2020浙江省丽水市中考数学试卷及答案
展开2020浙江省丽水市中考数学真题及答案
（满分为120分，考试时间为120分钟）
卷 Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数3的相反数是
A． B．3 C． D．
2．分式的值是零，则的值为
A．2 B．5 C． D．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
A． B． C． D．
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是
A． B． C． D．
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是
A． B． C． D．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是
A． B． C． D．
卷 Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可） ．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 ．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 ．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是 ．
16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是 ．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式：．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 | 项目 | 人数（人 |
| 跳绳 | 59 |
| 健身操 | ▲ |
| 俯卧撑 | 31 |
| 开合跳 | ▲ |
| 其它 | 22 |
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
20．（8分）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．
22．（10分）如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
答 案 与 解 析
卷 Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数3的相反数是
A． B．3 C． D．
【知识考点】相反数；实数的性质
【思路分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解题过程】解：实数3的相反数是：．
故选：．
【总结归纳】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．分式的值是零，则的值为
A．2 B．5 C． D．
【知识考点】分式的值为零的条件
【思路分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【解题过程】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
【总结归纳】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【知识考点】因式分解运用公式法
【思路分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
【解题过程】解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、能运用平方差公式分解，故此选项正确；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
【总结归纳】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【知识考点】中心对称图形
【思路分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解题过程】解：、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
【总结归纳】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是
A． B． C． D．
【知识考点】概率公式
【思路分析】根据概率公式直接求解即可．
【解题过程】解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：．
【总结归纳】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识考点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【思路分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解题过程】解：由题意，，
（垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：．
【总结归纳】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【思路分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解题过程】解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是
A． B． C． D．
【知识考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；等边三角形的性质；切线的性质
【思路分析】如图，连接，．求出的度数即可解决问题．
【解题过程】解：如图，连接，．
是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
【总结归纳】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是
A． B． C． D．
【知识考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【思路分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
【解题过程】解：设“□”内数字为，根据题意可得：
．
故选：．
【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是
A． B． C． D．
【知识考点】勾股定理的证明
【思路分析】证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
【解题过程】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
【总结归纳】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
卷 Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可） ．
【知识考点】点的坐标
【思路分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
【解题过程】解：点在第二象限内，
，
则的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【总结归纳】此题主要考查了点的坐标，正确得出的取值范围是解题关键．
12．数据1，2，4，5，3的中位数是 ．
【知识考点】中位数
【思路分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
【解题过程】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
则这组数据的中位数是3，
故答案为：3．
【总结归纳】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 ．
【知识考点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【思路分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．
【解题过程】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为．
故答案为：20．
【总结归纳】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ．
【知识考点】平移的性质；平行四边形的性质
【思路分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解题过程】解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
【总结归纳】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是 ．
【知识考点】解直角三角形的应用；正多边形和圆
【思路分析】如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．求出，即可解决问题．
【解题过程】解：如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．
观察图象可知：，，
，
，
．
故答案为．
【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是 ．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为 ．
【知识考点】旋转的性质；角平分线的性质
【思路分析】（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．
（2）如图3中，连接交于．想办法求出，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解题过程】解：（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，
，
，
，
此时四边形的周长为，
故答案为16．
（2）如图3中，连接交于．
由题意，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【总结归纳】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
【知识考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；实数的运算
【思路分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
【解题过程】解：原式．
【总结归纳】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．
18．（6分）解不等式：．
【知识考点】解一元一次不等式
【思路分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可．
【解题过程】解：，
，
，
．
【总结归纳】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 | 项目 | 人数（人 |
| 跳绳 | 59 |
| 健身操 | ▲ |
| 俯卧撑 | 31 |
| 开合跳 | ▲ |
| 其它 | 22 |
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
【知识考点】调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；扇形统计图；统计表
【思路分析】（1）从统计图表中可得，“组 其它”的频数为22，所占的百分比为，可求出调查学生总数；
（2）“开合跳”的人数占调查人数的，即可求出最喜爱“开合跳”的人数；
（3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数．
【解题过程】解：（1）（人，
答：参与调查的学生总数为200人；
（2）（人，
答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；
（3）最喜爱“健身操”的学生数为（人，
（人，
答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．
【总结归纳】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键．
20．（8分）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．
【知识考点】含30度角的直角三角形；弧长的计算
【思路分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得的长，然后即可得到的长；
（2）根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解题过程】解：（1）的半径，于点，，
，
；
（2），，
，
，
的长是：．
【总结归纳】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．
【知识考点】一次函数的应用
【思路分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低，由3百米时温度为，即可得出高度为5百米时的气温；
（2）应用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解题过程】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低，
，
高度为5百米时的气温大约是；
（2）设关于的函数表达式为，
则：，
解得，
关于的函数表达式为；
（3）当时，，
解得．
该山峰的高度大约为15百米．
22．（10分）如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长．
【知识考点】三角形综合题
【思路分析】（1）如图1中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）①证明，可得解决问题．
②如图3中，由（1）可知：，证明，推出，由此求出即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图1中，过点作于．
在中，．
（2）①如图2中，
，
，
，
，
，
，
．
②如图3中，由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在，，
．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．
【知识考点】二次函数综合题
【思路分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【解题过程】解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
【知识考点】相似形综合题
【思路分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）连接，求出的面积即可解决问题．
（3）首先证明，①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形．②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
【解题过程】（1）证明：如图1中，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图1中，连接．
，
，
，
．
（3）解：如图1中，连接，设交于，
，，
，
，
，
，
，
①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．
菱形菱形，
，
，，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．
同法可证：，
，设，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
．
②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，，过点作于，过点作于．
是的中位线，
，
同法可得：，
，
，
，设，则，
，
，
，
，
点的坐标为，．
如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．
是的中位线，
，，
同法可得：，
，则，
设，则，
，
，
，
，
，．
③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点作轴于于点，交于，过点作于．
轴，，
，
，
同法可得：，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．
