数学2.1 直线的倾斜角与斜率一等奖教学设计

这是一份数学2.1 直线的倾斜角与斜率一等奖教学设计，共5页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。




一、内容和内容解析


1.内容


直线的倾斜角与斜率的概念，倾斜角与斜率的关系，过两点的直线的斜率公式.


2.内容解析


解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化，相互渗透．平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法研究几何问题．本节课是人教版A版选择性必修一第二章《直线与圆的方程》第一节《直线的倾斜角与斜率》第一课时内容，是高中解析几何内容的开始．直线倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础．


直线的倾斜角与斜率描述了在平面直角坐标系内一条直线相对于x轴的倾斜程度．是在坐标系下进一步研究直线性质的基本量．直线的倾斜角是确定直线位置的一个几何要素．直线向上的方向与x轴的正方向之间所成的角，即是直线与x轴的两方向向量的夹角，当直线与x轴平行或重合时规定其倾斜角为0°．此定义渗透了分类讨论的思想．直线的倾斜角侧重于从几何角度描述直线的倾斜程度．教材借助研究倾斜角与直线上两点的坐标之间的关系引出了直线斜率的概念，当倾斜角不为90°时，直线的斜率是其倾斜角的正切值．斜率从代数角度刻划了直线的倾斜程度，不仅是建立直线方程的基础，也是进一步研究变化率或导数的基础．


直线可由两点来确定，就是说，任给直线上两点P1 (x1, y1), P 2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式．


“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想．结合以上分析，确定本节课的教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程．


二、目标和目标解析


1.目标


（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；


（2）会求出直线的倾斜角与直线的斜率；


（3）掌握过两点的直线的斜率公式.


2.目标解析


达成上述目标的标志是：


（1）正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以x轴为基准，直线与X轴相交时，x轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值；


（2）能够由知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率，并根据已知直线的斜率求出其对应倾斜角；


（3）在具体问题情景中，根据直线上两点的坐标，利用直线的斜率公式，求出直线的斜率，并能够判断出直线倾斜角是锐角还是钝角．.


三、教学问题诊断分析


平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，从而用解析几何的思想来研究一条直线，是比较困难的．因此，直角坐标系下，刻画直线的几何要素是倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法是斜率，概念本质的认识也成为学生学习中的一个难点．[来源:学_科_


斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角已经可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切值定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角正切值入手，通过师生共同探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破．


过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化．


本节课的教学难点是：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立．.


四、教学过程设计


1.引言


多边形和圆是义务教育阶段我们学习的两类基本图形，在高中数学必修二中学习了多面体与旋转体,对这些几何图形的研究,是从几何图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质．这种研究方法通常称为综合法．


从本节课开始，我们采用另一种方法——坐标法来研究几何图形的性质．那么，什么是坐标法呢？


坐标法：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的．它的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促使了微积分的创立，从此，数学进入了变量数学的新时代．解析几何的创立提供了研究几何的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究，这种方法具有一致性，它沟通了数学内部数与形，代数与几何两大学科之间的联系，从此，代数与几何相互汲取新鲜的活力，得到迅速发展．


同学们课后可以阅读教材80页89页，查阅相关资料，了解一下解析几何学的产生及其在数学发展中作用．


设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义．


概念的引入


问题1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置？


师生活动：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点．


追问：


（1）在平面直角坐标系中，经过一点P可以做多少条直线？


（2）这些直线的区别是什么？


（3）如何表示这些直线的方向呢？


师生活动：引导学生思考过一点确定一条直线的条件，给出直线方向的规定，为引出倾斜角概念做准备．


设计意图：引导学生从倾斜程度不同方面研究过定点的不同直线，从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线，为引出倾斜角的概念作铺垫．


师生活动：教师给出倾斜角的概念，规定：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0．引导学生总结倾斜角的取值范围．


3.概念的理解


问题2：平面上任何一条直线都有倾斜角吗？它的倾斜角唯一吗？


追问：


（1）两条直线平行，倾斜角有何关系


（2）两条不重合的直线倾斜角相等，它们的位置关系如何


师生活动：师生共同探讨，学生讨论，总结结论．


设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可．因此，倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．


问题3：两点确定一条直线，那么直线的倾斜角与直线上两点的坐标间存在怎样的内在联系？


师生活动：师生共同探索教材P52研究，从特殊到一般，得到倾斜角的正切值与直线上两点坐标之间的关系．


教师给出直线的斜率的定义，引导学生注意倾斜角为90°的直线没有斜率．


设计意图：明确可以用斜率表示直线的倾斜程度，因此：斜率也可以刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．


问题4：确定直线的两个要素——点和倾斜角（或斜率）．点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率．在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此，要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究，必须建立斜率的坐标表示方法．根据斜率定义的过程，你能否将坡度进一步坐标化，在此基础上求出斜率的坐标表示？











师生活动：先由学生初步坐标化，教师引导，根据思考，辨析斜率公式，并简单应用．


设计意图：使学生明确已知直线上两点的坐标，求其斜率的方法；体会构造的过程，渗透化归的数学思想，向学生展现数学的和谐与对称美．


概念的巩固应用


师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.


设计意图：考察学生对斜率公式的掌握程度,进而由斜率的正负判断直线的倾斜程度,从代数层面理解斜率;也可由几何直观感受直线的倾斜程度,进而建立数与形的联系,感受坐标法,为后面的学习做准备.


5.归纳总结、布置作业


教师引导学生归纳总结本节课知识脉络.


6.布置作业：（1）教科书P55练习2、3、4．


（2）教材P57习题2.1 2.


五、目标检测设计





设计意图：本题考察学生对方向向量与斜率关系的理解.





设计意图：本题是例1的延伸，是本节课知识内容的综合考察.