人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)同步测试题
展开模块一:辅助角公式
辅助角公式:
,其中,所在的象限由的符号确定.
考点1:辅助角公式
例1.(1)函数的最小值和最小正周期分别是
A.,B.,C.,D.,
例2.设.
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值.
例3.已知函数,其图象过点,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在,上的最大值和最小值.
例4.已知函数.
(Ⅰ)将函数化简成,,,的形式,并指出的周期;
(Ⅱ)求函数上的最大值和最小值.
模块二:图像变换
对函数的图象的影响
⑴ 对的图象的影响.
函数的图象,可以看做是把图像上的各点向左或向右平移个单位而得到的.(可简记为左右)
即平移个单位得
⑵对的图象的影响.
函数的图象,可以看做是把的图象上的各点的横坐标都缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
即的横坐标到原来的倍得.
⑶对的图象的影响
函数(且)的图象,可以看做是的图象上各点的纵坐标都伸长 或缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的.
即的纵坐标到原来的倍得.
考点2:图像变换
例5.(1)要得到函数的图象,需要将函数的图象
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,则的最小值为
A.B.C.D.
(3)为了得到函数的图象,需对函数的图象所作的变换可以为
A.先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位
B.先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变
C.先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变
D.先向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
(4)若函数,的图象如图所示,则为了得到图象,只需将函数的图象
A.向左平移个长度单位B.向左平移个长度单位
C.向右平移个长度单位D.向右平移个长度单位
课后作业:
1.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向右平移个单位
2.为了得到函数的图象,只需把的图象上所有的点
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
3.求函数的最大值和最小值.
4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)将函数的图象右移个单位得到的图象,求函数的单调递增区间.
5.已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)求函数在区间,上的最大值和最小值.
考点1:辅助角公式
例1.(1)函数的最小值和最小正周期分别是
A.,B.,C.,D.,
【解答】解:函数,
故函数的最小正周期等于,
当,时,函数有最小值等于.
故选:.
例2.设.
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值.
【解答】解:(Ⅰ),
令,求得,
可得函数的增区间为,,.
(Ⅱ)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得的图象;
再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,
.
例3.已知函数,其图象过点,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在,上的最大值和最小值.
【解答】解:函数,
又因为其图象过点,.
解得:
由(1)得,
,
当时,取最大值;
当时,取最小值.
例4.已知函数.
(Ⅰ)将函数化简成,,,的形式,并指出的周期;
(Ⅱ)求函数上的最大值和最小值.
【解答】解:(Ⅰ).
故的周期为.
(Ⅱ)由,得.
因为在上是减函数,
在上是增函数.
故当时,有最小值;
而,,
所以当时,有最大值.
模块二:图像变换
对函数的图象的影响
⑴ 对的图象的影响.
函数的图象,可以看做是把图像上的各点向左或向右平移个单位而得到的.(可简记为左右)
即平移个单位得
⑵对的图象的影响.
函数的图象,可以看做是把的图象上的各点的横坐标都缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
即的横坐标到原来的倍得.
⑶对的图象的影响
函数(且)的图象,可以看做是的图象上各点的纵坐标都伸长 或缩短到原来的倍(横坐标不变)而得到的.
即的纵坐标到原来的倍得.
考点2:图像变换
例5.(1)要得到函数的图象,需要将函数的图象
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
【解答】解:,
要得到函数的图象,需要将函数的图象向右平移个单位.
故选:.
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,则的最小值为
A.B.C.D.
【解答】解:将函数的图象向左平移个单位得到的图象,
而已知得到函数的图象,,,的最小值为,
故选:.
(3)为了得到函数的图象,需对函数的图象所作的变换可以为
A.先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位
B.先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变
C.先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变
D.先向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
【解答】解:的图象先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标不变,
得到:,
再向右平移个单位,得到
即:函数的图象.
故选:.
(4)若函数,的图象如图所示,则为了得到图象,只需将函数的图象
A.向左平移个长度单位B.向左平移个长度单位
C.向右平移个长度单位D.向右平移个长度单位
【解答】解:由题意,,,
,
,
将,代入可得,解得:,,解得:,,
,
,可得:,
为了得到图象,只需将函数的图象向左平移个单位长度即可.
故选:.
课后作业:
1.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向右平移个单位
【解答】解:要得到函数的图象,只需将函数向左平移个单位即可,即.
故选:.
2.为了得到函数的图象,只需把的图象上所有的点
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
【解答】解:只需把的图象上所有的点向左平移个单位长度,
即可得到函数的图象,
故选:.
3.求函数的最大值和最小值.
【解答】解:
,
,
,.
4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)将函数的图象右移个单位得到的图象,求函数的单调递增区间.
【解答】解:(1)函数,
故函数的周期.
(2)将函数的图象右移个单位得到的图象,
得到的图象,
由,.
解得:,
函数的单调递增区间为,.
5.已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)求函数在区间,上的最大值和最小值.
【解答】解:(1)函数.
令,
解得:,
故函数的单调递增区间为:,
(2)由于,
所以,
所以当时,函数的最大值为1,
当时,函数的最小值为.
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