中考数学 专项训练 考点44 以三角形为基础的图形的旋转变换问题

专题44 以三角形为基础的图形的旋转变换问题
【典例9-1】如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°，
∴角α的度数是45°或225°．
【小结】本题考察等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强
【典例9-2】如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF和△DCH中，，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；
（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
【小结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。

【巩固提升】
1、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．
①求DE的长；
②证明：BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．

【解析】（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°．∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．
如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．

在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴，，∴，
∴点D的坐标为．
（Ⅱ）①如图②中，

∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，∴在Rt△DAE中，，
②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，
∵△ABD旋转得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，
在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，∴BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③中，

∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1
∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，∴△OPN是等腰直角三角形，
∵AB＝4，AD1＝2，∴4﹣2≤BD1≤4+2，∴2﹣1≤OP≤2+1，
∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，
∴．

2、如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为　 　，BH与AE的数量关系为　 　；
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

【解析】问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．

理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，
在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，
∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，
∴AE＝2BH．
故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．

问题证明：如图2中，（1）中结论成立．

理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．
∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，
∴△CHF≌△DHB（SAS），
∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，
∴CF∥BD，
∵AB＝BC，BE＝BD，
∴BE＝CF，
∴＝＝，
∵CF∥BD，
∴∠BCF+∠CBD＝180°，
∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，
∴AE＝BF＝2BH，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴BH⊥AE．

拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．

∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BFD＝90°，
由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，
∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，
∴EF＝BF＝3，
∴AF＝6+3，
∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．
∵AE＝2BH，
∴AE2＝12BH2，
∴BH2＝12+3

如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，

∴BH2＝＝（＝12﹣3．
3、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是　 　，∠DAE＝　 　°；
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了　 　度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为　 　．

【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；
（2）∵AB和AC为对应边，∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，
∴∠MAM′＝60°，∴点M转动了60°；
（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，∴△ABD≌△ACE，
∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，
∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，∴S四边形ADCE＝S△ABC＝9或．
故答案为点A，60；60；9或．

4、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

【解析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，又∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，∴AH＝＝12，∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

（1）解：如图甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．
（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．

b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．

∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．
综上，PB＝或．

②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝2，
∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
6、已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．
（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是　 　．
②∠APB的度数为　 　．
（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．

【解析】（1）①如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形，∴∠DCE═60°，
∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
②如图1中，∵△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠PBC+∠BAD＝60°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；


（2）结论：PD+PE＝PC．
理由：如图1中在PC上取一点H，使得EP＝EH，
∵∠APB＝60°，
∴∠DPE＝120°，
∴∠DPE+∠DCE＝180°，
∴C，D，P，E四点共圆，
∴∠CPE＝∠CDE＝60°，
∵EP＝EH，
∴△EPH是等边三角形，
∴PH＝EP＝EH，∠PEH＝∠DEC＝60°，
∴∠PED＝∠HEC，
∵EP＝EH，ED＝EC，
∴△PED≌△HEC（SAS），
∴PD＝CH，
∴PC＝PH+CH＝PE+PD．

（3）如图2中，∵AC＝4，AD＝2，
∴4﹣2≤CD≤4+2，
∴2≤CD≤6．
由（1）可知，EC＝CD，
∴EC的最大值为6．
即当点D在CA的延长线上时，CE取最大值为6．

7、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）直线BD和CE的位置关系是　 　；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．

【解析】（1）BD⊥CE，
理由：延长CE交BD于P，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BD⊥CE，
（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．

∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∵∠AEC＝∠BEP，
∴∠BPE＝∠EAC＝90°，
∵∠PBE＝∠ABD，
∴△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当点E在BA延长线上时，BE＝3，

∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，
由△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，
∴PB＝，
综上所述，PB的长为或．

8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．

【解析】（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，

∵点M是AD中点，∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），
∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，
∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，
∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，
∴∠CBE+∠DBH＝90°，
∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，
∴△ACN≌△BCE（SAS），
∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，
∴CN⊥CE．

9、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；
（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

【解析】（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
又∵AC＝BC，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，
∴∠EAD＝90°，
∴，
∴．
∴；

（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CG＝AB，即＝，
∵点F为AD的中点，
∴FA＝AD，
∴FG＝AG﹣AF
＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，
由（1）可得：BD＝AE，
∴FG＝AE，即＝，
∴＝，
又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，
∴△CGF∽△BAE，
∴∠FCG＝∠ABE，
∵∠FCG+∠CFG＝90°，
∴∠ABE+∠CFG＝90°，
∴CF⊥BE．