故答案为:A.
5.解:连结OA,如图,
∵AB⊥x轴,
∴OC∥AB,
∴S△OAB=S△CAB ,
而S△OAB= 12 |k|= 32 ,
∴S△CAB= 32 ,
故答案为:C.
6.解:若反比例函数y= ax 经过第一、三象限,则a>0.所以b<0.则一次函数y=ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限;
若反比例函数y= ax 经过第二、四象限,则a<0.所以b>0.则一次函数y=ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限.
故A符合题意。
故答案为:A。
7. 解:∵ 函数 y=2019x ,
∴ 该函数图象在第一、三象限、在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,
∵A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 都在函数 y=2019x 的图象上,且 x1<0
8.解:当x>﹣2时, 32 x+6 >−52 x﹣2,
所以不等式 32 x+6 >−52 x﹣2的解集是x>﹣2。
故答案为:A。
9.解:根据函数图象平移规律,可知 y=3x 向上平移6个单位后得函数解析式应为 y=3x+6 ,
此时与 x 轴相交,则 y=0 ,
∴ 3x+6=0 ,即 x=−2 ,
∴点坐标为(-2,0)。
故答案为:B。
10.观察函数图象可发现: x<−2 或 0
11.解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,
即 S=12|k| .
所以 ΔABC 的面积等于 2×12|k|=|k|=4 .
故答案为:C.
12.A. k=−2<0,∴它的图象在第二、四象限,不符合题意;
B. k=−2<0,当x>0时,y随x的增大而增大,不符合题意;
C.∵ −21=−2 ,∴点(1,−2)在它的图象上,不符合题意;
D. 若点A(x1 , y1),B(x2 , y2)都在图象上,,若x1<0< x2,则y2
13.作O′M⊥y轴,交y于点M,O′N⊥x轴,交x于点N,
对于y=- 33 x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=2 3 ,
所以点A、B的坐标是A(0,2),B(2 3 ,0),
在Rt△AOB中,OA= 3 OB,所以∠BAO=30°,
又由折叠得,O′B=OB=2,∠ABO=∠ABO′=60°,所以MB=1,
MO′= 3 ,所以OM=3=O′N,ON=O′M= 3 ,所以O′( 3 ,3),
故答案为:A.
14.解:设A(a,b),B(c,b),
∵A、B均在反比例函数上,
∴k1=ab,k2=bc,
∴S△ABC= 12 |AB| ·yB= 12 ·(a-c)·b,
即 4= 12 ·(a-c)·b,
∴ab-bc=8,
即k1-k2=8.
故答案为:A.
15.解:设P(a,b),则A( 12b ,b),B(a, 12a ),
①∴AP= 12b -a,BP= 12a -b,
∵a≠b,
∴AP≠BP,OA≠OB,
∴△AOP和△BOP不一定全等,
故①错误;
②∵S△AOP= 12 ·AP·yA= 12 ·( 12b -a)·b=6- 12 ab,
S△BOP= 12 ·BP·xB= 12 ·( 12a -b)·a=6- 12 ab,
∴S△AOP=S△BOP
故②正确;
③作PD⊥OB,PE⊥OA,
∵OA=OB,S△AOP=S△BOP.
∴PD=PE,
∴OP平分∠AOB,
故③正确;
④∵S△BOP=6- 12 ab=4,
∴ab=4,
∴S△ABP= 12 ·BP·AP
= 12 ·( 12a -b)·( 12b -a),
=-12+ 72ab + 12 ab,
=-12+18+2,
=8.
故④错误;
故答案为:B.
二、填空题
16.把y=2代入y=x+1,得x=1,
∴点P的坐标为(1,2),
根据图象可以知道当x≤1时,y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值.
因而不等式x+1≤mx+n的解集是:x≤1.
故答案为:x≤1.
17.过点D作DH⊥x轴,垂足为H,
则∠AHD=90°,
又∵D(-1,4),
∴H(-1,0),DH=4,
∵A(-4,0),
∴AH=3,
∴AD= AH2+DH2 =5,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC=AD=5,DC//AB,
∴C(4,4),
∵反比例函数 y=kx(x>0) 的图象恰好经过点C,
∴4= k4 ,
∴k=16,
故答案为:16.
18.解:连接OC,AC过A作AE⊥x轴于点E,延长DA与x轴交于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,
∵函数y= kx (k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,
∴O、A、C三点在同一直线上,且∠COE=45°,
∴OE=AE,
不妨设OE=AE=a,则A(a,a),
∵点A在在反比例函数y= 3x (x>0)的图象上,
∴a2=3,
∴a= 3 ,
∴AE=OE= 3 ,
∵∠BAD=30°,
∴∠OAF=∠CAD= 12 ∠BAD=15°,
∵∠OAE=∠AOE=45°,
∴∠EAF=30°,
∴AF= AEcos30° =2,EF=AEtan30°=1,
∵AB=AD=2,AE∥DG,
∴EF=EG=1,DG=2AE=2 3 ,
∴OG=OE+EG= 3 +1,
∴D( 3 +1,2 3 ),
∴k= (3+1)×23=6+23
故答案为: 6+23 .
19.
设OB=K,
由旋转可得OC=OD=K,∠COD=60°
OE=ODcos30°=34k , DE=12OD=-k4
D点(34k,14k)
将D点代入反比例函数,可得出k=-1633
20.①设点A(m, km ),M(n, kn ),
则直线AC的解析式为y=- kmn x+ kn + km ,
∴C(m+n,0),D(0, (m+n)kmn ),
∴ SΔODM=12×n×(m+n)kmn=(m+n)k2m, SΔOCA=12×(m+n)×km=(m+n)k2m ,
∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确;
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,
∴O是AB的中点,
∵BM⊥AM,
∴OM=OA,
∴k=mn,
∴A(m,n),M(n,m),
∴ AM=2(n−m),OM=m2+n2 ,
∴AM不一定等于OM,
∴∠BAM不一定是60°,
∴∠MBA不一定是30°.故②错误,
∵M点的横坐标为1,
∴可以假设M(1,k),
∵△OAM为等边三角形,
∴OA=OM=AM,
1+k2=m2+ k2m ,
∵m>0,k>0,
∴m=k,
∵OM=AM,
∴(1-m)2+(k− km )2=1+k2 ,
∴k2-4k+1=0,
∴k=2± 3 ,
∵m>1,
∴k=2+ 3 ,故③正确,
如图,作MK∥OD交OA于K.
∵OF∥MK,
∴ FMBM=OKKB=25 ,
∴ OKOB=23 ,
∵OA=OB,
∴ OKOA=23 ,
∴ OKKA=21 ,
∵KM∥OD,
∴ DMAM=OKAK=2 ,
∴DM=2AM,故④正确.
故答案为①③④.
21.解:∵AB=AC= 52 ,BC=4,点A(3,5).
∴B(1, 72 ),C(5, 72 ),
将△ABC向下平移m个单位长度,
∴A(3,5﹣m),C(5, 72 ﹣m),
∵A,C两点同时落在反比例函数图象上,
∴3(5﹣m)=5( 72 ﹣m),
∴m= 54 。
故答案为: 54。
22.由 {y=4−xy=3x 求得 {x=1y=3 或 {x=3y=1 ,
∴A(1,3),B(3,1),
∴OA =32+12=10 ,
设OA的中点为P , 以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N ,
过P点作PD⊥x轴于D , 交BC于E , 连接PN ,
∵P是OA的中点,
∴P( 12 , 32 ),
∴PD =32 ,
∵BC⊥y轴,垂足为C ,
∴BC∥x轴,
∴PD⊥BC ,
∴PE =32− 1 =12 ,
在Rt△PEN中,EM=EN =PN2−PE2=(102)2−(12)2=32 ,
∴M(﹣1,1),N(2,1).
∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是(﹣1,1)和(2,1),
故答案为(﹣1,1)和(2,1).
23.解:设B点坐标为(a,b),
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,
∴OA= 2 AC,AB= 2 AD,OC=AC,AD=BD,
∵OA2−AB2=12,
∴2AC2−2AD2=12,
即AC2−AD2=6,
∴(AC+AD)(AC−AD)=6,
∴(OC+BD)⋅CD=6,
∴a⋅b=6,
∴k=6.
故答案为:6.
24.由题意得: {y=x−2y=3x ,解得: {x=3y=1 或 {x=−1y=−3 .
∵反比例函数y= 3x 与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A,∴A(﹣1,﹣3).
当以AB为对角线时,AB的中点坐标M为(﹣2,﹣1.5).
∵平行四边形的对角线互相平分,∴M为OP中点,设P点坐标为(x,y),则 x+02 =﹣2, y+02 =﹣1.5,解得:x=﹣4,y=﹣3,∴P(﹣4,﹣3).
当OB为对角线时,由O、B坐标可求得OB的中点坐标M(﹣ 32 ,0),设P点坐标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为AP的中点,结合中点坐标公式可得: x−12 =﹣ 32,y−32 =0,解得:x=﹣2,y=3,∴P(﹣2,3);
当以OA为对角线时,由O、A坐标可求得OA的中点坐标M(﹣ 12 ,﹣ 32 ),设P点坐标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为BP中点,结合中点坐标公式可得 :x−32 =﹣ 12,y+02 =﹣ 32 ,解得:x=2,y=﹣3,∴P(2,﹣3)(舍去).
综上所述:P点的坐标为(﹣4,﹣3),(﹣2,3).
故答案为:(﹣4,﹣3),(﹣2,3).
25.当x=2时,y= 6x =3,∴A(2,3),B(2,0),
∵y=kx过点 A(2,3),
∴3=2k,∴k= 32 ,
∴y= 32 x,
∵直线y= 32 x平移后经过点B,
∴设平移后的解析式为y= 32 x+b,
则有0=3+b,
解得:b=-3,
∴平移后的解析式为:y= 32 x-3,
故答案为:y= 32 x-3.
三、解答题
26. (1)解:∵反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象与一次函数 y=−x+b 的图象在第一象限交于 A(1,3),B(3,1) 两点,
∴ 3=k1,3=−1+b ,
∴ k=3,b=4 ,
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 y=3x,y=−x+4 ;
(2)解:由图象可得:当 1PN .
27.解:(1)500÷100=5,
∴方案一的盒子单价为5元;
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元,
盒子的单价为(30000﹣20000)÷4000=2.5,
故盒子的单价为2.5元;
(3)设图象一的函数解析式为:y1=k1x,
由图象知函数经过点(100,500),
∴500=100k1 ,
解得k1=5,
∴函数的解析式为y1=5x;
设图象二的函数关系式为y2=k2x+b
由图象知道函数的图象经过点(0,20000)和(4000,30000)
∴b=200004000k2+b=30000,
解得:k=2.5b=20000,
∴函数的解析式为y2=2.5x+20000;
(4)令5x=2.5x+20000,
解得x=8000,
∴当x=8000时,两种方案同样省钱;
当x<8000时,选择方案一;
当x>8000时,选择方案二.
28.解:(1)∵y=m3x+m交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B,
∴B(0,m)、A(﹣3,0).
∵AB=5,
∴m2+32=52 ,
解得m=±4.
∵m>0,
∴m=4.
∴B(0,4).
∴OB=4.
∵直线AC⊥AB交y轴于点C,易得△BOA∽△AOC,
∴AOBO=COAO.
∴CO=AO2BO=324=94.
∵点C在y轴负半轴上,
∴C(0,﹣94).
设直线AC解析式为y=kx+b,
∵A(﹣3,0),C(0,﹣94),
∴-3k+b=0b=-94,
解得k=-34b=-94,
∴y=﹣34x﹣94;
(2)F1(125,365)、F2(﹣125,45)、F3(﹣32,2);
(3)分两种情况:第一种情况:当0≤t≤5时,
如图,作ED⊥FG于D,则ED=d.
由题意,FG∥AC,
∴BFBA=BGBC,
∵AF=t,AB=5,
∴BF=5﹣t.
∵B(0,4),
∴BC=4+94=254.
∴5-t5=BG254.
∴BG=54(5﹣t).
∵OE=0.8t,OB=4,
∴BE=4﹣0.8t.
∴EG=54(5﹣t)﹣(4﹣0.8t)=94﹣920t.
∵FG⊥AB,ED⊥FG,
∴∠GDE=∠GFB=90°.
∴ED∥AB.
∴EGBG=EDBF.
∴920t-9454t-5=d5-t.
∴d=﹣925t+95.
第二种情况:当t>5时,
如图(2),
作ED⊥FG于D,则ED=d,
则题意,FG∥AC,
∴BFBA=BGBC.
∵AF=t,AB=5,
∴BF=t﹣5.
∵B(0,4),C(0,﹣94),
∴BC=4+94=254.
∴5-t5=BG254.
∴BG=54(t﹣5).
∵OE=0.8t,OB=4,
∴BE=0.8t﹣4,EG=54(t﹣5)﹣(0.8t﹣4),
=920t﹣94.
∵FG⊥AB,ED⊥FG,∠GDE=∠GFB=90°,
∴ED∥AB.
∴EGBG=EDBF
∴920t-9454t-5=d5-t.
∴d=925t+95
29.解:(1)∵C(8,8),DC∥x轴,点F的横坐标为3,
∴OD=CD=8.
∴点F的坐标为(3,8),
∵A(﹣6,0),
∴OA=6,
∴AD=10,
过点E作EH⊥x轴于点H,
则△AHE∽△AOD.
又∵E为AD的中点,
∴AHAO=AEAD=EHDO=12
∴AH=3,EH=4.
∴OH=3.
∴点E的坐标为(﹣3,4),
设过E、F的直线为y=kx+b,
∴3k+b=8-3k+b=4
∴k=23b=6
∴直线EF为y=23x+6,
令x=0,则y=6,即点G的坐标为(0,6).
(2)延长HE交CD的延长线于点M,
则EM=EH=4.
∵DF=3,
∴S△DEF=12×3×4=6,
且S平行四边形ABCD=CD•OD=8×8=64.
①当点P在AB上运动时,如图3,
S=S平行四边形ABCD﹣S△DEF﹣S△APE﹣S四边形PBCF .
∵AP=t,EH=4,
∴S△APE=12×4t=2t,
S四边形PBCF=(5+8﹣t)×8=52﹣4t.
∴S=64﹣6﹣2t﹣(52﹣4t),
即:S=2t+6.
②当点P在BC边上运动时,
S=S平行四边形ABCD﹣S△DEF﹣S△PCF﹣S四边形ABPE .
过点P作PN⊥CD于点N.
∵∠C=∠A,sin∠A=ODAD=45,
∴sin∠C=45.
∵PC=18﹣t,
∴PN=PC•sin∠C=45(18﹣t).
∵CF=5,
∴S△PCF=12×5×45(18﹣t)=36﹣2t.
过点B作BK⊥AD于点K.
∵AB=CD=8,
∴BK=AB•sin∠A=8×45=325.
∵PB=t﹣8,
∴S四边形ABPE=12(t﹣8+5)×325=165t﹣485.
∴S=64﹣6﹣(36﹣2t)﹣(165t﹣485),
即 S=﹣65t+1585.
③当点P在CF上运动时,
∵PC=t﹣18,
∴PF=5﹣(t﹣18)=23﹣t.
∵EM=4,
∴S△PEF=12×4×(23﹣t)=46﹣2t.
综上:S=2t+6,0≤t<865t+1585,8≥t<846-2t,18≥t<23
(3)存在.
P1(5217,2417).
P2(9117,7617).
30. (1)解:如图,
∵点C(2,4)在反比例函数y= k2x 的图象上,
∴ k2=2×4=8 ,
∴ y2=8x ;
如图,作CE⊥x轴于E,
∵C(2,4),点B是线段AC的中点,
∴B(0,2),
∵B、C在 y1=k1x+b 的图象上,
∴ {2k1+b=4b=2 ,
解得 k1=1,b=2 ,
∴一次函数为 y1=x+2
(2)解:由 {y=x+2y=8x ,
解得 {x=2y=4 或 {x=−4y=−2 ,
∴D(﹣4,﹣2),
∴ S△COD=S△BOC+S△BOD=12×2×2+×2×4=6
(3)解:由图可得,当0<x<2或x<﹣4时, k1x+b
∴ a=−8−1=8 ,
∴ A(−1,8) ,
∵点 B(0,7) ,
∴设直线AB的解析式为 y=kx+7 ,
∵直线AB过点 A(−1,8) ,
∴ 8=−k+7 ,解得 k=−1 ,
∴直线AB的解析式为 y=−x+7
(2)解:∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为 y=−x−2 ,
∴ D(0,−2) ,
∴ BD=7+2=9 ,
联立 {y=−x−2y=8x ,解得 {x=−4y=2 或 {x=2y=−4 ,
∴ C(−4,2) , E(2,−4) ,
连接AC , 则 ΔCBD 的面积 =12×9×4=18 ,
由平行线间的距离处处相等可得 ΔACD 与 ΔCDB 面积相等,
∴ ΔACD 的面积为18
(3)解:∵ C(−4,2) , E(2,−4) ,
∴不等式 mx+n≤−8x 的解集是: −4
32. (1)解:将点 O、B 的坐标代入一次函数表达式: y=kx 得: 4=2k ,
解得: k=2 ,
故一次函数表达式为: y=2x
(2)解:①过点 B 作 BM⊥OA ,
则 ∠OCH=∠QPA=∠OAB=∠ABM=α ,
则 tanα=12,sinα=15 ,
∵ OB=AB ,则 OM=AM=2 ,则点 A(4,0) ,
设: AP=a ,则 OC=3a ,
在 ΔAPQ 中, sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15 ,
同理 PQ=ttanα=2t ,
则 PA=a=5t,OC=15t ,
则点 C(3t,23t) ,
T=OH2−SΔOPQ=(OC⋅sinα)2−12×(4−t)×2t=4t2−4t ,
②∵ 4>0 ,∴ T 有最小值,当 t=12 时,
T 取得最小值,
而点 C(3t,23t) ,
故: m=3t×23t=32 .
33.(1)80;770
(2)解:b=80×2﹣40=120,a=(200﹣40)÷80+2=4,
∴B(4,120),C(9,770)
设yBC=kx+b,过B、C,
∴ {120=4k+b770=9k+b ,解得 {k=130b=−400 ,
∴y=130x﹣400(4≤x≤9)
(3)解:由题意得:80x+130x﹣400=1000,
解得:x= 203
答:甲车间加工 203 天时,两车间加工零件总数为1000件
34.(1)163;323
(2)62
(3)解:设运动时间为t秒时,
由运动知,AP=3t,CQ=2t,
同(2)的方法得,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,
∵点P和点Q之间的距离是10cm,
∴62+(16﹣5t)2=100,
∴t= 85 或t= 245
(4)解:k的值是不会变化,
理由:∵四边形AOCB是矩形,
∴OC=AB=6,OA=16,
∴C(6,0),A(0,16),
∴直线AC的解析式为y=﹣ 83 x+16①,
设运动时间为t,
∴AP=3t,CQ=2t,
∴OP=16﹣3t,
∴P(0,16﹣3t),Q(6,2t),
∴PQ解析式为y= 5t−166 x+16﹣3t②,
联立①②解得,x= 185 ,y= 325 ,
∴D( 185 , 325 ),
∴k= 185 × 325 = 57625 是定值
解:(1)∵四边形AOCB是矩形,
∴OA=BC=16,
∵动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,
∴t= 163 ,此时,点Q的运动距离是 163 ×2= 323 cm;
( 2 )如图1,
由运动知,AP=3×2=6cm,CQ=2×2=4cm,
过点P作PE⊥BC于E,过点Q作QF⊥OA于F,
∴四边形APEB是矩形,
∴PE=AB=6,BE=6,
∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6,
根据勾股定理得,PQ=6 2 ;
35.(1)解:设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有 {km+b=1k+b=m ,
解得 {k=−1b=m+1 ,
∴y=-x+m+1,
令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),
令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠OCD=45°
(2)解:设M(a, 3a ),
∵△OPM∽△OCP,
∴ OPOC=OMOP=PMCP ,
∴OP2=OC•OM,
当m=3时,P(3,1),C(4,0),
OP2=32+12=10,OC=4,OM= a2+9a2 ,
∴ OPOC=104 ,
∴10=4 a2+9a2 ,
∴4a4-25a2+36=0,
(4a2-9)(a2-4)=0,
∴a=± 32 ,a=±2,
∵1<a<3,
∴a= 32 或2,
当a= 32 时,M( 32 ,2),
PM= 132 ,CP= 2 ,
PMCP=1322≠104 ,(舍去)
当a=2时,M(2, 32 ),PM= 52 ,CP= 2 ,
∴ PMCP=522=104 ,成立,
∴M(2, 32 )
(3)解:不存在.理由如下:
当m=5时,P(5,1),Q(1,5),设M(x, 5x ),
OP的解析式为:y= 1x x,OQ的解析式为y=5x,
①当1<x<5时,如图1中,
∴E( 1x , 5x ),F(x, 15 x),
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5- 12 x• 15 x- 12 • 1x • 5x =4.1,
化简得到:x4-9x2+25=0,
△<O,
∴没有实数根.
②当x≤1时,如图2中,
S=S△OGH<S△OAM=2.5,
∴不存在,
③当x≥5时,如图3中,
S=S△OTS<S△OBM=2.5,
∴不存在,
综上所述,不存在