四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（理）试题附答案
展开凉山州高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3.如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面
4.已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（ ）
A．或2 B．或 C. D．
5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C. D．
6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（ ）
A． 3 B． C. 4 D．
7.设函数，任意都满足，则的值可以是（ ）
A． B． C. D．
8.已知，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
9.在中，分别是内角的对边，若，，，则的面积等于（ ）
A． 3 B． C. D．
10.一个弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C. 的最小值为100 D．的最大值为400
11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ）
A．存在至少一组正整数组使方程有解
B．关于的方程有正有理数解
C. 关于的方程没有正有理数解
D．当整数时，关于的方程没有正实数解
12.若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式的展开式中常数项为 ．
14.已知正数满足，则的最大值是 ．
15.设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是 ．
16.定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：
①是奇函数；
②若不等式对一切实数恒成立，则
③时，最小值是2450
④“”是“”成立的充要条件
以上正确命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求时的概率及的数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
18. 如图，直三棱柱中，，，，，点是棱上不同于的动点.
（1）证明：；
（2）若平面将棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角的余弦值.
19. 设有三点，其中点在椭圆上，，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点的直线倾斜角为，直线与椭圆相交于，求三角形的面积.
20. 设各项为正数列满足：（是常数）.
（1）判断是否存在，使数列满足对任意正正数，有恒成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
（2）当，时，求数列前项和的表达式.
21. 设函数.
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若有三个不同的零点，求的取值范围；
（3）设，若无极大值点，有唯一的一个极小值点，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于两点.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）当时，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，求的最小值.
试卷答案
一、选择题
二、填空题
13. -4 14. -3 15. 16.②
三、解答题
17.解：（1）
所以犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能判断“可额外体育达标”与性别有关.
（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，则，
.
18.（1）证明：（方法一）在中，有余弦定理
∴，则，∴.
∴，
又，，
∴平面
又平面，
∴
证明：（方法二）在中，，
∴，∴
又，，
∴平面
又平面，
∴
（2）
由题设知，
又
，∴是的中点.
∴以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标，
∴，，，，，
设是平面的法向量，
，，令，，
∴
平面的法向量，
所以二面角的余弦值为.
19.（1）解：由题意知，，
设，，，
由，∴，
∴
设椭圆方程②，将①代入②，
∴，
∴椭圆方程为
（2），代入，整理得，
∴或，
∴交点坐标为和
，到的距离为
所以，
所以三角形的面积为.
20.（1）由 ①
②
①-②得：，即
当时，，
又，所以数列为等比数列，
所以，所以，
所以存在，使成立.
（2）由（1）可知，当，时，
所以，
所以，当时，，
当时，，所以也成立，
所以.
21.（1）当时，，
当时，；当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）设，则，则或或，
当时，恒成立，∴在上为增函数，且时，；时，，则的零点有3个，符合题意.
当时，，此时只有一个零点，不合题意.
当时，若，则；若时，，
函数在上单调递减，在上单调递增.
又且时，；时，，
所以或或要有三个零点，则
即，所以
综上所述，或.
（3）
因为在无极大值点，有唯一的一个极小值点
即，即在内有唯一的一个正根.
所以，即
又，，又因为只有唯一的一个正根，所以即.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
此时无极大值，有唯一一个极小值点，
所以，所以
所以
所以
所以在上单调递减，所以
综上，.
22.（1）由，即，所以，
所以曲线的直角坐标系方程为，
（2）解一：时，.
解二：曲线的标准方程为，直线的方程为，
.
23.（1）时，，即，
所以或或，解得或
所以不等式的解集为.
（2）时，，
的最小值为.
