四川省广元市高三第一次高考适应性统考数学（理）试题附答案

广元市高 三第一次高考适应性统考

数学试卷（理工类）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．                     B．         

C．                     D．

2．已知是虚数单位，复数的共轭复数为（    ）

A．          B．            C．           D．

3．向量，向量，若，则实数的值为（    ）

A．         B．1          C．2          D．3

4．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（    ）

A．          B．         

C．          D．

5．下列说法中正确的是（   ）

A．“” 是“函数是奇函数”的充要条件       

B．若：，，则：，         

C．若为假命题，则均为假命题         

D．“若，则”的否命题是“若，则”

6．已知函数，则其导函数的图象大致是（    ）

7．在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（    ）

A．24       B．36       C．72        D．96

8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（    ）

A．        B．         C．          D．

9．若为函数的最小值，则的展开式中的常数项为（    ）

A．         B．15        C．        D．14

10．已知函数的部分图象如图所示，且，，则（    ）

A．                               B．       

C．                                D．

11．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（    ）

A．         B．        C．          D．

12．设函数在上存在导数，对任意的，有，且时，.若，则实数的取值范围为（    ）

A．          B．         C．         D．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．设变量满足，则的最小值为       ．

14．设，若，则       ．

15．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则      ．

16．在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，，若的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则      ． 

        三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设为数列的前项和，已知，对任意，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求证：.

18．在中，分别是角的对边，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值．

19．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.

（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；

（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

（3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.

，其中.

20．如图所示，三棱锥中，平面平面，是边长为4,的正三角形，是顶角的等腰三角形，点为上的一动点．

（1）当时，求证：；

（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.

21．已知函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围．

选考题：考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂黑，多做按所答第一题计分.

22．在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围.

广元市高 第一次高考适应性统考

数学试卷（理工类）

一、选择题：

  DACAD  ABCBC  AB

二、填空题：

   13. -2       14.        15.       16. 1或2

三、解答题：

17．(本题12分)

解：（Ⅰ）因为，当时，

两式相减得：   即，

所以当时，.

所以，即.

（Ⅱ）因为，，，

所以.

所以，

因为，所以.     

又因为在上是单调递减函数，

所以在上是单调递增函数.    

所以当时，取最小值，    

所以.

17．(本题12分)

解：（1）因为，

所以，------1分

由正弦定理得，------3分

即，

又，所以，

所以，-----5分

在中，，所以，所以．

（2）由余弦定理得：，由重要不等式知

∴，------9分

∴，

当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，

∴的面积的最大值为．

19. (本题12分)

解：（1）由题意得：，解得，男生人数为：550×=55人．

（2）2×2列联表为：

所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．

（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4。 （8分）

设事件发生概率为，

则，，，

，    

的分布列为：

期望.

20.（1）证明：取中点为，连接，

由为正三角形知，

在中，，可得，

在在△BMP中，

由余弦定理可得，

从而，即BC⊥MP，

又AM∩MP=M， 

∴BC⊥平面AMP，又AP在平面AMP内, ∴BC⊥AP，即AP⊥BC；

（2）解：由（1）知AM⊥平面BCD，则AP与平面BCD的夹角为∠APM=60°，在直角△APM中，可得PM=2，则点P为线段BD的中点，以点M为坐标原点，MB，MQ，MA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（由（1）知点Q为靠近B的三等分点），

则点，，，，

从而，，，

于是，

设平面PAC的一个法向量为，

则，即，不妨取z=1，得，

又平面ABC的一个法向量为，

从而，

故二面角P﹣AC﹣B的余弦值为．

21、(本题12分)

解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

当a=1时，，

∴当x（﹣1，0）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，

∴当x（0，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴f（x）max=f（0）=0．

（2）令φ（x）=f（x）+1，因为“对任意的x1，x2[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立”，

所以对任意的x1，x2[0，2]，φ（x）min≥g（x）max成立，

由于，

当a＜0时，对∀x[0，2]有φ'（x）＞0，从而函数φ（x）在[0，2]上单调递增，

所以φ（x）min=φ（0）=1，g'（x）=2xemx+x2emx•m=（mx2+2x）emx，

当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g（x）max=g（2）=4，显然不满足g（x）max≤1，

当m≠0时，令g'（x）=0得x1=0，，

①当，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以g（x）在[0，2]上单调递增，

所以，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m≤﹣ln2．

②当，即m＜﹣1时，在上g'（x）≥0，g（x）单调递增，

在上g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以，

只需，得，所以m＜﹣1．

③当，即m＞0时，显然在[0，2]上g'（x）≥0，g（x）单调递增，

所以，4e2m≤1不成立．

综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．

①当，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以g（x）在[0，2]上单调递增，

所以，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m≤﹣ln2．

②当，即m＜﹣1时，在上g'（x）≥0，g（x）单调递增，

在上g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以，

只需，得，所以．

③当，即m＞0时，显然在[0，2]上g'（x）≥0，g（x）单调递增，

所以，4e2m≤1不成立．

综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．

22. （本小题满分10分）

（1）把，展开得，

两边同乘得①．

将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，

即得曲线的直角坐标方程为②．

（2）将代入②式，得，

点M的直角坐标为（0，3）．

设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3.  t1.t2=3

∴ t1＜0， t2＜0

则由参数t的几何意义即得.

23、（本小题满分10分）

（1）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，

故，或，或

解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，

不等式的解集为[﹣2，4]；

（2）由题意：f（x）=﹣x2+aa=x2﹣x+5，x[0，2]．

故方程f（x）=﹣x2+a在区间[0，2]有解

函数y=a和函数y=x2﹣x+5，图象在区间[0，2]上有交点

∵当x∈[0，2]时，y=x2﹣x+5

∴，实数a的取值范围是.