北师大版 2021高考数学一轮复习第八章数列8.2等差数列练习

8.2 等差数列

核心考点·精准研析

考点一　等差数列的基本运算 

1.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5= (　　)

A.11   B.10   C.7   D.3

2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10= (　　)

A.   B.   C.10   D.12

3.(2020·沈阳模拟)在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是 (　　)

A.55   B.11   C.50   D.60

4.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 (　　)

A.an=2n-5      B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n     D.Sn=n2-2n

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________. 

【解析】1.选B.设等差数列{an}的公差为d,则有解得所以a5=-2+4×3=10.

2.选B.由公差为1得S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.因为S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=a1+9d=+9=.

3.选A.设等差数列{an}的公差为d,由题意可得2(a1+6d)=a1+7d+5,得a1+5d=5,则S11=11a1+d=11(a1+5d)=11×5=55.

4.选A.设等差数列{an}的公差为d,由题知,解得所以an=2n-5.

5.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差d=

am+1-am=3-2=1,

由

得解得

答案:5

第3题中若将条件“2a7=a8+5”改为“a9=a12+6”,其他条件不变,则数列{an}的前11项和S11等于________. 

【解析】S11==11a6,

设公差为d,由a9=a12+6

得a6+3d=(a6+6d)+6,

解得a6=12,所以S11=11×12=132.

答案:132

【继续探究】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列的前2 021项和为 (　　)

A.　 　B.　　 C.　　 D.

【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d,

由a9=a12+6及等差数列的通项公式得a1+5d=12,又a2=4,所以a1=2,d=2,

所以Sn=n2+n,

所以==-,

所以++…+=++…+=1-=.

　等差数列运算问题的通性方法

1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.

2.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.

【秒杀绝招】

1.应用性质解T1

由等差数列的性质得a1+a5=2a3=8,所以a3=4,故d=a4-a3=3.所以 a5=a4+d=10.

2.应用变形公式解T3

设等差数列{an}的公差为d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55.

3.应用排除法解T4

对于B,a5=5,S4==-10≠0,排除B,

对于C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C.

对于D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=2.5≠5,排除D,故选A.

考点二　等差数列的判定与证明   

【典例】1.已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N*).

 (1)证明:数列 是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

【解题导思】

【解析】(1)因为an+1+1=+1=,所以==3+,所以   -=3,所以是首项为=3,公差为3的等差数列.

(2)由(1)得=3n,所以an=-1.

2.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),

(1)当a2= -1时,求λ的值及a3的值;

(2)是否存在λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由.

【解题导思】

【解析】(1)因为an+1=(n2+n-λ)an,a1=1, a2=-1,

所以-1=(2-λ)×1,解得λ=3.

所以a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)不存在λ,使数列{an}为等差数列,说明如下:

因为a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*).

所以,a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ),

若存在实数λ,使数列{an}为等差数列.则a1+a3=2a2,即1+(6-λ)(2-λ)

=2(2-λ),

解得:λ=3.

此时a2=2-λ=2-3=-1,a3=(6-λ)(2-λ)=-3,a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)=-27,

a2-a1=-1-1=-2,而a4-a3=-24.

所以,数列{an}不是等差数列,

即不存在λ使数列{an}为等差数列.

1.判断数列{an}是等差数列的常用方法

(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.

(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.

(3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).

(4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).

说明:证明数列{an}是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法.

2.证明某数列不是等差数列

若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.

已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.

(1)求a及k的值;

(2)已知数列{bn}满足bn=,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.

【解析】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.

由Sk=110,得k2+k-110=0,

解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.

(2)由(1)得Sn=n(n+1),则bn==n+1,

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,

即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

所以bn=n+1,

所以Tn==.

考点三　等差数列性质及其应用 

与等差数列项的性质有关的运算

【典例】1.(2020·武汉模拟)在等差数列{an}中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则

a5= (　　)

A.7  B.9  C.14  D.18

【解析】选B.因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.

【一题多解】选B.设等差数列{an}的公差为d,因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以7a1+d-(2a1+d)=45,整理得a1+4d=9,所以a5=9,故选B.

2.(2020·太原模拟)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6=  (　　)

A.8   B.6   C.4   D.3

【解析】选D.由等差数列的性质可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=

2×3a3+3×2a9=6×2a6=36,得a6=3.

在等差数列中涉及两项和时,应用哪些性质能够帮助我们快速解题?

提示:在等差数列中涉及两项和时,一定要注意其项数和的关系,如果和相等,则两项的和也对应相等.

   等差数列和的性质

【典例】1.一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为 (　　)

A.18   B.12   C.10   D.6

【解析】选C.设此数列为{an}因为{an}是等差数列,所以Sn, -Sn, -   成等差数列,即2(-Sn)=Sn+(-),因为Sn=3, =21,所以2(-3)

=3+21-,解得=10.

2.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若 =,则=__________. 

【解析】由=====.

则====.

答案:  

在等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列吗?

提示:在等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列.

等差数列和的最值问题

【典例】等差数列{an}中,a1>0,S5=S12,则当Sn有最大值时,n的值为________.

【解析】设等差数列{an}的公差为d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,所以d=-a1<0.设此数列的前n项和最大,则

即解得即8≤n≤9,又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.

答案:8或9

【一题多解】方法一:由S5=S12,得a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12=0,即7a9=0,a9=0,由a1>0可知d<0,故当n=8或n=9时Sn最大.

方法二:由S5=S12,可得a1=-8d,所以Sn=-8dn+d=-d,由n∈N*并结合Sn对应的二次函数的图像知,当n=8或n=9时Sn最大.

答案:8或9

在涉及等差数列前n项和的问题时,你能总结出求该数列的前n项和Sn的最大(小)值的方法吗?

提示:求等差数列前n项和的最值的方法

(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意n∈N*.

(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn取得最值.

(3)项的符号法:当a1>0,d<0时,满足的项数n使得Sn取得最大值;当a1<0,d>0时,满足的项数n使得Sn取得最小值.

1.(2020·济南模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3+a5+a7+a9=20,则S9=

(　　)

A.27   B.36   C.45   D.54

【解析】选B.依题意a1+a3+a5+a7+a9=5a5=20,a5=4,

所以S9=×9=9a5=36.

2.已知数列{an}的通项公式an=26-2n,若使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为

(　　)

A.12   B.13   C.12或13 D.14

【解析】选C.因为是递减数列,a12=2,a13=0,所以S12=S13最大,所以n的值为12或13.

【变式备选】

设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n的值为

(　　)

A.10　　　 B.11　　 　C.12　　　 D.13

【解析】选C.由S6>S7>S5,得S7=S6+a7<S6,S7=S5+a6+a7>S5,所以a7<0,a6+a7>0,

所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,

即满足SnSn+1<0的正整数n的值为12.

3.(2020·长沙一中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=12,S6=51,则S9的值等于 (　　)

A.66   B.90   C.117   D.127

【解析】选C.等差数列{an}的前n项和为Sn,

由题意可得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,

故2(S6-S3)=S3+(S9-S6),

代入数据可得2×(51-12)=12+(S9-51),解得S9=117.

1.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= (　　)

A.10   B.18   C.20   D.28

【解析】选C.因为a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得a5+a6=a3+a8=10,所以3a5+a7=2a5+2a6=20.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1<0且=,则当Sn取最小值时,n的值为

(　　)

A.11   B.10   C.9   D.8

【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d,

因为a1<0,=,所以a1=-d,d>0,

所以Sn=na1+d=d,

对应图像的对称轴为n=,整数中8距对称轴最近,所以当Sn取最小值时,n=8.

3.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.======.