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    2021年沪科版八年级数学下册 19.3.1 第1课时 矩形的性质 教案设计
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    2021年沪科版八年级数学下册 19.3.1 第1课时 矩形的性质 教案设计01
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    数学第19章 四边形19.3 矩形 菱形 正方形第1课时教案

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    这是一份数学第19章 四边形19.3 矩形 菱形 正方形第1课时教案,共3页。教案主要包含了情境导入,合作探究,板书设计等内容,欢迎下载使用。




    1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系;(重点)


    2.会运用矩形的概念和性质来解决有关问题.(难点)





    一、情境导入


    1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等),想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质?


    2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么(动画演示拉动过程如图)?


    3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形),引出本课题及矩形定义.





    矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都是矩形.


    有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.


    二、合作探究


    探究点一:矩形的性质


    【类型一】 矩形的四个角都是直角


    如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC.若BE=4,AC=15,则△AEC的面积为( )








    A.15 B.30 C.45 D.60


    解析:如图,过E作EF⊥AC,垂足为F.


    ∵AE平分∠BAC,EF⊥AC,BE⊥AB,


    ∴EF=BE=4,


    ∴S△AEC=eq \f(1,2)AC·EF=eq \f(1,2)×15×4=30.故选B.


    方法总结:矩形的四个角都是直角,常作为证明或求值的隐含条件.


    【类型二】 矩形的对角线相等


    如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是( )


    A.2


    B.4


    C.2eq \r(3)


    D.4eq \r(3)


    解析:根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD=OA=eq \f(1,2)AC,由∠AOD=60°得△AOD为等边三角形,即可求出AC的长.故选B.


    方法总结:矩形的两条对角线互相平分且相等,即对角线把矩形分成四个等腰三角形,当两条对角线的夹角为60°或120°时,图中有等边三角形,可以利用等边三角形的性质解题.


    探究点二:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半


    如图,已知BD,CE是△ABC不同边上的高,点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GF⊥DE.


    解析:本题的已知条件中已经有直角三角形,有斜边上的中点,由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理.





    解:连接EG,DG.


    ∵BD,CE是△ABC的高,


    ∴∠BDC=∠BEC=90°.


    ∵点G是BC的中点,


    ∴EG=eq \f(1,2)BC,DG=eq \f(1,2)BC,


    ∴EG=DG.


    又∵点F是DE的中点,


    ∴GF⊥DE.


    方法总结:在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题.


    探究点三:矩形的性质的运用


    【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度


    如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.


    解析:先判定△AEF≌△DCE,得CD=AE,再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE的长.





    解:∵四边形ABCD是矩形,


    ∴∠A=∠D=90°,


    ∴∠CED+∠ECD=90°.


    又∵EF⊥EC,


    ∴∠AEF+∠CED=90°,


    ∴∠AEF=∠ECD.


    而EF=EC,


    ∴△AEF≌△DCE,


    ∴AE=CD.


    设AE=xcm,


    ∴CD=xcm,AD=(x+4)cm,


    则有2(x+4+x)=32,解得x=6.


    即AE的长为6cm.


    方法总结:矩形的各角为直角,常作为全等的一个条件用来证三角形全等,可借助直角的条件解决直角三角形中的问题.


    【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小


    如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE∶∠BAE=3∶1,求∠BAE和∠EAO的度数.





    解析:由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数,从而得∠ABO的度数,再根据矩形的性质易得∠EAO的度数.


    解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,


    AO=eq \f(1,2)AC,BO=eq \f(1,2)BD,AC=BD,


    ∴∠BAE+∠DAE=90°,AO=BO.


    又∵∠DAE:∠BAE=3:1,


    ∴∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5°.


    ∵AE⊥BD,


    ∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,


    ∴∠OAB=∠ABE=67.5°,


    ∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.


    方法总结:矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据.


    【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积


    如图所示,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )


    eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,10)





    解析:由四边形ABCD为矩形,易证得△BEO≌△DFO,则阴影部分的面积等于△AOB的面积,而△AOB的面积为矩形ABCD面积的eq \f(1,4),故阴影部分的面积为矩形面积的eq \f(1,4).故选B.


    方法总结:求阴影部分的面积时,当阴影部分不规则或比较分散时,通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形,再求其面积.


    【类型四】 矩形中的折叠问题


    如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.


    解析:这是一道折叠问题,折后的图形与原图形全等,从而得△BCD≌△BC′D,则易得BE=DE.在Rt△ABE中,利用勾股定理列方程求出BE的长,即可求得△BED的面积.





    解:∵四边形ABCD是矩形,


    ∴AD∥BC,∠A=90°,


    ∴∠2=∠3.


    又由折叠知△BC′D≌△BCD,


    ∴∠1=∠2,


    ∴∠1=∠3,∴BE=DE.


    设BE=DE=x,则AE=8-x.


    ∵在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,


    ∴42+(8-x)2=x2,解得x=5.


    即DE=5.


    ∴S△BED=eq \f(1,2)DE·AB=eq \f(1,2)×5×4=10.


    方法总结:矩形的折叠问题是常见的问题,本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足,解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析.











    三、板书设计








    经历矩形的概念和性质的探索过程,把握平行四边形的演变过程,迁移到矩形的概念与性质上来,明确矩形是特殊的平行四边形.培养学生的推理能力以及自主合作精神,掌握几何思维方法,体会逻辑推理的思维价值.
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