【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题26 平面向量的数量积与平面向量应用举例（含解析）

考点26 平面向量的数量积与平面向量应用举例
1、已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)
A．12　　 B．8　　
C．－8　 D．2
2、若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3、已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)
A．－2　　　 B．2　　　　
C．4　 　 D．6　
4、设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)
A．32 B．24
C．20 D．16
5、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2　　　　　 B．2　　　　 　
C．4　　　　 D．4　
6、已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且＋＝，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
7、已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)
A.　 B．
C． D．
8、在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9、已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)
A．－3　　　　 B．－2　　　
C．1 D．－1
10、已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　　)
A．双曲线 B．抛物线
C．圆 D．椭圆
11、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5　 B．4　　　　
C．3 D．2
12、称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
13、若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3　，则b的坐标为(　　)
A．(3，－6)　　 B．(－3,6)　　
C．(6，－3) D．(－6,3)
14、已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)
A.　 B．
C.　　　 D．
15、在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________．
16、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝________.

8．(2019重庆调研)已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．
16、已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)．若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.
17、在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则·的最大值为________．
18、已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
19、已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则m的最大值为________．
20、已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
21、已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α.
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
23、已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
24、已知向量，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
25、已知平面上三点
满足，，，
（1）若三点不能构成三角形，求实数满足的条件；
26、在中，角，，的对边分别为，，，向量，
，满足．
（1）求角的大小；
（2）设，，有最大值为，求的值．


考点26 平面向量的数量积与平面向量应用举例
1、已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)
A．12　　 B．8　　
C．－8　 D．2
【答案】A
【解析】∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.
2、若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|⇒|＋|2＝|－|2⇒·＝0，所以三角形为直角三角形．故选B.
3、已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)
A．－2　　　 B．2　　　　
C．4　 　 D．6　
【答案】B
【解析】∵a＝(－2，m)，b＝(1，)，∴a－b＝(－2，m)－(1，)＝(－3，m－)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－)·(1，)＝－3＋m－3＝m－6＝0，解得m＝2　.故选B.
4、设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)
A．32 B．24
C．20 D．16
【答案】B
【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则·＝4x＋2y≤4×4＋2×4＝24，当且仅当＝时取等号，故选B.
5、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2　　　　　 B．2　　　　 　
C．4　　　　 D．4　
【答案】B
【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2　.
6、已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且＋＝，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题设＋＝，可知四边形ABDC是平行四边形．由圆内接四边形的性质可知∠BAC＝90°，且当AB＝AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax＝AB·AC＝×(2)2＝4.故选B.
7、已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)
A.　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.
8、在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由题意得acos＝bcos，acos＝ccos，由正弦定理得sinAcos＝sinBcos⇒sin＝sin⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.
9、已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)
A．－3　　　　 B．－2　　　
C．1 D．－1
【答案】A
【解析】因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2　＝0，解得k＝－3.
10、已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　　)
A．双曲线 B．抛物线
C．圆 D．椭圆
【答案】B
【解析】＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.
11、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5　 B．4　　　　
C．3 D．2
【答案】A
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
12、称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
【答案】C
【解析】由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.
13、若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3　，则b的坐标为(　　)
A．(3，－6)　　 B．(－3,6)　　
C．(6，－3) D．(－6,3)
【答案】A
【解析】由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3，则＝3　，所以λ＝－3，b＝(3，－6)．故选A.
14、已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)
A.　 B．
C.　　　 D．
【答案】A
【解析】∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，A＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，∴[(1－λ)－]·(λ－)＝－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.
15、在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________．
【答案】2
【解析】由题意知·＋·＝4，
即·(＋)＝4，即·＝4，
所以||＝2.
16、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝________.

【答案】1
【解析】因为＝＋＝＋，＝＋，所以·＝·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1.
8．(2019重庆调研)已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．
【答案】
【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
16、已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)．若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.
【答案】8　
【解析】由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8　.
17、在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则·的最大值为________．
【答案】6＋19
【解析】由题意得＝(x＋3，y＋3)，＝(x－3，y＋3)，所以·＝(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3)＝x2＋y2－9＋6y＋27＝6y＋19≤6＋19，当且仅当y＝1时取最大值．
18、已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
【答案】
【解析】∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
19、已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则m的最大值为________．
【答案】6
【解析】圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1，圆心C(4,4)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则＝(1－m－x0，－y0)，＝(1＋m－x0，－y0)，所以·＝(1－x0)2－m2＋y＝0，即m2＝(x0－1)2＋y.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值．因为|PM|的最大值为|MC|＋1＝＋1＝6，所以m的最大值为6.
20、已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
【答案】∪∪
【解析】a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.
21、已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α.
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
【答案】(1) 2kπ＋或2kπ＋，k∈Z. (2) －
【解析】(1)向量m＝(sin α－2，－cos α)，
n＝(－sin α，cos α)，
若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
即sin α＝，可得α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z.
(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，
即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
【答案】(1) 1 (2) .
【解析】(1)若m⊥n，则m·n＝0.
∴sin x－cos x＝0，∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m||n|cos＝1×1×＝，即sin x－cos x＝，
∴sin＝.
又x∈，∴x－∈，
∴x－＝，即x＝.
23、已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
【答案】(1) (2)6
【解】(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，
∴sin(A＋B)＝sin C，
∴m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，
∴cos C＝，C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
∵·(－)＝18，
∴·＝||·||·cos C＝abcos C＝18，∴ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36，∴c＝6.
24、已知向量，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，所以．
（2）依题意得，又，
，即，解得．
25、已知平面上三点
满足，，，
（1）若三点不能构成三角形，求实数满足的条件；
（2）是不以为直角的，求实数的值．
【答案】（1）；（2），，．
【解析】（1）三点不能构成三角形，三点共线；
存在实数，使；，解得．满足的条件是．
（2）
为直角三角形；
若是直角，则，；
若是直角，则，，解得，或3；
综上可得的值为：，，．
26、在中，角，，的对边分别为，，，向量，
，满足．
（1）求角的大小；
（2）设，，有最大值为，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由条件，两边平方得，
又，，代入得，
根据正弦定理，可化为，即，
又由余弦定理，所以，．
（2），，，
，而，，
①时，取最大值为，．
②时，当时取得最大值，解得或，
（舍去）．
③时，开口向上，对称轴小于0当取最大值，（舍去），
综上所述，或．