【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题65 用样本估计总体（含解析）

考点65 用样本估计总体
1．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如下茎叶图所示，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94　　　　　　　 B．92,86
C．99,86 D．95,91
2．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　　)
A．5,2 B．16,2
C．16,18 D．16,9
3．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为(　　)

A．700 B．800
C．850 D．900
4．为了了解某市市民对共享单车布点的满意程度，从该市市民中随机抽查若干人，按年龄(单位：岁)分组，得到样本的频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)内的有500人，年龄在[20,30)内的有200人，则m的值为(　　)

A．0.012 B．0.011
C．0.010 D．0.009
5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94 B．92,86
C．99,86 D．95,91
6．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是(　　)
A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
7．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
8．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于(　　)

A．0.12 B．0.012
C．0.18 D．0.018
9．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为(　　)

A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)

11．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)

A.3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
12．生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85 mm，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图(单位：mm)，则估计(　　)

A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等
B．甲、乙生产的零件质量相当
C．甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
D．乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
13．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n－2}(n∈N*)的第2项和第4项，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
14．检测600个某产品的质量(单位：g)，得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5～105.5之间的产品数为150，则质量在115.5～120.5的长方形高度为(　　)

A. B．
C. D．
15．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(　　)
A．28 B．40
C．56 D．60
16．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．
17．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．

18．若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．
19．某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________．
20．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学有300名员工参加环保知识测试，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．现在要从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为________．

21．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝________.
22．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
(1)求a、b、c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
23．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：
248　256　232　243　188　268　278　266　289　312
274　296　288　302　295　228　287　217　329　283
(1)完成下面的频率分布表，并做出频率分布直方图；
分组
频数
频率
频率/组距
[180,200)



[200,220)



[220,240)



[240,260)



[260,280)



[280,300)



[300,320)



[320,340]



合计


0.05
(2)估计8 万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；
(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限．
24．如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．

(1)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？
(2)试估计样本数据的中位数．
25．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．



















考点65 用样本估计总体
1．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如下茎叶图所示，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94　　　　　　　 B．92,86
C．99,86 D．95,91
【答案】B
【解析】由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为
76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
2．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　　)
A．5,2 B．16,2
C．16,18 D．16,9
【答案】C
【解析】∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∴＝5.
∴＋1＝3×5＋1＝16.
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.故选C.
3．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n的值为(　　)

A．700 B．800
C．850 D．900
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n＝＝800.
4．为了了解某市市民对共享单车布点的满意程度，从该市市民中随机抽查若干人，按年龄(单位：岁)分组，得到样本的频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)内的有500人，年龄在[20,30)内的有200人，则m的值为(　　)

A．0.012 B．0.011
C．0.010 D．0.009
【答案】C
【解析】由题意，年龄在[30,40)内的频率为0.025×10＝0.25，则抽查的市民共有＝2 000人．因为年龄在[20,30)内的有200人，所以m＝＝0.010.
5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94 B．92,86
C．99,86 D．95,91
【答案】B
【解析】由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
6．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是(　　)
A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
【答案】D
【解析】由题意知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为＝0.7.
7．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，设模糊数字为x，由＝33，易得被污染的数字为2.
8．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于(　　)

A．0.12 B．0.012
C．0.18 D．0.018
【答案】D
【解析】由题意知0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.
9．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为(　　)

A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
【答案】C
【解析】设11时到12时的销售额为x万元，依题意有＝，解得x＝10.
10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)

【答案】A
【解析】由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，所以第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相等，可排除B.
11．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)

A.3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
【答案】A
【解析】由题意，甲组数据为56,62,65,70＋x,74，乙组数据为59,61,67,60＋y,78，要使两组数据中位数相等，有65＝60＋y，所以y＝5，又平均数相同，则＝，解得x＝3.
12．生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85 mm，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图(单位：mm)，则估计(　　)

A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等
B．甲、乙生产的零件质量相当
C．甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
D．乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
【答案】D
【解析】甲的零件尺寸是：
93,89,88,85,84,82,79,78；
乙的零件尺寸是：
90,88,86,85,85,84,84,78；
故甲的中位数是：＝84.5，
乙的中位数是：＝85；
故A错误；根据数据分析，乙的数据稳定，
故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好，
故B，C错误．
13．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n－2}(n∈N*)的第2项和第4项，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n－2}(n∈N*)的第2项和第4项，所以a＝22－2＝1，b＝24－2＝4，所以s2＝[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
14．检测600个某产品的质量(单位：g)，得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5～105.5之间的产品数为150，则质量在115.5～120.5的长方形高度为(　　)

A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】根据题意，质量在100.5～105.5之间的产品数为150，频率为＝0.25；
前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，
则根据频率和为1，得
(0.25－d)＋0.25＋(0.25＋d)＋(0.25＋d)＋(0.25＋d)＝1，解得d＝.
所以质量在115.5～120.5的频率是×＝，对应小长方形的高为÷5＝.
15．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(　　)
A．28 B．40
C．56 D．60
【答案】B
【解析】设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为x，由x＋x＝140，解得x＝40.
16．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．
【答案】32
【解析】由题意可设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x＝1，x＝0.2，则中间一组的频数为160×0.2＝32.
17．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．

【答案】6
【解析】由甲组学生成绩的平均数是88，可得＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
18．若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．
【答案】2
【解析】由＝3，得m＝5，所以这五个数的方差为[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.
19．某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________．
【答案】20
【解析】由题意可知，高级教师有(300－192)×＝60(人)，抽样比k＝＝＝.故该样本中高级教师的人数为60×＝20.
20．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学有300名员工参加环保知识测试，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．现在要从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为________．

【答案】6
【解析】根据频率分布直方图得，第1,3,4组的频率之比为1∶4∶3，所以用分层抽样的方法抽取16人时，在第4组中应抽取的人数为16×＝6.
21．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝________.
【答案】
【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s2＝(1＋0＋0＋1＋0)＝.
22．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
(1)求a、b、c的值；
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；
(3)试估计这次数学测验的年级平均分．
【答案】
【解析】(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，
a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.
(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．
所以P＝＝＝0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为＝＝73，
所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．
23．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：
248　256　232　243　188　268　278　266　289　312
274　296　288　302　295　228　287　217　329　283
(1)完成下面的频率分布表，并做出频率分布直方图；
分组
频数
频率
频率/组距
[180,200)



[200,220)



[220,240)



[240,260)



[260,280)



[280,300)



[300,320)



[320,340]



合计


0.05
(2)估计8 万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；
(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限．
【答案】(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：
分组
频数
频率
频率/组距
[180,200)
1
0.05
0.002 5
[200,220)
1
0.05
0.002 5
[220,240)
2
0.10
0.005 0
[240,260)
3
0.15
0.007 5
[260,280)
4
0.20
0.010 0
[280,300)
6
0.30
0.015 0
[300,320)
2
0.10
0.005 0
[320,340]
1
0.05
0.002 5
合计
20
1.00
0.05


(2) 280 (3) 269
【解析】(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：
分组
频数
频率
频率/组距
[180,200)
1
0.05
0.002 5
[200,220)
1
0.05
0.002 5
[220,240)
2
0.10
0.005 0
[240,260)
3
0.15
0.007 5
[260,280)
4
0.20
0.010 0
[280,300)
6
0.30
0.015 0
[300,320)
2
0.10
0.005 0
[320,340]
1
0.05
0.002 5
合计
20
1.00
0.05


(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时．
(3)由频率分布直方图可知
＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时．
24．如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．

(1)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？
(2)试估计样本数据的中位数．
【答案】(1) 20 (2) 1 750
【解析】(1)由题知，月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500＝0.4，又月收入在[1 000,1 500)的有4 000人，故样本容量n＝＝10 000.
又月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2，
月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取100×＝20(人)．
(2)月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，故样本数据的中位数为1 500＋＝1 500＋250＝1 750.
25．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．
【答案】(1) 40 (2) 可以认为
【解析】(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.
使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.
故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.
②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，
所以选B款订餐软件．