2020－2021华师一附中高一上学期期中数学 试卷
展开华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测
高一年级数学试题
试卷总分150分 考试时间120分钟 命题人：张丹 审题人：黄进林
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．已知A＝{，0，1 }，B＝{，，1}，则A∪B的真子集的个数为 （ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域为，函数，则函数的定义域为 （ ）
A． B．(0, 1) C． D．
4．若正实数a，b满足，则的最小值为 （ ）
A． B．6 C． D．
5．函数的单调递减区间是 （ ）
A． B． C．[0，2] D．[2，4]
6．若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
10．下列各结论中正确的是 （ ）
A．“”是“”的充要条件．
B．函数的最小值为2．
C．命题“，”的否定是“，” ．
D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或．
11．定义域为R的函数满足，且当时，．以下结论正确的是 （ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为增函数 D．为减函数
12．设定义域为R的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1 < x2 < x3．下列说法正确的是 （ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为____________．
14．关于x的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是___________．
15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．
16．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知集合，定义.
（1）求；
（2）求．
18．（本题满分12分）
已知非空集合，集合. 命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数的取值范围.
19．（本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数a的取值范围．
20．（本题满分12分）已知函数．
（1）若对于任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值．
21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；
（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a的取值范围．
22．（本题满分12分）若函数自变量的取值区间为[a, b]时，函数值的取值区间恰为
，就称区间[a, b]为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“和谐区间”；
（3）若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
高一年级数学试题参考答案
一、单选题
1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C
二、多选题
9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD
三、填空题
13．{-1,0,2} 14． 15．二 16．或
四、解答题
17．解：， ………………2分
………………4分
（1） ………………7分
（2） ………………10分
18．解：，.
∵，∴.∴. ………………2分
∵p是q的充分条件，∴. ………………3分
① 当时，，，不符合题意； ………………5分
② 当时，，，要使，
则 ∴. ………………8分
③ 当时，，，要使，
则 ∴. ………………11分
综上所述，实数a的取值范围是. ………………12分
19．（1）解法一：因为函数是定义在[-1,1]上的奇函数，
则，得，解得， ………………2分
经检验，时，是定义在上的奇函数. ………………3分
法二：是定义在上的奇函数，则，
即，则，
所以，又因为，得，所以，. ………………3分
设且，则
在上是增函数………………6分
（2）由（1）知，在上是增函数，
又因为是定义在上的奇函数，
由，得， ………………7分
， ………………10分
即，解得．
故实数的取值范围是[0，1)． ………………12分
20．（1）解法一：对任意的，恒有，即，
整理得对任意的恒成立， ………………2分
构造函数，其中，则，即，…… 4分
即，解得，因此，实数a的取值范围是. ………………6分
解法二：对任意的，恒有，即，
整理得对任意的恒成立， ………………2分
………………5分
因此，实数a的取值范围是. ………………6分
（2）．
………………7分
①当，即时，函数在上单调递增，
在上单调递减，此时； ………………9分
②当，即时，在[0, 2]上单调递增，
此时． ………………11分
综上所述，． ………………12分
21．（1）设甲工程队的总造价为y元，
则， ………………2分
， ………………4分
当且仅当，即x = 4时等号成立． ………………5分
故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分
（2）由题意可得对任意的恒成立．
故，从而恒成立， ………………8分
令，，．
又在为增函数，故. ………………11分
所以a的取值范围为． ………………12分
22．（1）因为为R上的奇函数，∴
又当时，
所以，当时，；
………………3分
（2）设，∵在上递单调递减，
，即是方程的两个不等正根．
∵ ∴ ∴在内的“和谐区间”为． ………………6分
（3）设[a, b]为的一个“和谐区间”，则，∴a，b同号．
当时，同理可求在内的“和谐区间”为．
………………8分
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上可知，实数m的取值集合为． ………………12分
（用图象法解答也相应给分）
