人教A版 (2019)专题训练：第06章 平面向量及其应用（A卷基础篇）解析版

第六章 平面向量及其应用A（基础卷）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2019秋•公安县期末）如果向量（0，1），（﹣2，1），那么|2|＝（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：由向量（0，1），（﹣2，1），

所以2（﹣4，3），

由向量的模的运算有|2|5，

故选：B．

2．（2020•葫芦岛模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且，，则（　　）

A． B．4 C． D．

【解答】解：，

∴（）•（）

．

故选：C．

3．（2020•黄山二模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边6，且2，点P是线段AD上任一点，则的取值范围是（　　）

A．[0，4] B．[] C．[0，] D．[]

【解答】解：AB＝AC＝3，，

（），

设λ，则（1），

∴（）•[（1）]（1）10λ2﹣6λ，

∵0≤λ≤1，

∴当λ时，取得最小值，当λ＝1时，取得最大值4．

故选：B．

4．（2020•茂名二模）设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6

【解答】解：∵，，，

∴，解得k＝﹣6．

故选：D．

5．（2020春•扬州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　）

A． B． C． D．2

【解答】解：A＝60°，a，

由正弦定理可得，2，

∴b＝2sinB，c＝2sinC，

则2．

故选：D．

6．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝2，A＝45°，B＝30°，那么b＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理可得，，

所以b，

故选：A．

7．（2020•罗湖区校级模拟）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S，p；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．12

【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：，∴a：b：c＝2：3：，

∵△ABC周长为10+2，即a+b+c＝10+2，

∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p5，

∴△ABC的面积S6．

故选：C．

8．（2020•山西模拟）已知向量，，，则当取最小值时，实数t＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设P（x，y）；

因为向量，，，

可得（x，y﹣2）＝t（1，﹣2）；

故；

∴；

当t时取最小值．

故选：C．

二．多选题（共4小题）

9．（2020春•江阴市期中）在△ABC中，，AC＝1，，则角A的可能取值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理可得，即，

所以sinC，

所以C或，

当C时，A，

当C时，A．

故选：AD．

10．（2020•青岛模拟）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2，，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（　　）

A．∥ B． 

C． D．S＝4

【解答】解：已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2，所以A，P，C三点共线．点P为线段AC的三等分点，

由于，所以A，B，Q三点共线，且B为线段AQ的中点，

如图所示：

所以

①不平行，故选项A错误．

②根据三角形法则：．

③

④△ABC的面积为3，所以，则S△ABP＝2，S△BCP＝1，

且S△ABP＝S△BPQ＝2，

所以S△APQ＝2+2＝4．

故选：BD．

11．（2020春•正定县校级月考）以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）

A．在△ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C 

B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b 

C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立 

D．在△ABC中，

【解答】解：对于A，由正弦定理，

可得：a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B，

∴a＝b，或a2+b2＝c2，故B错误；

对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；

对于D，由正弦定理，

可得右边2R＝左边，故正确．

故选：ACD．

12．（2020•泰安模拟）已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（）∥，下列说法正确的是（　　）

A．a与b的夹角为钝角 

B．向量a在b方向上的投影为 

C．2m+n＝4 

D．mn的最大值为2

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，向量（2，1），（1，﹣1），则•2﹣1＝1＞0，则、的夹角为锐角，A错误；

对于B，向量（2，1），（1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为，B错误；

对于C，向量（2，1），（1，﹣1），则（1，2），若（）∥，则（﹣n）＝2（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；

对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn（2m•n）（）2＝2，即mn的最大值为2，D正确；

故选：CD．

三．填空题（共4小题）

13．（2020•新课标Ⅰ）设向量（1，﹣1），（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝　5　．

【解答】解：向量（1，﹣1），（m+1，2m﹣4），若⊥，

则•m+1﹣（2m﹣4）＝﹣m+5＝0，

则m＝5，

故答案为：5

14．（2020•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且||＝1，则||＝　　．

【解答】解：，为单位向量，且||＝1，

||2＝1，

可得，

1+21＝1，

所以，

则||．

故答案为：．

15．（2020•葫芦岛模拟）若tanα，向量（1，﹣1），（cos2α，sin2α），则•　　．

【解答】解：向量（1，﹣1），（cos2α，sin2α），tanα，

则•．

故答案为：．

16．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b，c＝2，那么cosA＝　　．

【解答】解：由余弦定理可得，cosA．

故答案为：

四．解答题（共5小题）

17．（2020春•胶州市期中）已知，α∈R．

（1）若向量，求的值；

（2）若向量，证明：．

【解答】解：（1）因为，

所以tanα，

所以．

（2）证明：因为，

所以6（sin2α﹣cos2α）+5（1+cos2α）＝0，

所以．

18．（2019秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．

（1）求CD的长；

（2）求的值．

【解答】解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，即CD的长为；

（2），

∴．

19．（2020•重庆模拟）已知函数．

（1）求函数f（x）的单调性；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积．

【解答】解：（1），

由，得，k∈Z；

由，得，k∈Z．

故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z．

（2），则，

∵A∈（0，π），∴，即，

由正弦定理得，即，解得，∴或，

当C时，A+C＞π，舍去，所以，故，

∴．

20．（2019秋•安徽期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设平面向量，且

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若，求△ABC中AB边上的高h．

【解答】解：（Ⅰ）平面向量，且，

可得，

所以cos2B﹣sin2A+sinAsinB＝cos2C，即1﹣sin2B﹣sin2A+sinAsinB＝1﹣sin2C，

即sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，

根据正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，所以，

所以；

（Ⅱ）由余弦定理，又，所以ab＝3，

根据△ABC△的面积，即，解得，

所以△ABC中AB边上的高．

21．（2020•山东模拟）在①a，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c而且 _______．

（1）求∠C；

（2）求△ABC周长的最大值．

【解答】解：（1）选①，∵a，

∴，

∵sinA≠0，

∴，即，

又0＜C＜π，

∴，故，即；

选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，

∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴，

∵0＜C＜π，

∴；

（2）由（1）可知，，

在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3，

∴，

∴，当且仅当那个a＝b时取等号，

∴，即△ABC周长的最大值为．