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人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破：数轴动点类和角度的旋转 解析版
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人教版七年级数学上册期末压轴题专项突破
数轴动点类和角度的旋转
数轴动点：
1．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
2．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．
（1）填空：abc 0，a+b 0：（填“＞”，“＝”或“＜”）
（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，
①当b2＝16时，求c的值；
②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为 ．
3．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．
（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
4．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．
5．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．
（1）点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来．
（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？
6．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是﹣3，已知A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示的数﹣3，将点A向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
（2）如果点A表示的数3，将点A向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
（3）如果点A表示的数x，将点A向右移动p个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
7．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
8．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
角度的旋转：
9．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）．
（1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数；
（2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）．
10．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．
11．已知∠AOB＝90°，OC是一条可以绕点O转动的射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）当射线OC转动到∠AOB的内部时，如图1，求∠MON的度数．
（2）当射线OC转动到∠AOB的外时（90°＜∠BOC＜∠180°），如图2，∠MON的大小是否发生变化？变或者不变均说明理由．
12．如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．
13．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；
（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
14． 已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；
②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
15．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．
（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．
16．已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：
①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是 ．
②∠AOE与∠CON的关系为 ．
③∠AOC与∠EON的关系为 ．
（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．
①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝ 度．
②若∠AOF＝β，则∠CON＝ （用含β的代数式表示）．
（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
参考答案
数轴动点
1．解：（1）∵a3＝﹣8．
∴a＝﹣2，
∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；
（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，
∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，
当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，
此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；
（3）设点P所表示的数为x，
∵PQ＝m，Q点在P点右侧，
∴点Q所表示的数为x+m，
∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|
∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|
当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，
①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，
②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，
故答案为：1或9．
2．解：（1）由a，b，c．在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜＞，
（2）①b2＝16，b＞0，
∴b＝4，
∵a＝﹣2，BC＝AB，
∴c﹣4＝4﹣（﹣2），
∴c＝10；
②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，
∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，
∵结果与x无关，
∴b+c＝11，
又∵c﹣b＝b+2，即，c＝2b+2，
∴b＝3，
故答案为：3．
3．解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，
∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴P为AB的中点，
∴BP＝PA＝AB＝6，
∴点P表示的数是﹣2；
（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，
∵PA≠3PB，
∴点P不是关于A→B的“好点”；
故答案为：不是；
②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，
PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，
∴t+8＝3|4﹣t|，
解得t＝1或t＝10，
所以点P的运动时间为1秒或10秒；
（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，
PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，
分五种情况进行讨论：
①当点A是关于P→B的“好点”时，
|PA|＝3|AB|，
即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；
②当点A是关于B→P的“好点”时，
|AB|＝3|AP|，
即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；
或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；
③当点P是关于A→B的“好点”时，
|PA|＝3|PB|，
即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；
④当点P是关于B→A的“好点”时，
|PB|＝3|AP|，
即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；
或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；
⑤当点B是关于P→A的“好点”时，
|PB|＝3|AB|，
即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．
综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．
4．解：（1）根据题意得2t+t＝28，
解得t＝，
∴AM＝＞10，
∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，
∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．
若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．
综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）∵N是AP的中点，
∴AN＝PN＝AP＝t，
∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，
2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．
5．解：（1）10﹣4＝6，
∵点B位于点A的左侧，
∴点B表示的数是﹣6，
故答案为：﹣6．
在数轴上将点B表示如图所示：
（2）设经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度，
∴2t+2＝10或2t﹣2＝10
∴t＝4或t＝6
∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；
（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，
∴2（10﹣2t）＝10﹣t或2（2t﹣10）＝10﹣t
∴t＝或t＝6
∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．
6．解：（1）∵﹣3+5＝2，
∴B表示的数为2，A、B两点间的距离为2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵3﹣3+6＝6，
∴B表示的数为6，A、B两点间的距离为6﹣3＝3，
故答案为：6，3；
（3）根据题意，点B表示的数为x+p﹣n，A、B两点间的距离为|x+p﹣n﹣x|＝|p﹣n|，
故答案为：x+p﹣n，|p﹣n|．
7．解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x＝．
故相遇点M所对应的数是．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
8．解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD＝4，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为：5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为：﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，
∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．
角度的旋转
9．解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝58°，
∴∠EOF＝90°﹣58°＝32°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝64°，
∴∠BOE＝180°﹣64°＝116°．
答：∠BOE的度数为116°；
（2）∵∠COF＝m°，
∴∠EOF＝m°﹣90°．
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2m°﹣180°，
∴∠BOE＝180°﹣（2m°﹣180°）＝360°﹣2m°．
答：∠BOE的度数为360°﹣2m°．
10．解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，
∵∠AOC＝110°，
∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，
∵∠AOD＝∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，
解得：x＝30
即，∠COD＝30°；
（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；
理由是：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，
即∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
即α＝45°，
∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．
11．解：（1）如图1所示：
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON＝，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝，
又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠MON＝∠CON+∠COM
＝
＝
＝45°；
（2）∠MON的大小不变，如图2所示，理由如下：
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝，
又∵ON平分∠AOC，
∴∠AON＝，
又∵∠MON＝∠AON+∠AOM，
∴∠MON＝
＝
＝
＝45°．
12．解：（1）旋转前∠MOC＝90°﹣∠AOC＝60°，
当OM平分∠BOC时，，
3t＝75°﹣60°，
t＝5s，
结论：ON平分∠AOC，
理由：∵∠CON＝90°﹣∠MOC，∠AOC＝180°﹣∠BOC＝2（90°﹣∠MOC），
∴∠AOC＝2∠CON，
∴ON平分∠AOC
（2）∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t+90°）﹣（30°+6t）＝60°﹣3t
若OC平分∠MON
则，
∴60°﹣3t＝45°，
∴t＝5．
13．解：如图所示：
（1）设∠AOD＝5x°，
∵∠BOC＝∠AOD
∴∠BOC＝•5x°＝3x°
又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，
∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，
又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，
∴5x+3x＝240
解得：x＝30°
∴∠AOD＝150°；
（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，
∴∠BOC＝90°，
①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：
20t+15t+20＝90，
解得：t＝2，
②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：
20t+15t﹣90＝20
解得：，
又∵0＜t＜6，
∴t＝2或t＝；
（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：
∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°
∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD
∴∠AOM＝∠AOC＝，
∠DON＝＝
∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON
＝150°﹣5t°﹣﹣
＝30°．
14．解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵°，°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
15．解：（1）∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝∠ACB＝×90°＝45°，
∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；
（2）∠ACE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF＝90°＝∠ACE+ACF，
∴∠ACE＝∠BCF；
（3）∠BCF﹣∠ACD＝45°，
∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，
∴（∠ACF+∠BCF）﹣（∠ACD+∠ACF）＝90°﹣45°，
即：∠BCF﹣∠ACD＝45°．
16．解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；
②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，
∴∠AOE＝∠CON；
故答案为：∠AOE＝∠CON；
③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，
∴∠EON＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC+∠EON＝180°，
故答案为：∠AOC+∠EON＝180°，
（2）如图2，①∵∠COE＝90°．
∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，
∴∠AOC＝∠EOM，
∵OF恰好平分∠COM，
∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝24°
故答案为：24°
②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵∠EOF＝∠AOF＝β，
∴∠CON＝2∠AOF＝2β；
故答案为：2β．
（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵OF平分∠COM，
∴∠COF＝∠MOF，
∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，
∴∠CON＝2∠AOF．
数轴动点类和角度的旋转
数轴动点：
1．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
2．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．
（1）填空：abc 0，a+b 0：（填“＞”，“＝”或“＜”）
（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，
①当b2＝16时，求c的值；
②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为 ．
3．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．
（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
4．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．
5．如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．
（1）点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来．
（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？
6．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示是﹣3，已知A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示的数﹣3，将点A向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
（2）如果点A表示的数3，将点A向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
（3）如果点A表示的数x，将点A向右移动p个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 ．A、B两点间的距离是 ．
7．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
8．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
角度的旋转：
9．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）．
（1）如图1，若∠COF＝58°，求∠BOE的度数；
（2）将∠COE绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，若∠COF＝m°，求∠BOE的度数（用含字母m的代数式表示）．
10．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．
11．已知∠AOB＝90°，OC是一条可以绕点O转动的射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC．
（1）当射线OC转动到∠AOB的内部时，如图1，求∠MON的度数．
（2）当射线OC转动到∠AOB的外时（90°＜∠BOC＜∠180°），如图2，∠MON的大小是否发生变化？变或者不变均说明理由．
12．如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．
13．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜6），试求当∠BOC＝20°时t的值；
（3）若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋转的过程中，∠MON的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
14． 已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；
②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
15．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．
（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．
16．已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：
①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是 ．
②∠AOE与∠CON的关系为 ．
③∠AOC与∠EON的关系为 ．
（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．
①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝ 度．
②若∠AOF＝β，则∠CON＝ （用含β的代数式表示）．
（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
参考答案
数轴动点
1．解：（1）∵a3＝﹣8．
∴a＝﹣2，
∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；
（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，
∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，
当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，
此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；
（3）设点P所表示的数为x，
∵PQ＝m，Q点在P点右侧，
∴点Q所表示的数为x+m，
∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|
∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|
当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，
①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，
②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，
故答案为：1或9．
2．解：（1）由a，b，c．在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜＞，
（2）①b2＝16，b＞0，
∴b＝4，
∵a＝﹣2，BC＝AB，
∴c﹣4＝4﹣（﹣2），
∴c＝10；
②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，
∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，
∵结果与x无关，
∴b+c＝11，
又∵c﹣b＝b+2，即，c＝2b+2，
∴b＝3，
故答案为：3．
3．解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，
∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴P为AB的中点，
∴BP＝PA＝AB＝6，
∴点P表示的数是﹣2；
（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，
∵PA≠3PB，
∴点P不是关于A→B的“好点”；
故答案为：不是；
②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，
PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，
∴t+8＝3|4﹣t|，
解得t＝1或t＝10，
所以点P的运动时间为1秒或10秒；
（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，
PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，
分五种情况进行讨论：
①当点A是关于P→B的“好点”时，
|PA|＝3|AB|，
即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；
②当点A是关于B→P的“好点”时，
|AB|＝3|AP|，
即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；
或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；
③当点P是关于A→B的“好点”时，
|PA|＝3|PB|，
即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；
④当点P是关于B→A的“好点”时，
|PB|＝3|AP|，
即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；
或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；
⑤当点B是关于P→A的“好点”时，
|PB|＝3|AB|，
即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．
综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．
4．解：（1）根据题意得2t+t＝28，
解得t＝，
∴AM＝＞10，
∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，
∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．
若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．
综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）∵N是AP的中点，
∴AN＝PN＝AP＝t，
∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，
2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．
5．解：（1）10﹣4＝6，
∵点B位于点A的左侧，
∴点B表示的数是﹣6，
故答案为：﹣6．
在数轴上将点B表示如图所示：
（2）设经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度，
∴2t+2＝10或2t﹣2＝10
∴t＝4或t＝6
∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；
（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，
∴2（10﹣2t）＝10﹣t或2（2t﹣10）＝10﹣t
∴t＝或t＝6
∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．
6．解：（1）∵﹣3+5＝2，
∴B表示的数为2，A、B两点间的距离为2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵3﹣3+6＝6，
∴B表示的数为6，A、B两点间的距离为6﹣3＝3，
故答案为：6，3；
（3）根据题意，点B表示的数为x+p﹣n，A、B两点间的距离为|x+p﹣n﹣x|＝|p﹣n|，
故答案为：x+p﹣n，|p﹣n|．
7．解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x＝．
故相遇点M所对应的数是．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
8．解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD＝4，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为：5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为：﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，
∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．
角度的旋转
9．解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝58°，
∴∠EOF＝90°﹣58°＝32°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝64°，
∴∠BOE＝180°﹣64°＝116°．
答：∠BOE的度数为116°；
（2）∵∠COF＝m°，
∴∠EOF＝m°﹣90°．
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2m°﹣180°，
∴∠BOE＝180°﹣（2m°﹣180°）＝360°﹣2m°．
答：∠BOE的度数为360°﹣2m°．
10．解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，
∵∠AOC＝110°，
∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，
∵∠AOD＝∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，
解得：x＝30
即，∠COD＝30°；
（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；
理由是：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，
即∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
即α＝45°，
∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．
11．解：（1）如图1所示：
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON＝，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝，
又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠MON＝∠CON+∠COM
＝
＝
＝45°；
（2）∠MON的大小不变，如图2所示，理由如下：
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝，
又∵ON平分∠AOC，
∴∠AON＝，
又∵∠MON＝∠AON+∠AOM，
∴∠MON＝
＝
＝
＝45°．
12．解：（1）旋转前∠MOC＝90°﹣∠AOC＝60°，
当OM平分∠BOC时，，
3t＝75°﹣60°，
t＝5s，
结论：ON平分∠AOC，
理由：∵∠CON＝90°﹣∠MOC，∠AOC＝180°﹣∠BOC＝2（90°﹣∠MOC），
∴∠AOC＝2∠CON，
∴ON平分∠AOC
（2）∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t+90°）﹣（30°+6t）＝60°﹣3t
若OC平分∠MON
则，
∴60°﹣3t＝45°，
∴t＝5．
13．解：如图所示：
（1）设∠AOD＝5x°，
∵∠BOC＝∠AOD
∴∠BOC＝•5x°＝3x°
又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，
∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，
又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，
∴5x+3x＝240
解得：x＝30°
∴∠AOD＝150°；
（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，
∴∠BOC＝90°，
①若线段OB、OC重合前相差20°，则有：
20t+15t+20＝90，
解得：t＝2，
②若线段OB、OC重合后相差20°，则有：
20t+15t﹣90＝20
解得：，
又∵0＜t＜6，
∴t＝2或t＝；
（3）∠MON的度数不会发生改变，∠MON＝30°，理由如下：
∵旋转t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°
∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD
∴∠AOM＝∠AOC＝，
∠DON＝＝
∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON
＝150°﹣5t°﹣﹣
＝30°．
14．解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵°，°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
15．解：（1）∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝∠ACB＝×90°＝45°，
∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；
（2）∠ACE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF＝90°＝∠ACE+ACF，
∴∠ACE＝∠BCF；
（3）∠BCF﹣∠ACD＝45°，
∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，
∴（∠ACF+∠BCF）﹣（∠ACD+∠ACF）＝90°﹣45°，
即：∠BCF﹣∠ACD＝45°．
16．解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；
②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，
∴∠AOE＝∠CON；
故答案为：∠AOE＝∠CON；
③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，
∴∠EON＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC+∠EON＝180°，
故答案为：∠AOC+∠EON＝180°，
（2）如图2，①∵∠COE＝90°．
∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，
∴∠AOC＝∠EOM，
∵OF恰好平分∠COM，
∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝24°
故答案为：24°
②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵∠EOF＝∠AOF＝β，
∴∠CON＝2∠AOF＝2β；
故答案为：2β．
（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵OF平分∠COM，
∴∠COF＝∠MOF，
∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，
∴∠CON＝2∠AOF．
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